Bacot-Bacot tentang definisi limit
Salah satu tantangan bagi seorang pengajar Kalkulus adalah bagaimana memberikan penjelsan pada konsep limit yang menggambarkan hubungan yang jelas antara intuisi dan definisi.
Kebanyakan orang yang berlatar math, jika ditanya "limit itu apa?" maka bagi yang tau definisi akan langsung menjawab menggunakan epsilon-delta, lalu apabila ditanya lebih lanjut, "mengapa demikian?" , maka dapat menjawab "karena itu definisi".
Sekarang jika misalkan kita diberikan definisi limit seperti ini:
$\exists\, \delta>0 \forall \epsilon>0 \, \ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
atau
$\exists\,\epsilon>0\forall\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
atau
$\exists\,\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow \forall\,\epsilon>0\, |f(x)-L|<\epsilon)$atau (saya memperoleh ini ketika saya pertama kali mencoba mencari definisi tentang limit)
\[\begin{align*}\exists \, &s:\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\,\text{monoton naik dan $s(0)=0$}\\ \ni \, &\forall \delta>0 \,\forall x \, (|x-c|<\delta \Rightarrow \, |f(x)-L|<s(\delta))\end{align*}\]
Mau percaya begitu aja??
Yang pertama menyatakan bahwa terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sedemikian sehingga pada batas tersebut, jarak antara $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat sekecil mungkin. Hal ini salah karena pada saat kita menentukan suatu batas jarak dari $x$ dan $c$, jarak antara $f(x)$ dan $L$ secara otomatis akan tertentu, sehingga pernyataan diatas terlalu naif untuk benar (dapat benar jika $f(x)$ konstan)
Yang kedua lebih jauh dari makna limit, yaitu menyatakan ketika $x$ dan $c$ dapat sedekat mungkin, maka jarak $f(x)$ dan $L$ tidak akan melebihi suatu kuantitas, sangat bertentangan dengan menyatakan $L$ adalah limit dari $f$.
Yang ketiga menyatakan terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sehingga pada nilai-nilai $x$ di bawah batas jarak tersebut, $f(x)$ dan $L$ menjadi lebih dekat dari apapun. Kesalahannya terletak pada kenyataan bahwa, $f(x)$ menjadi lebih dekat dari apapun, berarti $f(x)=L$ pada saat $|x-c|<\delta$, sedangkan hal ini tidak mesti benar.
Yang keempat terlalu ribet dan rekursif, karena berarti mencari fungsi $s$ yang memenuhi $\lim_{t \rightarrow 0} s(t)=0$. meskipun ini benar dengan teorema apit.
Memang dalam matematika, definisi adalah hak bebas bagi seorang matematikawan untuk menciptakan nya, tapi tentunya juga menurut etika yang ada dalam cabang ilmu tersebut, definisi itu harus konsisten dan pas dengan yang dituju, dan pada perkembangannya, matematikawan akan memilih definisi yang paling umum dan konsisten.
Sebelum pengetahuan kita tentang definisi yang sebenarnya "mengganggu motivasi murni" kita, anggap kita adalah orang yang tidak tahu apa-apa tentang definisi limit dalam $\epsilon-\delta$. Misalkan anda hidup dijaman sebelum Bolzano, Cauchy dan Weierstrass memberikan definisi yang formal $\epsilon-\delta$ tentang limit atau misalkan anda sebagai teman dekat dari Sir Isaac Newton, diminta oleh Newton sendiri untuk membantunya memformalkan konsep limit dalam bahasa matematika. cukup menghayalnya :D mari kita mulai dengan pertanyaan:
Apakah itu limit dari sebuah fungsi?
Untuk membantu intuisi kita, mari lihat grafik dari $f(x)=\frac{\sin x}{x}$
Jika ditanya $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ maka jawabannya adalah 1, yakin? kenapa 1? karena dari gambar grafik $f(x)$ menuju nilai $1$. Hal ini juga disokong oleh fakta numerik berikut
\[\begin{array}{lcr} x & \frac{\sin x}{x} \\ 0.5 & 0.9588 \\ 0.1 & 0.9983 \\ 0.095 & 0.9984 \\ 0.05 & 0.9999\end{array}.\]
tapi tetap saja, hal ini tidak cukup memuaskan secara matematika. Yang dapat kita maknai disini adalah dalam menyatakan suatu limit, kita sebelumnya sudah mempunyai sebuah angka yang "sepertinya" merupakan limit dari $f(x)$, yaitu $L$.
Berawal dari hal ini, definisi yang kita punya nanti harus dapat memberikan garansi penuh bahwa $L$ yang kita punya adalah limit tersebut. Dengan kata lain, definisi memberikan jawaban dari tantangan :
dapat menyatakan:
Dalam bahasa lain, "apabila $x$ dan $c$ semakin dekat maka $f(x)$ semakin dekat dengan $Lquot;. Pernyataan ini kita ambil sebagai definisi intuitif. Adalah hal yang ingin kita abstrakkan, tentunya dengan beberapa tambahan sebagai berikut:
Nilai $L$ harus unik.
Nilai $f(c)$ tidak harus terdefinisi dan kalaupun terdefinisi tidak harus sama dengan $L$.
Sangat kritis apabila ditanyakan ulang: Mengapa kita yakin ini benar? Bagaimana jika kita tidak mendapatkan cara pikir seperti diatas? Bagaimana jika dengan cara berpikir yang beragam definisi yang diperoleh jadi beda?
Kita bisa saja mendapatkan definisi yang beda, tapi apakah hal tersebut sesuai dengan kesepakatan?
Apabila dari awal kita sudah menentukan tujuan dan maksud dari menyatakan limit, maka hampir dapat dipastikan bahwa hanya ada satu definisi yang mungkin, terlepas dari ekuivalen antar definisi.
Pada hal ini, untuk maksud apa kita mendekatkan $x$ dengan $c$? karena harapannya agar $f(x)$ dekat dengan suatu nilai $L$, setelah sebelumnya menemukan nilai $L$ sedemikian sehingga jika $x$ semakin dekat dengan $c$ maka $f(x)$ semakin dekat dengan $L$.
Dengan kata lain nilai $L$ disebut suatu limit dari $f(x)$ berarti $L$ adalah nilai terakhir (ultimate) yang paling dekat dengan $f(x)$ ketika $x$ menuju $c$, lebih tegasnya tidak ada bilangan lain yang sedekat $L$ dengan $f(x)$ pada saat $x$ dekat dengan $c$. Dapat diringkas:
3. Berkaitan dengan tambahan (1), nilai $L$ adalah nilai yang ultimate, tidak ada nilai lain yang merupakan approksimasi atau pendekatan yang lebih baik dari $f(x)$ selain dari $L$, ketika $x$ dekat $c$.
Yang menjadi fokus kita adalah seberapa dekat $f(x)$ dan $L$, dan hal yang dapat kita kontrol kita adalah variabel $x$ yang dapat kita geser-geser mendekat ke $c$. Seperti halnya jika anda ditanya "Mengapa Limit dari $f(x)$ adalah $L$ ketika $x$ menuju $c$?" tentunya jawabannya secara ringkas akan fokus pada "karena $f(x)$ dan $L$ itu blablabla , ketika $x$ menuju $c$ atau dalam bentuk "karena ketika $x$ menuju $c$ $f(x)$ dan $L$ itu blablabla", dua jawaban tersebut fokus ke $f(x)$ dan $L$, sedangkan frasa "$x$ menuju $c$ hanyalah perulangan dari pertanyaan, begitu kan?
Mari kita telaah lagi kata "dekat" , untuk membahasakan ini, dibutuhkan notasi dari "dekat", dan hal ini tentunya berhubungan dengan "jarak". Yup dua objek dapat disebut dekat berdasarkan jaraknya. Khususnya pada dimensi satu, jarak antara titik $c$ dan $x$ adalah $|x-c|$ dan jarak antara $f(x)$ dan $L$ adalah $|f(x)-L|$:
"$L$ adalah bilangan sedemikian sehingga $|f(x)-L|$ kecil apabila $|x-c|$ kecil."
namun kekurangannya disini terletak pada persisi kata "kecil". Seperti pada tabel diatas, jarak $|x-0|$ dan $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|$ berubah-ubah hampir tak terduga jika tanpa perhitungan, dan jika dilihat dari gambar, sebenarnya perubahan antara keduanya berhubungan.
Masalahnya $|x-c|$ dan $|f(x)-L|$ mempunyai perubahan jarak yang berbeda, contoh nya $\left|\frac{\sin 0.5}{0.5}-1\right|=0.0412$ sedangkan $|0.5-0|=0.5$, terlebih lagi pada fungsi yang berbeda, perubahan jarak $|f(x)-L|$ juga akan berbeda. Jadi tujuannya adalah membuat $|f(x)-L|$ kecil dengan cara membuat $|x-c|$ kecil.
Karena perbedaan dalam perubahan mereka, mari kita nyatakan $|x-c|=\delta$ dan $|f(x)-L|=\epsilon$, karena $\delta$ dan $\epsilon$ tertentu maka nilai $x$ yang memenuhi dua persamaan tersebut akan berhingga (jadi seperti sistem persamaan dalam $x$). Kemudian menyatakan "kecil" berarti membatasi dengan standar kuantitas yg relatif, jadi tentunya lebih benar jika kita menyatakan $\delta>0$ sebagai bilangan sehingga $|x-c|<\delta$ dan $\epsilon>0$ adalah bilangan sehingga $|f(x)-L|<\epsilon$. Hal ini dapat mengantisipasi kata "kecil" yang kita peroleh sebelumnya, karena seperti yang telah dikatakan sebelumnya, kecil saja "tidak persisi" jadi penggunaan $ < \epsilon$ lebih flexibel.
Karena nilai dari fungsi $f(x)$ bergantung dengan $x$, maka definisi kita akan memuat bentuk proposisi $|x-c|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.
Kontrol kita disini terletak pada variable $x$, karena $x$ adalah variabel yang digerakkan/berubah (oleh kita) menuju $c$, sedangkan $f(x)$ menuju $L$ adalah hasil implikasi nya. Sekarang informasi yang diperoleh adalah
"jarak $f(x)$ dan $L$ dapat menjadi sangat kecil seiring dengan mengecilnya jarak $x$ dan $c$, ketika $x$ berubah."
yang menganggu adalah "kecil", hal relatif ini susah dibahasakan dalam bahasa formal, contohnya $10^{-10}$ itu tidak kecil jika dibandingkan dengan $10^{-10^{10}}$. Tetapi "semakin kecil" lebih mudah dibahasakan. Maka dari itu, akan lebih baik apabila kita sebagai 'pemain' yang menentukan jarak-jarak tersebut, diberikan kontrol(untuk menentukan) pada nilai-nilai yang dapat semakin kecil. Kata kecil lebih aman dihilangkan pada $|x-c|$, karena kontrol kita pada variabel $x$ lebih baik, sedangkan untuk $|f(x)-L|$ bergantung dengan jenis fungsinya, yang pada kasus ini sebarang. Oleh karena itu diperoleh
"Dengan cara membatasi jarak $|x-c|$ menurut nilai $x$ yang berubah maka jarak $|f(x)-L|$ pada nilai $x$ tersebut akan ikut terbatasi"
Bagaimana menyatakan "Dengan cara" dalam notasi matematika, tentunya secara logika, apabila kita menyebut "dengan cara" maka hal tersebut berarti kita mempunyai suatu tujuan, dan untuk mencapai tujuan tersebut maka "dengan cara" blablabla.
Pada kasus ini tujuan nya adalah membatasi nilai $|f(x)-L|$. Oleh karena itu tentunya Logisn, jika kita tentukan terlebih dahulu tujuan kita, baru kemudian menuliskan bagaimana cara nya mencapai tujuan tersebut. Perhatikan juga bahwa nilai $x$ yang dimaksud harus berada dalam lingkup domain $f$, agar $f(x)$ terdefinisi. Diperoleh
"Untuk membatasi $|f(x)-L|$ berdasarkan variabel bebas $x$ yang berada pada domain dari fungsi $f$, dapat dilakukan dengan cara membatasi $|x-c|$ pada nilai $x$ tersebut"
Selanjutnya adalah memperjelas tujuan tersebut.
Seberapa banyak kita ingin membatasi $|f(x)-L|$?
Tentu saja sekecil mungkin.
Mengapa?
Karena untuk menjawab tantangan yang diberikan definisi, yaitu berani menyatakan bahwa $f(x)$ menuju $L$ atau berani menyatakan $L$ adalah limit dari $f(x)$, maka berarti berani menyatakan $|f(x)-L|$ sangat kecil, yang berarti jarak $f(x)$ dan $L$ sangat dekat, bahkan untuk lebih menjawab tantangan tersebut kita mungkin bisa mengatakan $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat apapun yang kita mau. wahh, really? Iya, dengan demikian secara tak langsung kita telah menyatakan bahwa $L$ adalah bilangan yang paling dekat dengan $f(x)$, hal ini sesuai dengan sifat "ultimate" dari $L$.
Jika benar demikian maka definisi nya akan menjadi
"Kita dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi nilai dari $|x-c|$ menurut variabel bebas $x$
dalam jarak ini berarti
"Kita dapat membuat jarak $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$
Terlihat menjanjikan dan kuat untuk menjawab tantangan? Bisa dibilang jika pernyataan diatas benar - benar terpenuhi maka tantangan akan lebih dari terjawab, dengan kata lain, sesumbar yang menyatakan "dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin" bahkan terlalu memuaskan untuk mendefinisikan kata "dekat".
Mari kita mulai membentuk definisi diatas dengan notasi matematika (jika bisa), jika masih belum bisa, kita akan mengubah lagi kata-kata nya sampai penerjemahannya kedalam notasi matematika menjadi mungkin.
Apabila kita ingin membuat/menentukan jarak $f(x)$ dan $L$, maka kita tentukan suatu bilangan misalkan $\epsilon$ yang merupakan bilangan positif (karena jarak tidak negatif dan jika samadengan nol, berarti mereka berhimpit).
Menyatakan "sekecil mungkin", itu berarti kita dapat menerima $\epsilon$ yang berapapun asalkan positif.
jadi apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka jarak $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat lebih kecil dari $\epsilon$ tersebut, dengan kata lain $|f(x)-L|<\epsilon$
Dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$, berarti menentukan suatu $\delta$ sedemikian sehingga membuat ketaksamaan diatas benar ketika $|x-c|<\delta$.
Ringkasnya
Apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka dapat ditemukan suatu $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk semua $x$ pada domain $f$ pernyataan ($ \ni |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$ benar
Oops kita melupakan aturan (2), yaitu $f(x)$ tidak mesti terdefinisi pada $x=c$, jadi syarat $|x-c|<\delta$ dapat direnggangkan menjadi $|x-c|<\delta$ dan $x\neq c$, dalam notasi dapat diringkas $0<|x-c|<\delta$. Sehingga, dalam notasi quantifer diperoleh
$\forall \epsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \ni \forall \, x \in \text{dom}(f) \, (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
oh well, welcome $\epsilon$! $\delta$ is here :D
Nah sekarang jika ditantang:
"Mengapa anda yakin $\lim_{x\rightarrow c} f(x) =L$ ?"
tinggal jawab:
"Karena saya yakin saya bisa membuat jarak dari $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang anda/saya mau dengan cara membuat jarak $x$ dan $c$ cukup dekat."
jika penantang masih tidak percaya, dan bekata : "ah masa?"
tinggal bilang:
"coba, anda mau nya $f(x)$ dan $L$ sedekat apa? nanti saya cari jarak $x$ dan $c$ yang sesuai agar $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat yang anda mau tadi"
apabila kita sudah menghitung $\epsilon-\delta$ dari awal, maka untuk semua nilai $\epsilon$ yang diberikan penantang akan dapat kita berikan nilai $\delta$.. hal ini akan terus berlanjut sampai yang nantangin capek :D
Kebanyakan orang yang berlatar math, jika ditanya "limit itu apa?" maka bagi yang tau definisi akan langsung menjawab menggunakan epsilon-delta, lalu apabila ditanya lebih lanjut, "mengapa demikian?" , maka dapat menjawab "karena itu definisi".
Sekarang jika misalkan kita diberikan definisi limit seperti ini:
$\exists\, \delta>0 \forall \epsilon>0 \, \ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
atau
$\exists\,\epsilon>0\forall\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
atau
$\exists\,\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow \forall\,\epsilon>0\, |f(x)-L|<\epsilon)$atau (saya memperoleh ini ketika saya pertama kali mencoba mencari definisi tentang limit)
\[\begin{align*}\exists \, &s:\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\,\text{monoton naik dan $s(0)=0$}\\ \ni \, &\forall \delta>0 \,\forall x \, (|x-c|<\delta \Rightarrow \, |f(x)-L|<s(\delta))\end{align*}\]
Mau percaya begitu aja??
Yang pertama menyatakan bahwa terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sedemikian sehingga pada batas tersebut, jarak antara $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat sekecil mungkin. Hal ini salah karena pada saat kita menentukan suatu batas jarak dari $x$ dan $c$, jarak antara $f(x)$ dan $L$ secara otomatis akan tertentu, sehingga pernyataan diatas terlalu naif untuk benar (dapat benar jika $f(x)$ konstan)
Yang kedua lebih jauh dari makna limit, yaitu menyatakan ketika $x$ dan $c$ dapat sedekat mungkin, maka jarak $f(x)$ dan $L$ tidak akan melebihi suatu kuantitas, sangat bertentangan dengan menyatakan $L$ adalah limit dari $f$.
Yang ketiga menyatakan terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sehingga pada nilai-nilai $x$ di bawah batas jarak tersebut, $f(x)$ dan $L$ menjadi lebih dekat dari apapun. Kesalahannya terletak pada kenyataan bahwa, $f(x)$ menjadi lebih dekat dari apapun, berarti $f(x)=L$ pada saat $|x-c|<\delta$, sedangkan hal ini tidak mesti benar.
Yang keempat terlalu ribet dan rekursif, karena berarti mencari fungsi $s$ yang memenuhi $\lim_{t \rightarrow 0} s(t)=0$. meskipun ini benar dengan teorema apit.
Memang dalam matematika, definisi adalah hak bebas bagi seorang matematikawan untuk menciptakan nya, tapi tentunya juga menurut etika yang ada dalam cabang ilmu tersebut, definisi itu harus konsisten dan pas dengan yang dituju, dan pada perkembangannya, matematikawan akan memilih definisi yang paling umum dan konsisten.
Sebelum pengetahuan kita tentang definisi yang sebenarnya "mengganggu motivasi murni" kita, anggap kita adalah orang yang tidak tahu apa-apa tentang definisi limit dalam $\epsilon-\delta$. Misalkan anda hidup dijaman sebelum Bolzano, Cauchy dan Weierstrass memberikan definisi yang formal $\epsilon-\delta$ tentang limit atau misalkan anda sebagai teman dekat dari Sir Isaac Newton, diminta oleh Newton sendiri untuk membantunya memformalkan konsep limit dalam bahasa matematika. cukup menghayalnya :D mari kita mulai dengan pertanyaan:
Apakah itu limit dari sebuah fungsi?
Untuk membantu intuisi kita, mari lihat grafik dari $f(x)=\frac{\sin x}{x}$
Jika ditanya $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ maka jawabannya adalah 1, yakin? kenapa 1? karena dari gambar grafik $f(x)$ menuju nilai $1$. Hal ini juga disokong oleh fakta numerik berikut
\[\begin{array}{lcr} x & \frac{\sin x}{x} \\ 0.5 & 0.9588 \\ 0.1 & 0.9983 \\ 0.095 & 0.9984 \\ 0.05 & 0.9999\end{array}.\]
tapi tetap saja, hal ini tidak cukup memuaskan secara matematika. Yang dapat kita maknai disini adalah dalam menyatakan suatu limit, kita sebelumnya sudah mempunyai sebuah angka yang "sepertinya" merupakan limit dari $f(x)$, yaitu $L$.
Berawal dari hal ini, definisi yang kita punya nanti harus dapat memberikan garansi penuh bahwa $L$ yang kita punya adalah limit tersebut. Dengan kata lain, definisi memberikan jawaban dari tantangan :
"Apabila anda berani mengatakan bahwa $\large L$ adalah limit dari $\large f(x)$ ketika $\large x$ menuju $\large c$, tunjukkan pada saya"
Dengan demikian kita memilih satu buah $L$ dari tak-hingga dan tak-terhitung kemungkinan bilangan real, dan kita cek apakah $L$ memenuhi definisi kita. We'll see it later :D..
Notasi Limit adalah
\[\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L\]
Notasi Limit adalah
\[\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L\]
dapat menyatakan:
"Apabila $x$ bergerak menuju $c$ maka $f(x)$ bergerak menuju $Lquot;.
Dalam bahasa lain, "apabila $x$ dan $c$ semakin dekat maka $f(x)$ semakin dekat dengan $Lquot;. Pernyataan ini kita ambil sebagai definisi intuitif. Adalah hal yang ingin kita abstrakkan, tentunya dengan beberapa tambahan sebagai berikut:
Nilai $L$ harus unik.
Nilai $f(c)$ tidak harus terdefinisi dan kalaupun terdefinisi tidak harus sama dengan $L$.
Sangat kritis apabila ditanyakan ulang: Mengapa kita yakin ini benar? Bagaimana jika kita tidak mendapatkan cara pikir seperti diatas? Bagaimana jika dengan cara berpikir yang beragam definisi yang diperoleh jadi beda?
Kita bisa saja mendapatkan definisi yang beda, tapi apakah hal tersebut sesuai dengan kesepakatan?
Apabila dari awal kita sudah menentukan tujuan dan maksud dari menyatakan limit, maka hampir dapat dipastikan bahwa hanya ada satu definisi yang mungkin, terlepas dari ekuivalen antar definisi.
Pada hal ini, untuk maksud apa kita mendekatkan $x$ dengan $c$? karena harapannya agar $f(x)$ dekat dengan suatu nilai $L$, setelah sebelumnya menemukan nilai $L$ sedemikian sehingga jika $x$ semakin dekat dengan $c$ maka $f(x)$ semakin dekat dengan $L$.
Dengan kata lain nilai $L$ disebut suatu limit dari $f(x)$ berarti $L$ adalah nilai terakhir (ultimate) yang paling dekat dengan $f(x)$ ketika $x$ menuju $c$, lebih tegasnya tidak ada bilangan lain yang sedekat $L$ dengan $f(x)$ pada saat $x$ dekat dengan $c$. Dapat diringkas:
3. Berkaitan dengan tambahan (1), nilai $L$ adalah nilai yang ultimate, tidak ada nilai lain yang merupakan approksimasi atau pendekatan yang lebih baik dari $f(x)$ selain dari $L$, ketika $x$ dekat $c$.
Yang menjadi fokus kita adalah seberapa dekat $f(x)$ dan $L$, dan hal yang dapat kita kontrol kita adalah variabel $x$ yang dapat kita geser-geser mendekat ke $c$. Seperti halnya jika anda ditanya "Mengapa Limit dari $f(x)$ adalah $L$ ketika $x$ menuju $c$?" tentunya jawabannya secara ringkas akan fokus pada "karena $f(x)$ dan $L$ itu blablabla , ketika $x$ menuju $c$ atau dalam bentuk "karena ketika $x$ menuju $c$ $f(x)$ dan $L$ itu blablabla", dua jawaban tersebut fokus ke $f(x)$ dan $L$, sedangkan frasa "$x$ menuju $c$ hanyalah perulangan dari pertanyaan, begitu kan?
Mari kita telaah lagi kata "dekat" , untuk membahasakan ini, dibutuhkan notasi dari "dekat", dan hal ini tentunya berhubungan dengan "jarak". Yup dua objek dapat disebut dekat berdasarkan jaraknya. Khususnya pada dimensi satu, jarak antara titik $c$ dan $x$ adalah $|x-c|$ dan jarak antara $f(x)$ dan $L$ adalah $|f(x)-L|$:
"$L$ adalah bilangan sedemikian sehingga $|f(x)-L|$ kecil apabila $|x-c|$ kecil."
namun kekurangannya disini terletak pada persisi kata "kecil". Seperti pada tabel diatas, jarak $|x-0|$ dan $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|$ berubah-ubah hampir tak terduga jika tanpa perhitungan, dan jika dilihat dari gambar, sebenarnya perubahan antara keduanya berhubungan.
Masalahnya $|x-c|$ dan $|f(x)-L|$ mempunyai perubahan jarak yang berbeda, contoh nya $\left|\frac{\sin 0.5}{0.5}-1\right|=0.0412$ sedangkan $|0.5-0|=0.5$, terlebih lagi pada fungsi yang berbeda, perubahan jarak $|f(x)-L|$ juga akan berbeda. Jadi tujuannya adalah membuat $|f(x)-L|$ kecil dengan cara membuat $|x-c|$ kecil.
Karena perbedaan dalam perubahan mereka, mari kita nyatakan $|x-c|=\delta$ dan $|f(x)-L|=\epsilon$, karena $\delta$ dan $\epsilon$ tertentu maka nilai $x$ yang memenuhi dua persamaan tersebut akan berhingga (jadi seperti sistem persamaan dalam $x$). Kemudian menyatakan "kecil" berarti membatasi dengan standar kuantitas yg relatif, jadi tentunya lebih benar jika kita menyatakan $\delta>0$ sebagai bilangan sehingga $|x-c|<\delta$ dan $\epsilon>0$ adalah bilangan sehingga $|f(x)-L|<\epsilon$. Hal ini dapat mengantisipasi kata "kecil" yang kita peroleh sebelumnya, karena seperti yang telah dikatakan sebelumnya, kecil saja "tidak persisi" jadi penggunaan $ < \epsilon$ lebih flexibel.
Karena nilai dari fungsi $f(x)$ bergantung dengan $x$, maka definisi kita akan memuat bentuk proposisi $|x-c|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.
Kontrol kita disini terletak pada variable $x$, karena $x$ adalah variabel yang digerakkan/berubah (oleh kita) menuju $c$, sedangkan $f(x)$ menuju $L$ adalah hasil implikasi nya. Sekarang informasi yang diperoleh adalah
"jarak $f(x)$ dan $L$ dapat menjadi sangat kecil seiring dengan mengecilnya jarak $x$ dan $c$, ketika $x$ berubah."
yang menganggu adalah "kecil", hal relatif ini susah dibahasakan dalam bahasa formal, contohnya $10^{-10}$ itu tidak kecil jika dibandingkan dengan $10^{-10^{10}}$. Tetapi "semakin kecil" lebih mudah dibahasakan. Maka dari itu, akan lebih baik apabila kita sebagai 'pemain' yang menentukan jarak-jarak tersebut, diberikan kontrol(untuk menentukan) pada nilai-nilai yang dapat semakin kecil. Kata kecil lebih aman dihilangkan pada $|x-c|$, karena kontrol kita pada variabel $x$ lebih baik, sedangkan untuk $|f(x)-L|$ bergantung dengan jenis fungsinya, yang pada kasus ini sebarang. Oleh karena itu diperoleh
"Dengan cara membatasi jarak $|x-c|$ menurut nilai $x$ yang berubah maka jarak $|f(x)-L|$ pada nilai $x$ tersebut akan ikut terbatasi"
Bagaimana menyatakan "Dengan cara" dalam notasi matematika, tentunya secara logika, apabila kita menyebut "dengan cara" maka hal tersebut berarti kita mempunyai suatu tujuan, dan untuk mencapai tujuan tersebut maka "dengan cara" blablabla.
Pada kasus ini tujuan nya adalah membatasi nilai $|f(x)-L|$. Oleh karena itu tentunya Logisn, jika kita tentukan terlebih dahulu tujuan kita, baru kemudian menuliskan bagaimana cara nya mencapai tujuan tersebut. Perhatikan juga bahwa nilai $x$ yang dimaksud harus berada dalam lingkup domain $f$, agar $f(x)$ terdefinisi. Diperoleh
"Untuk membatasi $|f(x)-L|$ berdasarkan variabel bebas $x$ yang berada pada domain dari fungsi $f$, dapat dilakukan dengan cara membatasi $|x-c|$ pada nilai $x$ tersebut"
Selanjutnya adalah memperjelas tujuan tersebut.
Seberapa banyak kita ingin membatasi $|f(x)-L|$?
Tentu saja sekecil mungkin.
Mengapa?
Karena untuk menjawab tantangan yang diberikan definisi, yaitu berani menyatakan bahwa $f(x)$ menuju $L$ atau berani menyatakan $L$ adalah limit dari $f(x)$, maka berarti berani menyatakan $|f(x)-L|$ sangat kecil, yang berarti jarak $f(x)$ dan $L$ sangat dekat, bahkan untuk lebih menjawab tantangan tersebut kita mungkin bisa mengatakan $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat apapun yang kita mau. wahh, really? Iya, dengan demikian secara tak langsung kita telah menyatakan bahwa $L$ adalah bilangan yang paling dekat dengan $f(x)$, hal ini sesuai dengan sifat "ultimate" dari $L$.
Jika benar demikian maka definisi nya akan menjadi
"Kita dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi nilai dari $|x-c|$ menurut variabel bebas $x$
dalam jarak ini berarti
"Kita dapat membuat jarak $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$
Terlihat menjanjikan dan kuat untuk menjawab tantangan? Bisa dibilang jika pernyataan diatas benar - benar terpenuhi maka tantangan akan lebih dari terjawab, dengan kata lain, sesumbar yang menyatakan "dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin" bahkan terlalu memuaskan untuk mendefinisikan kata "dekat".
Mari kita mulai membentuk definisi diatas dengan notasi matematika (jika bisa), jika masih belum bisa, kita akan mengubah lagi kata-kata nya sampai penerjemahannya kedalam notasi matematika menjadi mungkin.
Apabila kita ingin membuat/menentukan jarak $f(x)$ dan $L$, maka kita tentukan suatu bilangan misalkan $\epsilon$ yang merupakan bilangan positif (karena jarak tidak negatif dan jika samadengan nol, berarti mereka berhimpit).
Menyatakan "sekecil mungkin", itu berarti kita dapat menerima $\epsilon$ yang berapapun asalkan positif.
jadi apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka jarak $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat lebih kecil dari $\epsilon$ tersebut, dengan kata lain $|f(x)-L|<\epsilon$
Dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$, berarti menentukan suatu $\delta$ sedemikian sehingga membuat ketaksamaan diatas benar ketika $|x-c|<\delta$.
Ringkasnya
Apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka dapat ditemukan suatu $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk semua $x$ pada domain $f$ pernyataan ($ \ni |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$ benar
Oops kita melupakan aturan (2), yaitu $f(x)$ tidak mesti terdefinisi pada $x=c$, jadi syarat $|x-c|<\delta$ dapat direnggangkan menjadi $|x-c|<\delta$ dan $x\neq c$, dalam notasi dapat diringkas $0<|x-c|<\delta$. Sehingga, dalam notasi quantifer diperoleh
$\forall \epsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \ni \forall \, x \in \text{dom}(f) \, (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$
oh well, welcome $\epsilon$! $\delta$ is here :D
Nah sekarang jika ditantang:
"Mengapa anda yakin $\lim_{x\rightarrow c} f(x) =L$ ?"
tinggal jawab:
"Karena saya yakin saya bisa membuat jarak dari $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang anda/saya mau dengan cara membuat jarak $x$ dan $c$ cukup dekat."
jika penantang masih tidak percaya, dan bekata : "ah masa?"
tinggal bilang:
"coba, anda mau nya $f(x)$ dan $L$ sedekat apa? nanti saya cari jarak $x$ dan $c$ yang sesuai agar $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat yang anda mau tadi"
apabila kita sudah menghitung $\epsilon-\delta$ dari awal, maka untuk semua nilai $\epsilon$ yang diberikan penantang akan dapat kita berikan nilai $\delta$.. hal ini akan terus berlanjut sampai yang nantangin capek :D
2 comments
Kuncup...
Replyhihiii kobra kuncup pakk :D
Reply