tag:blogger.com,1999:blog-29686767921658710852024-03-14T01:19:15.070-07:00Oxolodon SpaceAjat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.comBlogger63125tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-51295996860164535712020-10-13T08:51:00.001-07:002020-10-13T08:53:20.967-07:00Soal OSN 2020 No 4<blockquote class="tr_bq">
<p> Diberikan papan catur $2n \times 2n$, dimana $n\geq 1$ bilangan asli. Setiap petak pada papan catur diwarnai dengan salah satu dari $n$ buah warna. Buktikan bahwa terdapat 2 petak yang terletak pada satu baris atau satu kolom yang sama, sedemikian sehingga jika pewarnaan dua petak tersebut ditukar, maka terdapat persegi panjang yang keempat petak pada semua sudutnya memiliki warna yang sama.</p><p>
</blockquote>
<br /></p><p>Kita akan menggunakan Prinsip <i>Pigeonhole, </i> dan untuk kemudahan, akan direpresentasikan dalam bentuk rataan sebagai berikut:</p><p>Jika $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ adalah bilangan real sehingga</p><p>\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} > K\]</p><p>maka terdapat $j \in \{1,2,...,n\}$ sedemikian sehingga $a_j > K$.</p><p>Sebagai contoh, dengan Pigeonhole biasa, karena kita mempunyai $2n \times 2n = 4n^2$ petak dan hanya $n$ buah warna, maka terdapat satu warna yang dipakai sebanyak $\geq \frac{4n^2}{n}=4n$ kali. Untuk bentuk pigeonhole diatas, kita bisa menggunakan argumen seperti berikut:</p><p>Misalkan $a_i$ adalah banyak petak yang diwarnai dengan warna ke $i$. Maka $a_1+a_2+\cdots+a_n=4n^2$ (semua kotak diwarnai), sehingga</p><p>\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = \frac{4n^2}{n}=4n > 4n-1/2 \]</p><p>jadi ada $j \in \{1,2,...,n\}$ sehingga $a_j > 4n-1/2$, dan karena $a_j$ bilangan asli, diperoleh $a_j\geq 4n$. Hal ini sama saja dengan mengatakan, ada warna ke-$j$ yang dipakai sebanyak $ \geq 4n$ kali. </p><p>Sekarang kembali lagi ke soal. Untuk menyelesaikan soal, kita akan pakai warna yang dipakai $\geq 4n$ kali diatas, untuk kemudahan kita sebut saja warna itu, warna hitam. Jadi ada paling sedikit $4n$ buah petak yang berwarna hitam.</p><p> Sebuah pasangan terutut dari petak katakanlah $(a,b)$, kita sebut <i>bagus</i> apabila $a$ dan $b$ terletak pada baris yang sama dan keduanya berwarna hitam. Petak $a$ akan kita sebut<b> </b><i style="font-weight: bold;">absis </i>dari pasangan terurut $(a,b)$ tersebut.</p><p>Ambil sebarang baris, katakanlah baris ke-$i$. Misalkan pada baris ke-$i$ ini ada $b_i$ buah warna hitam (bisa saja $b_i=0$). Apabila $b_i \geq 2$ maka kita bisa membuat paling sedikit $b_i-1$ buah pasangan terurut bagus yang mana tidak ada diantara mereka yang mempunyai absis yang sama. Caranya begini, kita daftarkan semua petak hitam yang ada di baris ke-$i$ secara berurut dari kiri ke kanan, dan beri nama $x_1$, $x_2$, ..., $x_{b_i}$ seperti gambar berikut:</p><p><br /></p>
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<svg
xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/"
xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#"
xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"
xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg"
xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd"
xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"
x="0"
y="0"
width="702"
height="170"
style="fill:none"
version="1.1"
id="svg264"
sodipodi:docname="diagram-20201013.svg"
inkscape:version="1.0.1 (c497b03c, 2020-09-10)">
<metadata
id="metadata270">
<rdf:RDF>
<cc:Work
rdf:about="">
<dc:format>image/svg+xml</dc:format>
<dc:type
rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage" />
<dc:title></dc:title>
</cc:Work>
</rdf:RDF>
</metadata>
<defs
id="defs268">
<inkscape:perspective
sodipodi:type="inkscape:persp3d"
inkscape:vp_x="0 : 85 : 1"
inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0"
inkscape:vp_z="702 : 85 : 1"
inkscape:persp3d-origin="351 : 56.666667 : 1"
id="perspective141" />
</defs>
<sodipodi:namedview
pagecolor="#ffffff"
bordercolor="#666666"
borderopacity="1"
objecttolerance="10"
gridtolerance="10"
guidetolerance="10"
inkscape:pageopacity="0"
inkscape:pageshadow="2"
inkscape:window-width="1440"
inkscape:window-height="803"
id="namedview266"
showgrid="false"
inkscape:zoom="1.3184307"
inkscape:cx="342.7278"
inkscape:cy="85.233016"
inkscape:window-x="0"
inkscape:window-y="23"
inkscape:window-maximized="0"
inkscape:current-layer="svg264"
inkscape:document-rotation="0" />
<svg
class="role-diagram-draw-area"
style="overflow:visible"
version="1.1"
id="svg110"
width="100%"
height="100%">
<g
class="shapes-region"
style="fill:none;stroke:#000000"
id="g102">
<g
class="composite-shape"
id="g18">
<path
class="real"
d="M 69,114 H 345 V 49.5 H 69 Z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path10" />
<path
class="real"
d="M 69,114 V 49.5 M 109,114 V 49.5 M 149,114 V 49.5 M 189,114 V 49.5 M 229,114 V 49.5 M 269,114 V 49.5 M 309,114 V 49.5"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path12" />
<path
class="real"
d="M 69,114 H 345 M 69,74 h 276"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path14" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path16" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g28">
<path
class="real"
d="m 69,74 h 276 v 68.5 H 69 Z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path20" />
<path
class="real"
d="m 69,74 v 68.5 M 109,74 v 68.5 M 149,74 v 68.5 M 189,74 v 68.5 M 229,74 v 68.5 M 269,74 v 68.5 M 309,74 v 68.5"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path22" />
<path
class="real"
d="M 69,74 H 345 M 69,114 h 276"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path24" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path26" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g38">
<path
class="real"
d="M 651,74 H 383 v 71.6 h 268 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path30" />
<path
class="real"
d="m 651,74 v 71.6 M 611,74 v 71.6 M 571,74 v 71.6 M 531,74 v 71.6 M 491,74 v 71.6 M 451,74 v 71.6 M 411,74 v 71.6"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path32" />
<path
class="real"
d="M 651,74 H 383 m 268,40 H 383"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path34" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path36" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g48">
<path
class="real"
d="M 651,114 H 383 V 51.33 h 268 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path40" />
<path
class="real"
d="M 651,114 V 51.33 M 611,114 V 51.33 M 571,114 V 51.33 M 531,114 V 51.33 M 491,114 V 51.33 M 451,114 V 51.33 M 411,114 V 51.33"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path42" />
<path
class="real"
d="M 651,114 H 383 M 651,74 H 383"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path44" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path46" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g58">
<path
class="real"
d="m 109,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:#d4d4d4;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path50" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path52" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path54" />
<path
class="real"
d="m 109,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path56" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g68">
<path
class="real"
d="m 189,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:#d4d4d4;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path60" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path62" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path64" />
<path
class="real"
d="m 189,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path66" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g78">
<path
class="real"
d="m 411,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:#d4d4d4;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path70" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path72" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path74" />
<path
class="real"
d="m 411,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path76" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g88">
<path
class="real"
d="m 571,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:#d4d4d4;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path80" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path82" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path84" />
<path
class="real"
d="m 571,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path86" />
</g>
<g
class="composite-shape"
id="g98">
<path
class="real"
d="m 229,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:#d4d4d4;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px"
id="path90" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path92" />
<path
class="real"
d=""
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path94" />
<path
class="real"
d="m 229,74 h 40 v 40 h -40 z"
style="fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:1px"
id="path96" />
</g>
<g
id="g100" />
</g>
<g
id="g104" />
<g
id="g106" />
<g
id="g108" />
</svg>
<svg
width="1050"
height="450"
style="font-family:Asana-Math, Asana"
version="1.1"
id="svg262">
<g
id="g120"
transform="translate(-442.10348,-107.18643)">
<g
id="g118">
<g
id="g116">
<g
transform="translate(793.89844,206.37656)"
id="g114">
<path
transform="scale(0.0204,-0.0204)"
d="m 499,329 c -30,0 -57,-28 -57,-58 0,-30 27,-58 56,-58 32,0 60,27 60,58 0,30 -28,58 -59,58 z m -333,0 c -30,0 -57,-28 -57,-58 0,-30 27,-58 56,-58 32,0 60,27 60,58 0,30 -28,58 -59,58 z m 666,0 c -30,0 -57,-28 -57,-58 0,-30 27,-58 56,-58 32,0 60,27 60,58 0,30 -28,58 -59,58 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path112" />
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g142"
transform="translate(-156.92732,-111.32632)">
<g
id="g140">
<g
id="g126">
<g
transform="translate(277.5,208.22656)"
id="g124">
<path
transform="scale(0.017,-0.017)"
d="m 9,1 c 15,-8 31,-12 43,-12 33,0 72,29 103,76 l 76,117 11,-69 c 13,-85 36,-124 72,-124 22,0 54,17 86,46 l 49,44 -9,19 C 404,68 379,53 363,53 c -15,0 -28,10 -38,30 -9,19 -20,56 -25,85 l -18,101 35,49 c 47,65 74,88 105,88 16,0 28,-8 33,-23 l 14,4 15,85 c -12,7 -21,10 -30,10 -40,0 -80,-36 -142,-128 l -37,-55 -6,48 c -12,99 -39,135 -98,135 -26,0 -48,-8 -57,-21 L 56,378 73,368 c 30,34 50,48 69,48 33,0 55,-41 72,-139 l 11,-62 -40,-62 C 142,86 108,54 80,54 65,54 54,58 52,63 L 41,91 21,88 C 21,53 13,27 9,1 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path122" />
</g>
</g>
<g
id="g138">
<g
id="g136">
<g
id="g134">
<g
id="g132">
<g
transform="translate(290.95312,215.29062)"
id="g130">
<path
transform="scale(0.0119,-0.0119)"
d="m 418,-3 v 30 l -52,3 c -55,3 -65,14 -65,66 V 700 L 60,598 67,548 217,614 V 96 C 217,44 206,33 152,30 L 96,27 V -3 c 154,3 154,3 165,3 31,0 141,-3 157,-3 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path128" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g182"
transform="translate(-540.41147,-110.31641)">
<g
id="g180"
transform="translate(4,-2)">
<g
id="g148">
<g
transform="translate(952.64062,207.10156)"
id="g146">
<path
transform="scale(0.017,-0.017)"
d="m 9,1 c 15,-8 31,-12 43,-12 33,0 72,29 103,76 l 76,117 11,-69 c 13,-85 36,-124 72,-124 22,0 54,17 86,46 l 49,44 -9,19 C 404,68 379,53 363,53 c -15,0 -28,10 -38,30 -9,19 -20,56 -25,85 l -18,101 35,49 c 47,65 74,88 105,88 16,0 28,-8 33,-23 l 14,4 15,85 c -12,7 -21,10 -30,10 -40,0 -80,-36 -142,-128 l -37,-55 -6,48 c -12,99 -39,135 -98,135 -26,0 -48,-8 -57,-21 L 56,378 73,368 c 30,34 50,48 69,48 33,0 55,-41 72,-139 l 11,-62 -40,-62 C 142,86 108,54 80,54 65,54 54,58 52,63 L 41,91 21,88 C 21,53 13,27 9,1 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path144" />
</g>
</g>
<g
id="g178">
<g
id="g176">
<g
id="g174">
<g
id="g154">
<g
transform="translate(966.09375,214.16562)"
id="g152">
<path
d="m -1.2035,-8.5918 -0.1428,-0.1309 c -0.6188,0.3094 -1.0472,0.4165 -1.904,0.4998 l -0.0476,0.2499 h 0.5712 c 0.2856,0 0.4046,0.0833 0.4046,0.2856 0,0.0833 -0.0119,0.2142 -0.0238,0.2856 l -1.2019,6.5569 c -0.0119,0.0357 -0.0119,0.0833 -0.0119,0.119 0,0.4641 0.5712,0.8568 1.2257,0.8568 0.4403,0 1.0472,-0.2261 1.5589,-0.595 1.1424,-0.8092 1.9278,-2.4395 1.9278,-4.0103 0,-0.4522 -0.1071,-0.9163 -0.2499,-1.0948 -0.0833,-0.1071 -0.238,-0.1666 -0.4165,-0.1666 -0.2856,0 -0.6426,0.0952 -0.9758,0.2618 -0.6069,0.3213 -0.9996,0.6783 -1.7374,1.6184 z m 1.0353,3.5462 c 0.3094,0 0.4641,0.2737 0.4641,0.8568 0,0.7616 -0.2499,1.785 -0.6069,2.5585 -0.3927,0.8211 -0.8687,1.2019 -1.5113,1.2019 -0.5474,0 -0.8449,-0.2737 -0.8449,-0.7735 0,-0.4046 0.1785,-2.0825 1.1424,-3.094 0.3927,-0.4046 1.0115,-0.7497 1.3566,-0.7497 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="0.0952"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path150" />
</g>
</g>
<g
id="g166">
<g
id="g164">
<g
id="g162">
<g
id="g160">
<g
transform="translate(974.90625,219.10344)"
id="g158">
<path
d="m -7.71678,-3.23204 0.05831,0.1666 0.26656,-0.17493 c 0.30821,-0.19159 0.3332,-0.20825 0.39151,-0.20825 0.0833,0 0.14994,0.0833 0.14994,0.19159 0,0.05831 -0.03332,0.2499 -0.06664,0.36652 l -0.54978,1.9992 c -0.06664,0.25823 -0.10829,0.48314 -0.10829,0.64141 0,0.19992 0.09163,0.32487 0.2499,0.32487 0.21658,0 0.51646,-0.17493 1.3328,-0.78302 l -0.0833,-0.14994 -0.21658,0.14161 c -0.24157,0.15827 -0.43316,0.2499 -0.50813,0.2499 -0.05831,0 -0.10829,-0.0833 -0.10829,-0.1666 0,-0.0833 0.01666,-0.15827 0.05831,-0.3332 l 0.64141,-2.53232 c 0.03332,-0.14161 0.04998,-0.23324 0.04998,-0.29988 0,-0.14161 -0.07497,-0.21658 -0.20825,-0.21658 -0.18326,0 -0.49147,0.17493 -1.11622,0.61642 z m 1.61602,-2.69892 c -0.24157,0 -0.48314,0.27489 -0.48314,0.55811 0,0.20825 0.12495,0.34153 0.32487,0.34153 0.25823,0 0.45815,-0.24157 0.45815,-0.55811 0,-0.19992 -0.12495,-0.34153 -0.29988,-0.34153 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="0.06664"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path156" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g172">
<g
transform="translate(979.30823,214.16562)"
id="g170">
<path
d="m -1.3955,-2.8917 v -0.6664 h -5.9976 v 0.6664 z m 5.5692,2.9274 v -0.357 L 3.5549,-0.357 C 2.9004,-0.3927 2.7814,-0.5236 2.7814,-1.1424 V -8.33 l -2.8679,1.2138 0.0833,0.595 1.785,-0.7854 v 6.1642 c 0,0.6188 -0.1309,0.7497 -0.7735,0.7854 l -0.6664,0.0357 v 0.357 C 2.1745,0 2.1745,0 2.3054,0 2.6743,0 3.9833,0.0357 4.1737,0.0357 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="0.0952"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path168" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g216"
transform="translate(-687.14233,-93.690514)">
<g
id="g214"
transform="translate(-48,-18)">
<g
id="g188">
<g
transform="translate(1317.1172,206.35156)"
id="g186">
<path
transform="scale(0.017,-0.017)"
d="m 9,1 c 15,-8 31,-12 43,-12 33,0 72,29 103,76 l 76,117 11,-69 c 13,-85 36,-124 72,-124 22,0 54,17 86,46 l 49,44 -9,19 C 404,68 379,53 363,53 c -15,0 -28,10 -38,30 -9,19 -20,56 -25,85 l -18,101 35,49 c 47,65 74,88 105,88 16,0 28,-8 33,-23 l 14,4 15,85 c -12,7 -21,10 -30,10 -40,0 -80,-36 -142,-128 l -37,-55 -6,48 c -12,99 -39,135 -98,135 -26,0 -48,-8 -57,-21 L 56,378 73,368 c 30,34 50,48 69,48 33,0 55,-41 72,-139 l 11,-62 -40,-62 C 142,86 108,54 80,54 65,54 54,58 52,63 L 41,91 21,88 C 21,53 13,27 9,1 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path184" />
</g>
</g>
<g
id="g200">
<g
id="g198">
<g
id="g196">
<g
id="g194">
<g
transform="translate(1330.5703,213.41562)"
id="g192">
<path
d="m -1.2035,-8.5918 -0.1428,-0.1309 c -0.6188,0.3094 -1.0472,0.4165 -1.904,0.4998 l -0.0476,0.2499 h 0.5712 c 0.2856,0 0.4046,0.0833 0.4046,0.2856 0,0.0833 -0.0119,0.2142 -0.0238,0.2856 l -1.2019,6.5569 c -0.0119,0.0357 -0.0119,0.0833 -0.0119,0.119 0,0.4641 0.5712,0.8568 1.2257,0.8568 0.4403,0 1.0472,-0.2261 1.5589,-0.595 1.1424,-0.8092 1.9278,-2.4395 1.9278,-4.0103 0,-0.4522 -0.1071,-0.9163 -0.2499,-1.0948 -0.0833,-0.1071 -0.238,-0.1666 -0.4165,-0.1666 -0.2856,0 -0.6426,0.0952 -0.9758,0.2618 -0.6069,0.3213 -0.9996,0.6783 -1.7374,1.6184 z m 1.0353,3.5462 c 0.3094,0 0.4641,0.2737 0.4641,0.8568 0,0.7616 -0.2499,1.785 -0.6069,2.5585 -0.3927,0.8211 -0.8687,1.2019 -1.5113,1.2019 -0.5474,0 -0.8449,-0.2737 -0.8449,-0.7735 0,-0.4046 0.1785,-2.0825 1.1424,-3.094 0.3927,-0.4046 1.0115,-0.7497 1.3566,-0.7497 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="0.0952"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path190" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g212">
<g
id="g210">
<g
id="g208">
<g
id="g206">
<g
transform="translate(1341.1641,220.91562)"
id="g204">
<path
d="m -7.5954,-8.6172 0.0833,0.238 0.3808,-0.2499 c 0.4403,-0.2737 0.476,-0.2975 0.5593,-0.2975 0.119,0 0.2142,0.119 0.2142,0.2737 0,0.0833 -0.0476,0.357 -0.0952,0.5236 l -0.7854,2.856 c -0.0952,0.3689 -0.1547,0.6902 -0.1547,0.9163 0,0.2856 0.1309,0.4641 0.357,0.4641 0.3094,0 0.7378,-0.2499 1.904,-1.1186 l -0.119,-0.2142 -0.3094,0.2023 c -0.3451,0.2261 -0.6188,0.357 -0.7259,0.357 -0.0833,0 -0.1547,-0.119 -0.1547,-0.238 0,-0.119 0.0238,-0.2261 0.0833,-0.476 l 0.9163,-3.6176 c 0.0476,-0.2023 0.0714,-0.3332 0.0714,-0.4284 0,-0.2023 -0.1071,-0.3094 -0.2975,-0.3094 -0.2618,0 -0.7021,0.2499 -1.5946,0.8806 z m 2.3086,-3.8556 c -0.3451,0 -0.6902,0.3927 -0.6902,0.7973 0,0.2975 0.1785,0.4879 0.4641,0.4879 0.3689,0 0.6545,-0.3451 0.6545,-0.7973 0,-0.2856 -0.1785,-0.4879 -0.4284,-0.4879 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="0.0952"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path202" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g238"
transform="translate(-258.54576,-114.32632)">
<g
id="g236">
<g
id="g222">
<g
transform="translate(460.52344,211.22656)"
id="g220">
<path
transform="scale(0.017,-0.017)"
d="m 9,1 c 15,-8 31,-12 43,-12 33,0 72,29 103,76 l 76,117 11,-69 c 13,-85 36,-124 72,-124 22,0 54,17 86,46 l 49,44 -9,19 C 404,68 379,53 363,53 c -15,0 -28,10 -38,30 -9,19 -20,56 -25,85 l -18,101 35,49 c 47,65 74,88 105,88 16,0 28,-8 33,-23 l 14,4 15,85 c -12,7 -21,10 -30,10 -40,0 -80,-36 -142,-128 l -37,-55 -6,48 c -12,99 -39,135 -98,135 -26,0 -48,-8 -57,-21 L 56,378 73,368 c 30,34 50,48 69,48 33,0 55,-41 72,-139 l 11,-62 -40,-62 C 142,86 108,54 80,54 65,54 54,58 52,63 L 41,91 21,88 C 21,53 13,27 9,1 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path218" />
</g>
</g>
<g
id="g234">
<g
id="g232">
<g
id="g230">
<g
id="g228">
<g
transform="translate(473.97656,218.29062)"
id="g226">
<path
transform="scale(0.0119,-0.0119)"
d="M 16,23 V -3 c 187,0 187,3 223,3 36,0 36,-3 229,-3 V 82 C 353,77 307,81 122,77 l 182,193 c 97,103 127,158 127,233 0,115 -78,186 -205,186 -72,0 -121,-20 -170,-70 L 39,483 h 29 l 13,46 c 16,58 52,83 119,83 86,0 141,-54 141,-139 0,-75 -42,-149 -155,-269 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path224" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
<g
id="g260"
transform="translate(-308.38745,-116.24284)">
<g
id="g258">
<g
id="g244">
<g
transform="translate(550.52344,214.25)"
id="g242">
<path
transform="scale(0.017,-0.017)"
d="m 9,1 c 15,-8 31,-12 43,-12 33,0 72,29 103,76 l 76,117 11,-69 c 13,-85 36,-124 72,-124 22,0 54,17 86,46 l 49,44 -9,19 C 404,68 379,53 363,53 c -15,0 -28,10 -38,30 -9,19 -20,56 -25,85 l -18,101 35,49 c 47,65 74,88 105,88 16,0 28,-8 33,-23 l 14,4 15,85 c -12,7 -21,10 -30,10 -40,0 -80,-36 -142,-128 l -37,-55 -6,48 c -12,99 -39,135 -98,135 -26,0 -48,-8 -57,-21 L 56,378 73,368 c 30,34 50,48 69,48 33,0 55,-41 72,-139 l 11,-62 -40,-62 C 142,86 108,54 80,54 65,54 54,58 52,63 L 41,91 21,88 C 21,53 13,27 9,1 Z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path240" />
</g>
</g>
<g
id="g256">
<g
id="g254">
<g
id="g252">
<g
id="g250">
<g
transform="translate(563.97656,221.31406)"
id="g248">
<path
transform="scale(0.0119,-0.0119)"
d="m 462,224 c 0,121 -107,142 -154,150 80,62 110,108 110,167 0,89 -74,148 -185,148 -68,0 -113,-19 -161,-67 L 43,498 h 31 l 18,56 c 11,34 74,68 126,68 65,0 118,-53 118,-116 0,-75 -59,-138 -130,-138 -8,0 -19,1 -32,2 l -15,1 -12,-53 7,-6 c 38,17 57,22 84,22 83,0 131,-53 131,-144 C 369,88 308,21 215,21 169,21 128,36 98,64 74,86 61,109 42,163 L 15,153 C 36,92 44,56 50,6 c 53,-18 97,-26 134,-26 123,0 278,107 278,244 z"
stroke="#000000"
stroke-opacity="1"
stroke-width="8"
fill="#000000"
fill-opacity="1"
id="path246" />
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</g>
</svg>
</svg>
<p>Jadi kita bisa membuat pasangan bagus $(x_1, x_2)$, $(x_2, x_3)$, $(x_3, x_4)$, ..., $(x_{b_i-1}, x_{b_i})$, yaitu ada $b_i-1$ buah. Kita sebut mereka <b>kandidat</b> dari baris ke-$i$. Dari sini kita simpulkan banyak kandidat adalah $b_i-1$, jika $b_i \geq 2$. </p><p>Jika $b_i=1$ atau $b_i=0$ maka banyak kandidat adalah $0\geq b_i-1$ buah. Sehingga kita simpulkan untuk setiap baris, banyak kandidat pada baris ke-$i$ adalah paling tidak $b_i-1$ buah dimana $b_i$ adalah banyak petak hitam pada baris ke-$i$. </p><p>Perhatikan bahwa kandidat pada baris yang sama pasti mempunyai absis yang berbeda.</p><p>Jadi total kandidat pada papan catur sedikitnya ada</p><p>\[(b_1-1)+(b_2-1)+\cdots+(b_{2n}-1) \geq (b_1+b_2+\cdots+b_{2n})-2n \geq 4n-2n =2n \]</p><p>Sekarang misalkan $y_j$ adalah banyak kandidat diatas yang mempunyai absis di kolom ke-$j$. Kita peroleh $y_{2n}=0$ karena tidak ada kandidat yang mempunyai absis di kolom ke-$2n$, lalu </p><p>\[y_1+y_2+\cdots+y_{2n-1} = \text{banyak kandidat pada papan catur} \geq (b_1-1)+(b_2-1)+\cdots+(b_{2n}-1) \geq 2n \]</p><p>Sehingga</p><p>\[\frac{y_1+y_2+\cdots+y_{2n-1}}{2n-1} \geq \frac{2n}{2n-1}>1\]</p><p>diperoleh terdapat $j$ sehingga $y_j > 1$, dan karena $y_j$ bulat maka $y_j\geq 2$.</p><p>Jadi ada dua kandidat yang sama-sama mempunyai absis pada kolom ke-j. Sebut saja $(a,b)$ dan $(c,d)$ dimana $a$ dan $c$ berada pada kolom ke-$j$. Perhatikan petak $e$ yang berada pada kolom yang sama dengan $b$ dan baris yang sama dengan $c$ (dan $d$), lihat gambar dibawah.</p><p><br /></p><p><br />
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" x="0" y="0" width="702" height="385" style="
width:702px;
height:385px;
background: transparent;
fill: none;
">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" class="role-diagram-draw-area" style="overflow: visible;"><g class="shapes-region" style="stroke: black; fill: none;"><g class="grouped-shape"><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,88 L89,88 L89,198.5 L202,198.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,88 L202,198.5 M162,88 L162,198.5 M122,88 L122,198.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,88 L89,88 M202,128 L89,128 M202,168 L89,168" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,88 L352,88 L352,197.5 L202,197.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,88 L202,197.5 M242,88 L242,197.5 M282,88 L282,197.5 M322,88 L322,197.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,88 L352,88 M202,128 L352,128 M202,168 L352,168" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,168 L89,168 L89,48.5 L202,48.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,168 L202,48.5 M162,168 L162,48.5 M122,168 L122,48.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,168 L89,168 M202,128 L89,128 M202,88 L89,88" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M322,168 L200,168 L200,48.5 L322,48.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M322,168 L322,48.5 M282,168 L282,48.5 M242,168 L242,48.5 M202,168 L202,48.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M322,168 L200,168 M322,128 L200,128 M322,88 L200,88" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M162,88 L202,88 L202,128 L162,128 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: rgb(201, 199, 199); fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M162,88 L202,88 L202,128 L162,128 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M421,232 L461,232 L461,272 L421,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: rgb(201, 199, 199); fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M421,232 L461,232 L461,272 L421,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,232 L89,232 L89,342.5 L202,342.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,232 L202,342.5 M162,232 L162,342.5 M122,232 L122,342.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,232 L89,232 M202,272 L89,272 M202,312 L89,312" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,232 L353,232 L353,341.5 L202,341.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,232 L202,341.5 M242,232 L242,341.5 M282,232 L282,341.5 M322,232 L322,341.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,232 L353,232 M202,272 L353,272 M202,312 L353,312" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M202,312 L89,312 L89,192.5 L202,192.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,312 L202,192.5 M162,312 L162,192.5 M122,312 L122,192.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M202,312 L89,312 M202,272 L89,272 M202,232 L89,232" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M322,312 L200,312 L200,192.5 L322,192.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M322,312 L322,192.5 M282,312 L282,192.5 M242,312 L242,192.5 M202,312 L202,192.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M322,312 L200,312 M322,272 L200,272 M322,232 L200,232" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M162,232 L202,232 L202,272 L162,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: rgb(201, 199, 199); fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M162,232 L202,232 L202,272 L162,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M461,88 L348,88 L348,198.5 L461,198.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,88 L461,198.5 M421,88 L421,198.5 M381,88 L381,198.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,88 L348,88 M461,128 L348,128 M461,168 L348,168" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M461,88 L611,88 L611,197.5 L461,197.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,88 L461,197.5 M501,88 L501,197.5 M541,88 L541,197.5 M581,88 L581,197.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,88 L611,88 M461,128 L611,128 M461,168 L611,168" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M461,168 L348,168 L348,48.5 L461,48.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,168 L461,48.5 M421,168 L421,48.5 M381,168 L381,48.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,168 L348,168 M461,128 L348,128 M461,88 L348,88" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M581,168 L459,168 L459,48.5 L581,48.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M581,168 L581,48.5 M541,168 L541,48.5 M501,168 L501,48.5 M461,168 L461,48.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M581,168 L459,168 M581,128 L459,128 M581,88 L459,88" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M541,88 L581,88 L581,128 L541,128 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: rgb(201, 199, 199); fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M541,88 L581,88 L581,128 L541,128 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M581,232 L353,232 L353,272 L581,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M581,232 L581,272 M541,232 L541,272 M501,232 L501,272 M461,232 L461,272 M421,232 L421,272 M381,232 L381,272" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M581,232 L353,232" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M381,272 L614.5,272 L614.5,197.5 L381,197.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M381,272 L381,197.5 M421,272 L421,197.5 M461,272 L461,197.5 M501,272 L501,197.5 M541,272 L541,197.5 M581,272 L581,197.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M381,272 L614.5,272 M381,232 L614.5,232" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M461,232 L342,232 L342,332.5 L461,332.5 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,232 L461,332.5 M421,232 L421,332.5 M381,232 L381,332.5" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M461,232 L342,232 M461,272 L342,272 M461,312 L342,312" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" " style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="composite-shape"><path class="real" d=" M541,232 L581,232 L581,272 L541,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: none; fill: rgb(126, 211, 33); fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d="" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/><path class="real" d=" M541,232 L581,232 L581,272 L541,272 Z" style="stroke-width: 1px; stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none; fill-opacity: 1;"/></g><g class="arrow-line"><path class="connection real" stroke-dasharray="" d=" M447.59,280.87 C483.15,301.68 519.04,303.64 553.49,278.38" style="stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 2px; fill: none; fill-opacity: 1;"/><g stroke="#000" transform="matrix(0.8526401643540923,0.5224985647159488,-0.5224985647159488,0.8526401643540923,444.8,279.2)" style="stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 2px;"><path d=" M14.21,-6.37 Q6.45,-1.3 0,0 Q6.45,1.3 14.21,6.37"/></g><g stroke="#000" transform="matrix(-0.7935657897789774,0.6084844593680826,-0.6084844593680826,-0.7935657897789774,555.6000000000001,276.8)" style="stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 2px;"><path d=" M14.21,-6.37 Q6.45,-1.3 0,0 Q6.45,1.3 14.21,6.37"/></g></g><g class="arrow-line"><path class="connection real" stroke-dasharray="" d=" M179,39 L179,70.5" style="stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 2px; fill: none; fill-opacity: 1;"/><g stroke="#000" transform="matrix(-1.8369701987210297e-16,-1,1,-1.8369701987210297e-16,179,73.5)" style="stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 2px;"><path d=" M14.21,-4.28 Q6.45,-0.59 0,0 Q6.45,0.59 14.21,4.28"/></g></g><g/></g><g/><g/><g/></svg>
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="700" height="383" style="width:700px;height:383px;font-family:Asana-Math, Asana;background:transparent;"><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,344.1875,111)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M499 329C469 329 442 301 442 271C442 241 469 213 498 213C530 213 558 240 558 271C558 301 530 329 499 329ZM166 329C136 329 109 301 109 271C109 241 136 213 165 213C197 213 225 240 225 271C225 301 197 329 166 329ZM832 329C802 329 775 301 775 271C775 241 802 213 831 213C863 213 891 240 891 271C891 301 863 329 832 329Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,344.1875,149)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M499 329C469 329 442 301 442 271C442 241 469 213 498 213C530 213 558 240 558 271C558 301 530 329 499 329ZM166 329C136 329 109 301 109 271C109 241 136 213 165 213C197 213 225 240 225 271C225 301 197 329 166 329ZM832 329C802 329 775 301 775 271C775 241 802 213 831 213C863 213 891 240 891 271C891 301 863 329 832 329Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,350.046875,205)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,299.046875,205)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,260.046875,204)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,399.046875,204.5)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,439.046875,207)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,478.046875,207.5)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,517.546875,207)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,560.546875,208.5)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,218.546875,204.5)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,179.546875,203)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M124 674C94 674 67 646 67 616C67 586 94 558 123 558C155 558 183 585 183 616C183 646 155 674 124 674ZM124 329C94 329 67 301 67 271C67 241 94 213 123 213C155 213 183 240 183 271C183 301 155 329 124 329ZM124 -26C94 -26 67 -54 67 -84C67 -114 94 -142 123 -142C155 -142 183 -115 183 -84C183 -54 155 -26 124 -26Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,346.1875,256)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M499 329C469 329 442 301 442 271C442 241 469 213 498 213C530 213 558 240 558 271C558 301 530 329 499 329ZM166 329C136 329 109 301 109 271C109 241 136 213 165 213C197 213 225 240 225 271C225 301 197 329 166 329ZM832 329C802 329 775 301 775 271C775 241 802 213 831 213C863 213 891 240 891 271C891 301 863 329 832 329Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,174.96875,113)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M271 204L242 77C238 60 236 42 236 26C236 4 245 -9 260 -9C283 -9 324 17 406 85L399 106C375 86 346 59 324 59C315 59 309 68 309 82C309 87 309 90 310 93L402 472L392 481L359 463C318 478 301 482 274 482C246 482 226 477 199 464C137 433 104 403 79 354C35 265 4 145 4 67C4 23 19 -11 38 -11C75 -11 155 41 271 204ZM319 414C297 305 278 253 244 201C187 117 126 59 94 59C82 59 76 72 76 99C76 163 104 280 139 360C163 415 186 433 234 433C257 433 275 429 319 414Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,559.96875,118)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M235 722L223 733C171 707 135 698 63 691L59 670L107 670C131 670 141 663 141 646C141 639 140 628 139 622L38 71C37 68 37 64 37 61C37 22 85 -11 140 -11C177 -11 228 8 271 39C367 107 433 244 433 376C433 414 424 453 412 468C405 477 392 482 377 482C353 482 323 474 295 460C244 433 211 403 149 324ZM322 424C348 424 361 401 361 352C361 288 340 202 310 137C277 68 237 36 183 36C137 36 112 59 112 101C112 135 127 276 208 361C241 395 293 424 322 424Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,177.96875,255)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M342 330L365 330C373 395 380 432 389 458C365 473 330 482 293 482C248 483 175 463 118 400C64 352 25 241 25 136C25 40 67 -11 147 -11C201 -11 249 9 304 54L354 95L346 115L331 105C259 57 221 40 186 40C130 40 101 80 101 159C101 267 136 371 185 409C206 425 230 433 261 433C306 433 342 414 342 390Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,434.96875,257)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M483 722L471 733C419 707 383 698 311 691L307 670L355 670C379 670 389 663 389 646C389 638 388 629 387 622L359 468C329 477 302 482 277 482C208 482 114 410 68 323C37 265 17 170 17 86C17 21 32 -11 61 -11C88 -11 125 6 159 33C213 77 246 116 313 217L290 126C279 82 274 50 274 24C274 3 283 -9 300 -9C317 -9 341 3 375 28L456 88L446 107L402 76C388 66 372 59 363 59C355 59 349 68 349 82C349 90 350 99 357 128ZM114 59C98 59 89 73 89 98C89 224 135 380 184 418C197 428 216 433 243 433C287 433 316 427 349 410L337 351C300 171 159 59 114 59Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><g transform="matrix(1,0,0,1,556.96875,256)"><path transform="matrix(0.017,0,0,-0.017,0,0)" d="M328 111L304 94C251 56 203 36 167 36C120 36 91 73 91 133C91 158 94 185 99 214C116 218 225 248 250 259C335 296 374 342 374 404C374 451 340 482 290 482C222 496 112 423 75 349C45 299 15 180 15 113C15 35 59 -11 131 -11C188 -11 244 17 336 92ZM113 274C130 343 150 386 179 412C197 428 228 440 252 440C281 440 300 420 300 388C300 344 265 297 213 272C185 258 149 247 104 237Z" stroke="rgb(0,0,0)" stroke-opacity="1" stroke-width="8" fill="rgb(0,0,0)" fill-opacity="1"></path></g></g></g></g><g><g><g><text x="469.328125" y="297.390625" style="white-space:pre;stroke:none;fill:rgb(0,0,0);fill-opacity:1;font-size:15px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-weight:normal;font-style:normal;dominant-baseline:text-before-edge;text-decoration:none;">tukar warna</text></g></g></g><g><g><g><text x="149.921875" y="17" style="white-space:pre;stroke:none;fill:rgb(0,0,0);fill-opacity:1;font-size:15px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-weight:normal;font-style:normal;dominant-baseline:text-before-edge;text-decoration:none;">kolom ke-j</text></g></g></g></svg>
</svg>
</p><p>Apabila $e$ berwarna hitam, maka $abce$ adalah segiempat yang kita mau (jika harus menukar warna, tinggal tukar warna petak lain yang bukan $a$, $b$, $c$, $d$ atau $e$). Jika $e$ mempunyai warna lain, katakanlah hijau, maka kita tukar warna $e$ dan $d$ (dan mereka ini terletak pada baris yang sama), sehingga diperoleh segiempat $abce$ yang memenuhi syarat soal. </p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-84887191447269499512020-09-05T05:07:00.010-07:002020-09-05T18:29:17.233-07:00Posting a SVG image<p>I found a way to post SVG into the blog, this image below was created using geogebra and inkscape. It is a vector image that scale very well.</p>
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<center>
<svg
xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/"
xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#"
xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"
xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg"
xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
version="1.1"
viewbox="0 0 666 668"
width="60%"
preserveAspectRatio="xMidYMid meet"
id="svg49">
<metadata
id="metadata53">
<rdf:RDF>
<cc:Work
rdf:about="">
<dc:format>image/svg+xml</dc:format>
<dc:type
rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage" />
<dc:title></dc:title>
</cc:Work>
</rdf:RDF>
</metadata>
<defs
id="defs13" />
<path
style="fill:#000000;stroke-width:7.67797"
d="M 14.662462,330.02559 V 12.152706 H 332.31128 649.96011 V 330.02559 647.89847 H 332.31128 14.662462 Z m 368.488068,248.1998 c 101.19368,-20.80975 177.81756,-98.11081 198.3393,-200.09219 4.61135,-22.91565 4.50482,-74.24601 -0.20087,-96.79913 C 559.58638,177.31941 479.58726,99.216708 375.87059,80.785238 c -22.52449,-4.00282 -62.94294,-3.96614 -85.79008,0.0779 -53.28018,9.43073 -97.75025,32.607292 -135.94448,70.850422 -38.45318,38.50241 -62.495908,85.44538 -70.874058,138.38011 -3.64845,23.05167 -2.54738,72.18911 2.08881,93.217 21.240288,96.33763 96.231358,172.28172 191.452678,193.88573 32.27808,7.32331 73.78603,7.72497 106.34707,1.02902 z"
id="path55" />
<path
style="fill:#000000;stroke-width:7.67797"
d="M 229.48854,330.02559 V 225.29291 H 333.22933 436.97014 V 330.02559 434.75827 H 333.22933 229.48854 Z m 134.95484,67.06825 c 45.25667,-21.72758 56.04615,-82.62851 21.0151,-118.61894 -33.90578,-34.8343 -94.31179,-26.45197 -117.05189,16.24292 -21.99546,41.29683 -1.83029,91.82833 42.39644,106.24026 4.97981,1.62276 13.95395,2.32595 25.18049,1.9731 14.75894,-0.46388 19.13842,-1.36214 28.45986,-5.83734 z"
id="path57" />
<path
style="fill:#000000;stroke-width:7.67797"
d="M 299.26111,330.02559 V 296.9521 h 33.05017 33.05016 v 33.07349 33.07348 h -33.05016 -33.05017 z m 45.82987,20.88123 c 7.24497,-4.28273 11.08986,-11.84357 11.08986,-21.80782 0,-7.33247 -0.92112,-9.54974 -6.13457,-14.76689 -3.37402,-3.3764 -8.33699,-6.69206 -11.0288,-7.36813 -12.6895,-3.18711 -27.44729,6.03111 -29.80704,18.61848 -3.68244,19.64295 18.73077,35.46213 35.88055,25.32436 z"
id="path59" />
<g
transform="matrix(1.1833734,0,0,1.1600969,304.35913,535.9052)"
id="surface1">
<g
id="g79"
style="fill:#000000;fill-opacity:1">
<g
id="use77"
transform="translate(-1.0928,24.947001)">
<path
style="stroke:none"
d="M 5.734375,-2.796875 C 5.375,-1.40625 5.3125,-1.109375 2.46875,-1.109375 c -0.609375,0 -0.96875,0 -0.96875,0.71875 C 1.5,0 1.828125,0 2.46875,0 h 12.8125 c 5.65625,0 9.890625,-4.234375 9.890625,-7.75 0,-2.578125 -2.078125,-4.65625 -5.5625,-5.046875 3.734375,-0.6875 7.5,-3.34375 7.5,-6.75 0,-2.65625 -2.359375,-4.9375 -6.671875,-4.9375 H 8.390625 c -0.6875,0 -1.046875,0 -1.046875,0.703125 0,0.40625 0.328125,0.40625 1.015625,0.40625 0.0625,0 0.75,0 1.359375,0.0625 0.640625,0.07813 0.96875,0.109375 0.96875,0.578125 0,0.140625 -0.03125,0.25 -0.140625,0.6875 z M 11.15625,-13.125 13.375,-22.015625 c 0.328125,-1.25 0.390625,-1.359375 1.9375,-1.359375 h 4.625 c 3.15625,0 3.90625,2.109375 3.90625,3.6875 0,3.15625 -3.078125,6.5625 -7.453125,6.5625 z m -1.625,12.015625 c -0.5,0 -0.5625,0 -0.78125,-0.03125 C 8.390625,-1.1875 8.28125,-1.21875 8.28125,-1.5 c 0,-0.109375 0,-0.1875 0.1875,-0.828125 l 2.46875,-10 h 6.78125 c 3.4375,0 4.125,2.640625 4.125,4.1875 0,3.546875 -3.203125,7.03125 -7.421875,7.03125 z m 0,0"
id="path123" />
</g>
</g>
<g
id="g83"
style="fill:#000000;fill-opacity:1">
<g
id="use81"
transform="translate(26.1124,30.325399)">
<path
style="stroke:none"
d="m 12.953125,-8.015625 c 0,-2.75 -0.328125,-4.734375 -1.484375,-6.5 -0.765625,-1.15625 -2.328125,-2.15625 -4.34375,-2.15625 -5.8125,0 -5.8125,6.859375 -5.8125,8.65625 0,1.8125 0,8.515625 5.8125,8.515625 5.828125,0 5.828125,-6.703125 5.828125,-8.515625 z M 7.125,-0.203125 C 5.96875,-0.203125 4.4375,-0.875 3.9375,-2.9375 3.59375,-4.421875 3.59375,-6.484375 3.59375,-8.34375 c 0,-1.828125 0,-3.734375 0.375,-5.109375 C 4.5,-15.4375 6.09375,-15.96875 7.125,-15.96875 c 1.359375,0 2.671875,0.828125 3.125,2.28125 0.390625,1.359375 0.421875,3.171875 0.421875,5.34375 0,1.859375 0,3.71875 -0.328125,5.3125 -0.5,2.28125 -2.203125,2.828125 -3.21875,2.828125 z m 0,0"
id="path127" />
</g>
</g>
</g>
<g
id="g180"
style="fill:#000000;fill-opacity:1"
transform="matrix(0.57268287,0,0,0.70362386,322.83152,378.92236)">
<g
id="use178"
transform="translate(-1.0928,24.947001)">
<path
style="stroke:none"
d="M 5.734375,-2.796875 C 5.375,-1.40625 5.3125,-1.109375 2.46875,-1.109375 c -0.609375,0 -0.96875,0 -0.96875,0.71875 C 1.5,0 1.828125,0 2.46875,0 h 12.8125 c 5.65625,0 9.890625,-4.234375 9.890625,-7.75 0,-2.578125 -2.078125,-4.65625 -5.5625,-5.046875 3.734375,-0.6875 7.5,-3.34375 7.5,-6.75 0,-2.65625 -2.359375,-4.9375 -6.671875,-4.9375 H 8.390625 c -0.6875,0 -1.046875,0 -1.046875,0.703125 0,0.40625 0.328125,0.40625 1.015625,0.40625 0.0625,0 0.75,0 1.359375,0.0625 0.640625,0.07813 0.96875,0.109375 0.96875,0.578125 0,0.140625 -0.03125,0.25 -0.140625,0.6875 z M 11.15625,-13.125 13.375,-22.015625 c 0.328125,-1.25 0.390625,-1.359375 1.9375,-1.359375 h 4.625 c 3.15625,0 3.90625,2.109375 3.90625,3.6875 0,3.15625 -3.078125,6.5625 -7.453125,6.5625 z m -1.625,12.015625 c -0.5,0 -0.5625,0 -0.78125,-0.03125 C 8.390625,-1.1875 8.28125,-1.21875 8.28125,-1.5 c 0,-0.109375 0,-0.1875 0.1875,-0.828125 l 2.46875,-10 h 6.78125 c 3.4375,0 4.125,2.640625 4.125,4.1875 0,3.546875 -3.203125,7.03125 -7.421875,7.03125 z m 0,0"
id="path221" />
</g>
</g>
<g
id="g184"
style="fill:#000000;fill-opacity:1"
transform="matrix(0.57268287,0,0,0.70362386,322.54495,378.39982)">
<g
id="use182"
transform="translate(26.1124,30.325399)">
<path
style="stroke:none"
d="m 8.40625,-15.96875 c 0,-0.671875 -0.046875,-0.703125 -0.75,-0.703125 -1.609375,1.578125 -3.890625,1.609375 -4.921875,1.609375 v 0.90625 c 0.609375,0 2.265625,0 3.640625,-0.703125 V -2.0625 c 0,0.828125 0,1.15625 -2.515625,1.15625 H 2.90625 V 0 c 0.453125,-0.03125 3.546875,-0.09375 4.46875,-0.09375 0.78125,0 3.953125,0.0625 4.5,0.09375 v -0.90625 h -0.953125 c -2.515625,0 -2.515625,-0.328125 -2.515625,-1.15625 z m 0,0"
id="path225" />
</g>
</g>
</svg>
</center>
<p>The image was imitation from the "Introduction to Set Theory" book by Hrbacek and Jech, where </p><p>the lemma $|A|=|C|$ and $A\subseteq B \subseteq C$ implies $|B|=|C|$ is proved.</p>Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-91280268063043594702019-07-10T01:13:00.000-07:002019-07-10T01:31:06.273-07:00Soal OSN No 8, Sub-(multi)-himpunan berjumlah nol<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<blockquote class="tr_bq">
Diberikan bilangan bulat $a_1$, $a_2$, ..., $a_{2n}$ yang memenuhi $a_i \in [-n,n]$ dan<br />
\[\sum_{i=1}^{2n} a_i = n+1\]<br />
Buktikan bahwa ada sekelompok dari $a_i$ yang apabila dijumlahkan akan sama-dengan nol.</blockquote>
<br />
Salah satu cara untuk SOAL NO 2 dengan modifikasi, dapat digunakan disini.<br />
<br />
Pertama-tama, perhatikan bahwa jika $a_i=0$ untuk suatu $i$, maka soal selesai dengan mengambil singleton $\{a_i\}$. Jadi asumsikan saja tidak ada $a_i$ yang sama-dengan nol. Misalkan ada $r$ buah yang negatif, jadi ada $s=2n-r$ buah yang positif. Asumsikan<br />
<br />
\[a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_r < 0 < a_{r+1} \leq a_{r+2} \leq \cdots \leq a_{2n}\]<br />
<br />
Definisikan $c_i= |a_i|$ untuk $i=1,2,...,r$, dan $b_j = a_{r+j}$ untuk $j=1,2,..., k$.<br />
<br />
Maka kita peroleh $1\leq c_1,c_2,...,c_{r} \leq n$ dan $1 \leq b_1,b_2,...,b_{s} \leq n$ dan<br />
<br />
\[\sum_{j=1}^{2n}a_i =n+1 \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{s} b_i - \sum_{j=1}^r c_i = n+1\]<br />
<br />
Soalnya jadi ekuivalen dengan membuktikan bahwa ada sekelompok dari $c_i$ dan sekolompok dari $b_i$ yang hasil penjumlahannya sama.<br />
<br />
Seperti cara no 2, misalkan $C_0 =B_0 = 0$, dan $B_k=\sum_{i=1}^k b_i$ dan $C_k = \sum_{i=1}^k c_k$, jadi kita peroleh $C_r - B_s = -(n+1) < 0$, sehingga $C_k < B_s$ untuk setiap $k \leq r$.<br />
<br />
Jadi untuk setiap $i$, barisan $C_i$ , $C_{i}-B_1$, $C_{i}-B_2$, ..., $C_{i}-B_{s}$ adalah barisan yang monoton turun dari positif menuju negatif. Sehingga terdapat index $s_i$ sedemikian sehingga<br />
<br />
\[C_i - B_{s_i} > 0 \qquad \text{dan} \qquad C_i - B_{s_i+1} < 0\]<br />
<br />
dan karena $b_{s_i+1} \leq n$, diperoleh $1 \leq C_i - B_{s_i} \leq n-1$ untuk $i=1,2,..,r$.<br />
<br />
Namun dari sini kita tidak bisa langsung melakukan PigeonHole Principle seperti pada soal NO 2, karena belum tentu $r\geq n$. Jadi <b>belum tentu</b> bisa disimpulkan $C_i - B_{s_i} = C_{j}-B_{s_j}$ untuk suatu $i$ dan $j$.<br />
<br />
Untuk itu kita bisa menyelesaikan soal dengan menambahkan cara berikut:<br />
<br />
Perhatikan bahwa karena $B_s- C_r = n+1$, maka $B_j - C_r < n+1$ untuk setiap $1\leq j\leq s-1$.<br />
<br />
Untuk $1 \leq k\leq s-1$ pandang barisan<br />
<br />
\[ 0 < B_k-C_0, \qquad B_{k}-C_1, \qquad B_k - C_2, \qquad \cdots \qquad B_k - C_r < n+1 \]<br />
<br />
yang merupakan barisan yang mulai dari bilangan bulat positif dan menurun menuju bilangan dibawah $n+1$, misalkan $r_k$ adalah bilangan bulat non-negatif terkecil sedemikian sehingga<br />
<br />
\[B_{k} - C_{r_k} < n+1 \]<br />
<br />
Perhatikan bahwa $B_{k} - C_{r_k}>0$ karena jika $B_{k} - C_{r_k} \leq 0$, maka $r_k \neq 0$ (karena $B_k - C_0 = B_k$ positif) sehingga diperoleh $B_k - C_{r_k-1} \leq c_{r_k} \leq n < n+$, kontradiksi dengan $r_k$ terkecil.<br />
<br />
Jadi kita peroleh $1 \leq B_k - C_{r_k} \leq n$ untuk $k=1, 2, ..., s-1$.<br />
<br />
<br />
Sampai saat ini yang telah kita peroleh adalah:<br />
<br />
<ol style="text-align: left;">
<li>$r$ buah blangan berbeda $C_i - B_{s_i}$ ($i=1,2,..,r$) yang berada di interval $[1,n-1]$ </li>
<li>$s-1$ buah bilangan berbeda $B_k - C_{r_k}$ ($k=1, 2, ..., s-1$ ) yang berada di interval $[1,n]$</li>
</ol>
<div>
Jika $r\geq n$, maka dengan Pigeonhole Principle pada (1) kita selesai. Jadi diperoleh $r \leq n-1$. </div>
<div>
Lalu jika $s-1 \geq n+1$ maka dengan Pigeonhole Principle pada (2) kita selesai. Jadi diperoleh $s \leq n+1$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Namun $2n=s+r \leq s+n-1$, sehingga $s \geq n+1$, jadi kita simpulkan $s=n+1$. Dan karena semua bilangan $B_k - C_{r_k}$ harus berbeda semua, maka mereka adalah $1$, $2$, ..., $n$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Perhatikan bahwa $1 \leq b_1 \leq n$, sehingga terdapat $k$ sedemikian sehingga</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[B_k - C_{r_k} = b_1\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
jadi diperoleh $c_1 + c_2 +\cdots +c_{r_k} = b_2 + \cdots +b_k$, terbukti.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Penulisan formal dapat dilihat di <a href="http://bit.ly/2XxLhOA">link berikut</a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-84151169753185699832019-07-08T01:33:00.000-07:002019-07-09T23:56:52.716-07:00Soal No 2, OSN MATEMATIKA 2019, Kotak dan Bola<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Diberikan 200 kotak merah yg berisi masing-masing maksimal 19 bola dan minimal 1 bola dan 19 kotak biru yg masing-masing berisi maksimal 200 bola dan minimal 1 bola.<br />
Diketahui banyak bola biru < banyak bola merah . Buktikkan ada sekelompok kotak merah yg jumlah bolanya sama dengan sekelompok kotak biru.</blockquote>
<br />
Soal ini sebenarnya soal yang sama dengan soal Putnam 1993 A4, dan pernah saya kasi (dalam bentuk general) pada pelatihan IMO Indonesia 2017.<br />
<br />
Bagi yang pernah membaca buku Combinatorics dari Pranav (yang dapat diperoleh gratis <a href="https://artofproblemsolving.com/community/c6h601134">disini</a>) , pada awal-awal buku tersebut, terdapat proses heuristic/algoritma yang sering bisa diterapkan untuk soal-soal seperti ini, saya biasanya sebut ini "Discrete Intermediate Value Theorem" (meskipun ga fitting sih).<br />
<br />
Intinya jika anda mempunyai barisan $b_1$, $b_2$ , ..., $b_{N}$ dan anda ingin mencari suku pada barisan ini yang sama-dengan nol, maka saat yang paling rentan terjadi kontradiksi (Pranav bilang unsafe) adalah ketika $b_i$ berpindah dari positif menjadi negatif atau dari negatif menjadi positif.<br />
<br />
Mari kita lihat generalisasi dari soal OSN 2019 no 2;<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Mario has $m$ mushrooms and $n$ flowers, their weights when expressed in grams, are all positive integers, and two (mushrooms or flowers) are not necessarily to have the same weight . It is known that each mushrooms weight no more than $n$ grams, and each flowers weigh no more than $m$ grams. Prove that Mario can choose a non-empty subset of mushrooms and flowers of the same weight. </blockquote>
<br />
Apabila kita menyatakan berat masing-masing mushroom sebagai $a_1$, $a_2$ , ..., $a_m$ dan berat masing-masing flowers sebagai $b_1$, $b_2$, ..., $b_n$; dimana $1\leq a_i \leq n$ dan $1 \leq b_i \leq m$, maka kita ingin membuktikan bahwa<br />
<br />
\[\sum_{j=l_1}^{l_2} b_j = \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i \]<br />
<br />
Perlu diketahui bahwa jumlah yang sama memang tidak harus berurutan seperti $a_4+a_5+a_6+a_7=b_{10}+b_{11}+b_{12}$, karena bisa saja "lompat-lompat" seperti $a_5+a_{10}+a_{13} = b_{10}+b_{11}+b_{23}$.<br />
<br />
Namun hal ini sebenarnya hanya bergantung pada pelabelan $a_i$'s dan $b_i$'s kita diawal yang masih random, jadi kasus yang "lompat" tersebut sebenarnya bisa jadi kasus yang berurutan apabila diawal kita melakukan pelabelan (peng-indeks-an) yang berbeda.<br />
Biasanya, dalam mengerjakan soal saya menetapkan asumsi pengurutan (seperti WLOG $a_n$ terbesar, dan sebagainya ) ini diakhir-akhir ketika diperlukan sebagai last resort (saya sering anggap itu kartu AS).<br />
<br />
Lanjut ke solusi soal no 2;<br />
<br />
Untuk setiap $k$, definisikan $A_k = \sum_{j=1}^k a_j$ dan $B_k = \sum_{j=1}^k b_j$, dan kita lihat hasil pengurangan $A_i - B_j$; Soal akan terbukti apabila kita peroleh salah satu dari hasil berikut:<br />
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>$A_i - B_j =0$ untuk suatu $i$ dan $j$.</li>
<li>$A_i - B_j = A_{i^{\prime}} - B_{j^{\prime}}$ untuk suatu $i$, $j$, $i^{\prime}$ dan $j^{\prime}$.</li>
<li>$A_i - B_j = A_{i^{\prime}}$ atau $A_i - B_j = -B_{j^{\prime}}$</li>
</ul>
<div>
Untuk menggabungkan dua kondisi terakhir, kita bisa mendefinisikan $A_0 = B_0=0$ sehingga $A_i - B_j = A_{i^{\prime}}$ dapat ditulis menjadi $A_i - B_j = A_{i^{\prime}} - B_0$ dan $A_i - B_j = -B_{j^{\prime}}$ menjadi $A_i - B_j = A_0-B_{j^{\prime}}$; Jadi kondisi kedua dan ketiga bisa digabung.</div>
<br />
<br />
Karena ada banyak $(i,j)$ maka bisa kita tulis dalam bentuk tabel:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&A_0 - B_0& & A_0 - B_1& & A_0 - B_2 & &\cdots & &A_0-B_n& \\<br />
&A_1 - B_0& & A_1 - B_1& & A_2- B_2 & &\cdots & &A_1 - B_n& \\<br />
&\vdots & &\ddots& &\vdots & &\cdots &&\vdots&\\<br />
&A_m- B_0 & & A_m-B_1 & & A_m-B_2 & & \cdots & & A_m- B_n<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kita akan asumsikan bahwa tidak ada satupun entri pada tabel diatas yang sama-dengan nol (Jika ada soal selesai). Perhatikan bahwa dari kiri ke kanan entri pada tabel diatas monoton turun. Sedangkan dari atas kebawah entri pada tabel nilainya monton naik. Kita sebut baris pertama sebagai baris ke-0, dan baris terakhir sebagai baris ke-$m$, begitu juga kolom.<br />
<br />
Pada baris ke $m$, dimulai dari $A_m-B_0$ yang bernilai positif dan nilainya menurun ketika ditelusuri dari kiri ke kanan sampai pada saat paling minimum di $A_m-B_n$.<br />
<br />
Disini kita akan menggunakan (Kartu As) dengan mengasumsikan WLOG $A_m < B_n $ (jika $A_m=B_n$ soal langsung selesai.) Asumsi ini diambil, karena kita ingin ada entri yang nol, dan karena disebelah paling kiri entri bernilai positif dan terus menurun ke sebelah kanan maka "chance" mendapat angka nol, akan lebih tinggi ketika barisan bergerak dari positif menuju negatif.<br />
<br />
Asumsi $A_m < B_n$ otomatis membuat semua entri pada kolom ke $m$ bernilai negatif.<br />
<br />
Sekarang kita terapkan argumen dari buku Pranav pada setiap baris. Karena pada setiap baris, entri berubah dari positif menjadi negatif, maka ada "unsafe moment" ketika mereka pertama kali berubah tanda.<br />
<br />
Misalkan pada baris ke $j \geq 1$, kita punya $A_{j} - B_{k_j} > 0$ sedangkan $A_{j}- B_{k_j+1} < 0$.<br />
<br />
Perhatikan bahwa $0 < A_j - B_{k_j} < m$, karena jika $A_j - B_{k_j} \geq m$ maka diperoleh<br />
<br />
\[b_{k_j+1} = A_j-B_{k_j} - (A_j - B_{k_j +1}) > m\]<br />
kontradiksi.<br />
<br />
<a_ -="" b_="" diperoleh="" geq="" j="" jika="" k_j="" karena="" m="" maka="" p=""><br />
Jadi untuk setiap baris kita berhasil mendapatkan entri<br />
<br />
\[A_1 - B_{k_1} , A_2 - B_{k_2} , \cdots , A_m -B_{k_m}\]<br />
<br />
yang semuanya berada pada interval $[1,m-1]$, sehingga dengan PigeonHole Principle diperoleh $A_s-B_t = A_{s^{\prime}} - B_{t^\prime}$, dan soal terbukti.<br />
<br />
<br />
Untuk bukti formal dapat dilihat dari <a href="http://bit.ly/2SaaLRc">pdf berikut</a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</a_></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-17279103219297533402019-07-07T23:41:00.000-07:002019-07-07T23:59:02.307-07:00Soal No 4 , OSN Matematika 2019, Segitiga Kesatuan. <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<blockquote class="tr_bq">
Untuk bilangan asli $N$ dan bilangan asli $x \in \{1,2,..., N^2\}$ yang mempunyai paritas yang sama dengan $N$. Kita akan sebut kesatuan segitiga dari $\{1,2,...,N^2\} \backslash \{x\}$ sebagai suatu cara untuk membentuk urutan penjumlahan<br />
\begin{align*}<br />
<br />
a_1+a_2 &= a_3 \\<br />
a_4+a_5+a_6 &= a_7+a_8 \\<br />
&\, \vdots \\<br />
a_{N^2-2N+1}+\cdots+a_{N^2-N}&=a_{N^2-N+1}+\cdots+a_{N^2-1}<br />
\end{align*}<br />
dimana pada baris ke-$j$ terdapat $j+1$ suku disisi kiri dan $j$ suku disisi kanan. Buktikan bahwa $S(N^2,x)$ selalu ada apabila $x\equiv N \pmod 2$.</blockquote>
<br />
Untuk solusinya, karena terlalu panjang untuk ditulis dipost ini, jadi saya ketik di pdf, dan dapat dilihat pada <a href="http://bit.ly/2LDk4rz">link berikut</a><br />
<div>
(Solusi Official, Video juga bisa dilihat di <a href="https://youtu.be/VeL9VH3m334">youtube</a>)<br />
<br />
Kali ini saya akan menunjukkan proses mendapatkan solusi yang sudah saya tulis formal diatas.<br />
<br />
Hal pertama yang penting diperoleh disini adalah, pada $S(N^2,x)$ kita mempunyai $N-1$ buah baris, ini bisa dibuktikan dengan double counting sederhana.<br />
<br />
Ketika pertama kali mencoba soal ini, (setelah mencoba kuli-kuli kasus kecil) saya berpikir seperti mengerjakan persamaan linear.<br />
<br />
Memang "proses linear" seperti mengkalikan semua suku dengan konstanta tidak mengubah tanda samadengan pada semua sistem diatas, namun memperbesar angka yang terlibat dalam segitiga kesatuan. Sebagai contoh jika semua suku dikalikan $2$, maka nanti $N^2$ akan menjadi $2N^2$ yang "kebesaran". <br />
<br />
Untungnya apabila kita hanya menambahkan $+1$ pada semua sukunya, maka segitiga diatas tidak banyak berubah, dan masih bisa di kontrol, selanjutnya malah bisa kita modifikasi menjadi $S(N+1,y)$ untuk suatu $y$.<br />
<br />
Contoh:<br />
<br />
$S(4,2)$ dapat diubah menjadi $S(9,3)$ dengan cara berikut:<br />
<br />
Mulai dari $S(4,2)$ yaitu $1+3=4$, lalu kita grow $+1$ semua sukunya (1 jadi 2, 3 jadi 4, dan 4 jadi 5) dan diperoleh<br />
<br />
\[2+4=5 + 1\]<br />
<br />
Lalu untuk mengatasi kelebihan angka $+1$ pada kanan, kita dapat menyeimbangkan dengan membuat $+1$ tersebut menjadi $(a+1)-a$, dimana $a$ salah satu dari angka yang tersisa yaitu $1$, $6$, $7$, $8$, $9$. Jadi apabila kita pilih $a=6$ maka kita tambahkan ke kedua ruas dan diperoleh<br />
<br />
\[2+4+6=5+7\]<br />
<br />
angka sisanya yaitu $1$, $8$, dan $9$ bisa dijadikan baris pertama yaitu $1+8=9$. Sehingga kita peroleh $S(9,3)$ yaitu<br />
<br />
\begin{align*} 1+8&=9 \\ 2+4+6&=5+7\end{align*}<br />
<br />
Contoh lain kita bisa membuat $S(4,2)$ menjadi $S(9,1)$ dengan cara serupa yakni:<br />
<br />
\begin{align*}\boxed{1+3=4} \longrightarrow \boxed{2+4=5+1} \underbrace{\longrightarrow}_{\{7,8\}} \boxed{2+4+7=5+8} \end{align*}<br />
dengan $3+6=9$ diperoleh $S(9,1)$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
3+6&=9\\<br />
2+4+7&=5+8<br />
\end{align*}<br />
<br />
Berikut beberapa contoh hasil lanjutan diatas:<br />
<br />
$S(9,1) \rightarrow S(16,2)$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
15+1&=16\\<br />
11+4+7&=10+12 \\<br />
13+3+5+8&=14+6+9<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
$S(16,2) \rightarrow S(25,1)$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
22+3&=25 \\<br />
18+16+2&=17+19 \\<br />
20+12+5+8&=11+13+21 \\<br />
23+14+4+6+9&=15+7+10+24\\<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
$S(16,16)\rightarrow S(25,25)$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
23+1&=24\\<br />
17+15+2&=16+18\\<br />
19+3+9+11&=10+12+20 \\<br />
21+4+5+7 +13&=6+8+14+22<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
$S(16,16)\rightarrow S(25,21)$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
24+1&=25\\<br />
22+15+2&=23+16\\<br />
19+3+9+11&=20+10+12 \\<br />
17+4+5+7 +13&=18+6+8+14<br />
\end{align*}<br />
<br />
Untuk bukti formal bahwa prosedur ini selalu dapat dilakukan bisa dilihat pada <a href="http://bit.ly/2LDk4rz">link berikut</a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="font-family: Monaco; font-size: 12px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 16px;">
<br /></div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-15258604489204206152019-05-01T08:17:00.001-07:002022-07-26T02:06:55.008-07:00Finite Difference & Discrete MacLaurin<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div>
<h2 style="text-align: left;">
Finite Difference, Discrete MacLaurin, dan Integer-Valued Polynomials</h2>
</div>
<div>
[Pelatihan Tim IMO 2019 Indonesia , Soto Bang Sawit]<br />
<br /></div>
<div>
Sebuah monomial $M_k(z)=z^k$ dapat kita gunakan dalam expansi Maclaurin-Taylor dari fungsi $f$ sebagai berikut:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k M_k(z) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
dimana $a_k = \frac{d^k (M_k(z))}{dz}\big\lvert_{z=0}$, yakni merupakan turunan ke-$k$ dari $M_k(z)$ yang dievaluasi di $z=0$.</div>
<div>
<br /></div>
Sekarang definisikan barisan suku-banyak sebagai berikut:<br />
<div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[P_0(z)=1 \qquad P_{1}(z)=z \qquad P_2(z)=z(z-1) \qquad P_3(z)=z(z-1)(z-2) \cdots\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Secara umum definisinya adalah sebagai berikut</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[P_k(z)=z(z-1)\cdots (z-k+1)\]</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Untuk "turunan"-nya , kita akan menggunakan finite difference dari fungsi $f$, yakni</div>
<div>
\[\Delta f(z) = f(z+1)-f(z) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Perhatikan bahwa operator $\Delta (g(z))$ bersifat linear, yakni $\Delta(C \cdot g(z)) = C \cdot \Delta (g(z))$ dan $\Delta (g_1(z)+g_2(z)) = \Delta (g_1(z)) + \Delta (g_2(z))$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan melakukan finite difference pada suku-banyak $P_k(z)$, kita dapat memperoleh:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\Delta P_k(z) = k P_{k-1}(z).\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Relasi diatas cukup similar dengan rumus turunan $\frac{d}{dz}(M_k(z)) = k M_{k-1}(z)$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan bekal properti diatas, kita akan mencoba untuk mendapatkan sebuah expansi dari suatu fungsi $f$, yang "analog" dengan expansi Maclaurin-Taylor. (bahkan penurunannya juga mirip.)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Expansi berikut disebut Newton Series:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k P_k(z) = a_0 + a_1 z +a_2 (z)(z-1) + a_3 z(z-1)(z-2)+ \cdots\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Perhatikan bahwa</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{align*}\Delta^2 f(z) &= \Delta ( \Delta f(z) ) \\ &= \Delta ( f(z+1)-f(z)) = (f(z+2)-f(z+1)) - (f(z+1)-f(z)) \\ &= f(z+2) -2f(z+1)+f(z) \end{align*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{align*}\Delta^3 f(z) &= \Delta (f(z+2) -2f(z+1)-f(z))\\ &= f(z+3)-2f(z+2)+f(z+1) - f(z+2)+2f(z+1)-f(z) \\ &=f(z+3)-2f(z+2)+3f(z+1)-f(z) \end{align*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Pola koefisien diatas menurut pada koefisien binomial, dan hal ini cukup mudah untuk dibuktikan dengan induksi, yakni</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\Delta^n (f(z)) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}{n \choose k}f(z+k) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Untuk $z=0$, kita peroleh</div>
<div>
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq">
\begin{equation}\Delta^n (f(0)) =\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k} {n\choose k} f(k) \qquad \qquad (1) \end{equation}</blockquote>
<div>
<br /></div>
<div>
Sekarang kembali lagi ke Newton Series $f(z)=\sum_{k=0}^n a_k P_k(z)$. Perhatikan bahwa karena $P_k(0)=0$ untuk $k\geq 1$, maka $f(0)=a_0$. Lalu dengan melakukan finite difference ke fungsi $f(z)$, diperoleh</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\Delta (f(z)) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \Delta P_k(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot k \cdot P_{k-1}(z) = \sum_{k=1}^{\infty} k a_ k P_{k-1}(z)\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Sehingga $\Delta (f(0)) = a_1$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Lebih lanjut diperoleh</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\Delta^2 (f(z)) = \sum_{k=1}^{\infty} ka_k (k-1) P_{k-2}(z) = \sum_{k=2}^{\infty} ka_k (k-1) P_{k-2}(z).\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Sehingga $\Delta^2 (f(0)) = 2 a_2$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan menggunakan induksi dan cara diatas, dapat diperoleh bahwa $\Delta^n(f(0)) = n! a_n$, sehingga</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Delta^n(f(0))}{n!} P_n(z) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
jadi</div>
<blockquote class="tr_bq">
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Delta^n(f(0))}{n!} z(z-1) \cdots (z-n+1) \qquad \qquad (2)\]</blockquote>
<div>
<br /></div>
voilà !<br />
<div>
<br /></div>
<div>
Untuk kasus khusus ketika $f(z)=c_m z^m + c_{m-1} z^{m-1} + \cdots +c_0$, yang merupakan suku-banyak dengan derajat $m$, maka suku-suku pada expansi diatas harus berhenti, yakni pada pangkat tertinggi dari $f(z)$, sehingga diperoleh</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[f(z)= \sum_{n=0}^m \frac{\Delta^n(f(0))}{n!} z(z-1) \cdots (z-k+1) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan menyamakan koefisien dan persamaan (1), kita peroleh</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[m! c_m = \Delta^m (f(0)) = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} {m \choose k} f(k) \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
dimana $c_m$ adalah koefisien tertinggi dari suku-banyak $f(z)$.<br />
<br />
Perlu diketahui juga bahwa himpunan suku-banyak $\{P_k(X)\}_{k \geq 0}$ merupakan himpunan yang bebas linear di $\mathbb{Q}$. Karena jika<br />
<br />
\[\alpha_1 P_{k_1}(X)+\cdots + \alpha_m P_{k_m}(X)=0\]<br />
<br />
dimana asumsikan $k_1 > k_2 > \cdots > k_n$ dan $\alpha_i \in \mathbb{Q}$, kita peroleh dengan substitusi $t=k_n$, maka diperoleh $P_{k_{j}}(t) = 0$ untuk $j < n$, dan $P_{k_n}(k_n)= (k_n)! \neq 0$, sehingga<br />
<br />
\[\alpha_n (k_n)! = 0 \Rightarrow \alpha_n =0\]<br />
<br />
apabila dilanjutkan dengan $t=k_{n-1}$, dan seterusnya, maka diperoleh semua $\alpha_i = 0$. Jadi $\{P_k(X)\}_{k \geq 0}$ bebas linear.<br />
<br />
<br />
<br />
Expansi diatas juga dapat memberikan syarat cukup dan perlu untuk sebuat suku banyak $P(X)$ dengan koefisien rational yang memenuhi $P(n) \in \mathbb{Z}$ untuk setiap $n \in \mathbb{Z}$, atau biasa disebut integer-valued polynomials. Contoh $P(n)=\frac{n(n+1)}{2}$.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Sebuah suku-banyak $P(X) \in \mathbb{Q}[X]$ dimana $deg(P(x))=n$ merupakan suku-banyak integer-valued jika dan hanya jika $\Delta^k P(x) \in \mathbb{Z}$ untuk setiap bilangan bulat $k=0,2,..,n$. Jika dan hanya jika \[P(X) = \sum_{j=0}^n a_j {X \choose j} \quad \qquad \text{dimana }a_j \in \mathbb{Z}\]</blockquote>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Buktinya cukup mudah, Jika $P(x)$ integer valued, maka dari rumus $\Delta^n (P(0)) =\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k} {n\choose k} P(k)$, kita peroleh $\Delta^n (P(0))$ selalu bilangan bulat. Sebaliknya jika $\Delta^k P(x) \in \mathbb{Z}$ untuk setiap bilangan bulat $k=0,2,..,n$, maka karena ${X \choose j}$ selalu bilangan bulat untuk setiap $j$, diperoleh $P(X) = \sum_{j=0}^n a_j {X \choose j} \quad \qquad \text{dimana }a_j \in \mathbb{Z}$, dengan $a_j = \Delta^j (P(0))$.<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Berikut ini adalah salah satu penggunaan identitas (2) pada soal USA TST 2019</div>
<div>
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq">
Misalkan $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ menyatakan himpunan bilangan bulat dalam modulo $n$ (jadi mempunyai $n$ anggota). Tentukan semua bilangan asli $n$ sedemikian sehingga terdapat fungsi bijektif $g: \mathbb{Z}/n \mathbb{z} \rightarrow \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ sedemikians sehingga 101 buah fungsi<br />
\[g(x) , \quad g(x)+x , \quad g(x)+2x , \quad , \cdots, \quad , g(x)+100x\]<br />
juga merupakan fungsi bijektif.</blockquote>
<div>
<div>
<br /></div>
<div>
Solusi berikut merupakan solusi dari Evan Chen. Tapi soal ini sebenarnya tidak begitu susah apabila kita sudah mengetahui rumus penjumlahan $\sum_{k=1}^m k^j$, yang melibatkan bilangan Stirling, dan juga dapat diturunkan dari rumus Newton Series di atas.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Intinya, seperti biasa , dalam mengerjakan soal, kita coba lihat untuk kasus kecil dulu, yakni ketika $l=101$ diganti, misalkan $l=2$ atau $l=3$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Pada kasus $l=2$ kita ingin fungsi $g(x)$ dan $g(x)+x$ merupakan fungsi bijektif, atau permutasi dari $(1,2,...,n)$. Jadi apabila kita tambahkan diperoleh</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\sum_{k=1}^n g(k) = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^n g(x)+x = \frac{n(n+1)}{2}\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
sehingga diperoleh $\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} \equiv \frac{n(n+1)}{2} \pmod n$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
jadi $\frac{n(n+1)}{2} \equiv 0 \pmod n$, sehingga $n$ bilangan ganjil.<br />
<br />
Untuk tiga buah fungsi $g(x)$, $g(x)+x$, dan $g(x)+2x$ kita bisa buat menjadi<br />
<br />
\[g(x)^2 - 2(g(x)+x)^2 + (g(x)+2x)^2 = 2x^2\]<br />
<br />
Sehingga<br />
<br />
\begin{align*}\sum_{k=1}^n 2k^2 &= \sum_{k=1}^n g(k)^2 - 2 \sum_{k=1}^n (g(k)+2k)^2 + \sum_{k=1}^n (g(k)+2k)^2\\ &= \sum_{k=1}^nk^2 - 2 \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k^2 \\ &=0 \end{align*}<br />
<br />
Jadi $\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{3} \equiv 0 \pmod n$, sehingga disimpulkan $3\nmid n$.<br />
<br />
Sebenarnya dapat dilihat bahwa pola yang dibutuhkan adalah membentuk $g(x)$, $g(x)+x$, $g(x)+2x$, ..., $g(x)+kx$ menjadi $k!x^k$. Dan pola ini berdasarkan dua kasus kecil diatas, seperti baris pada segitiga pascal (ganti tanda) yakni: $(1,-1)$ dan $(1,-2,1)$.<br />
<br />
Untuk membuktikan pola ini, kita dapat menggunakan rumus (2) diatas pada fungsi $w(k)=x\cdot k + g(x)$, yaitu merupakan fungsi linear dalam variabel $k$. Pertatikan bahwa $w(k)^m$ merupakan suku-banyak dalam $k$ dan berderajat $m$, dengan koefisien tertinggi sama-dengan $x^m$. Jadi apabila kita pakai rumus diatas diperoleh <br />
<br />
\[m! x^m = \Delta^m (w(0)^m) = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} {m \choose k} w(k)^m = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} {m \choose k} (g(x)+k\cdot x)^m \]<br />
<br />
Jadi<br />
<br />
\[m! \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} x^m \equiv \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} {m \choose k} \left( \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}(g(x)+k\cdot x)^m\right) \]<br />
<br />
Sedangkan dari hipotesa $(g(x)+k\cdot x)^m$ bijektif kita peroleh<br />
<br />
\[\sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}(g(x)+k\cdot x)^m \equiv 0^m + 1^m + \cdots+ (n-1)^m \equiv l_{n-1}\]<br />
<br />
untuk setiap $k$.<br />
<br />
Jadi diperoleh<br />
<br />
\[m! \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} x^m \equiv l_{n-1}\left( \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k}{m \choose k}\right) \equiv l_n \cdot 0= 0 \pmod n \]<br />
<br />
Relasi diatas berlaku untuk $m=1,2,..., 100$, dapat diperiksa bahwa untuk $k=0$, rumus juga berlaku.<br />
<br />
Kita akan buktikan bahwa hal ini menyebabkan $p \nmid n$ untuk setiap bilangan prima $p \leq 101$. <br />
<br />
Jika ada bilangan prima $3 \leq p \leq 101$ (karena $p=2$ sudah diperoleh diatas) sehingga $p \lvert n$, asumsikan $p$ prima terkecil yang demikian, dan $v_p(n)=a$. Dengan menggunakan $m=p-1$, diperoleh<br />
<br />
\[(p-1)! \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} x^{p-1} \equiv 0 \pmod n\]<br />
<br />
sehingga dari $(p-1)! \neq 0 \pmod {p^a}$ dan $p^a \lvert n$ diperoleh:<br />
<br />
\[p^a \big \lvert \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} x^{p-1} \]<br />
<br />
Misalkan $S_p \equiv \sum_{x=1}^{p^a} x^{p-1} \pmod {p^a} $, maka<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{p^a} (p^a+k)^{p-1} \equiv \sum_{k=1}^{p^a} (2p^a+k)^{p-1} \equiv \cdots \equiv \sum_{k=1}^{p^a} ((n/p^a-1) p^a+k)^{p-1} \equiv S_p \pmod {p^a}\]<br />
<br />
Jadi<br />
<br />
\[0 \equiv \sum_{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} x^{p-1} \equiv \frac{n}{p^a} \times S_p \pmod {p^{a}}\]<br />
<br />
dan karena $p^a \nmid \frac{n}{p^a}$, diperoleh<br />
<br />
\[p^a \big\lvert \sum_{k=1}^{p^a} k^{p-1}\]<br />
<br />
Kita akan buktikan ini tidak mungkin untuk $a \geq 1$, yakni dengan menggunakan induksi matematika, kita akan buktikan bahwa $v_{p}\left( \sum_{k=1}^{p^a} k^{p-1}\right)=a-1$.<br />
<br />
Jika $a=1$, maka diperoleh $k^{p-1} \equiv 1 \pmod p$, untuk $k \neq p$, sehingga<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{p} k^{p-1} \equiv p-1 \not \equiv 0 \pmod p.\]<br />
jadi $v_p\left(\sum_{k=1}^{p} k^{p-1}\right)=0$.<br />
<br />
Sekarang misalkan benar untuk suatu $a \geq 1$, kita bisa tulis<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{p^a} k^{p-1} = \sum_{(k,p^a) = 1} k^{p-1} + \sum_{k=1}^{p^{a-1}} (k \cdot p)^{p-1}\]<br />
<br />
<br />
Sekarang misalkan $g$ adalah primitive root dari $\mathbb{Z}/p^a\mathbb{Z}$, kita peroleh $\{x \, : (x,p^a)=1\} = \{1,g, g^2, ..., g^{p^{a-1}(p-1)-1}\}$. Sehingga<br />
<br />
\[\sum_{(k,p^a) = 1} k^{p-1} \equiv 1+g^{p-1} + g^{2(p-1)} + \cdots +g^{(p^a(p-1)-1)(p-1)} \equiv \frac{(g^{p-1})^{p^{a-1}(p-1)}-1 }{g^{p-1}-1} \pmod {p^a} \]<br />
<br />
Sedangkan karena $p \lvert g^{p-1}-1$, dengan Lifting The Exponent diperoleh<br />
<br />
\[v_p((g^{p-1})^{p^{a-1}(p-1)}-1) = v_p(g^{p-1}-1 ) + v_p(p^{a-1}(p-1)) =v_p(g^{p-1}-1 ) + a-1 \]<br />
<br />
Jadi<br />
<br />
\[v_p \left(\frac{(g^{p-1})^{p^{a-1}(p-1)}-1 }{g^{p-1}-1} \right) = a-1 < a \]<br />
<br />
sehingga<br />
\[\sum_{(k,p^a) = 1} k^{p-1} = d_1 \cdot p^{a-1} \]<br />
untuk suatu bilangan $d_1$ yang relatif prima dengan $p$.<br />
<br />
Jadi dengan hipotesa induksi<br />
<br />
\[\begin{align*}\sum_{k=1}^{p^a} k^{p-1} &= p^{a-1} d_1 + p^{p-1}\left( \sum_{k=1}^{p^{a-1}} k^{p-1} \right) \\ &= p^{a-1} d_1 + p^{p-1} \left(d_2 p^{a-2} \right) \\&= p^{a-1} (d_1 + p^{p-2} d_2)\end{align*}\]<br />
<br />
karena $p \nmid d_1 + p^{p-2} d_2$, induksi selesai.<br />
<br />
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa tidak ada bilangan prima $p \leq 101$ yang memenuhi $p \lvert n$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Jadi diperoleh semua bilangan prima yang $\leq 101$ harus tidak membagi $n$. Untuk contoh fungsi yang memenuhi ini, cukup ambil $g(x)=x$. Maka $g(x)+kx$ harus bijective untuk $1 \leq k \leq 100$. Karena jika $x$ dan $y$ memenuhi $g(x)+kx \equiv g(y)+ky \pmod n$, maka diperoleh $(x-y)(k+1) \equiv 0 \pmod n$, yang karena $(k+1,n)=1$, diperoleh $x \equiv y \pmod n$. Selesai.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
Soal berikut ini (yang juga ada pada pelatihan) dapat dikerjakan dengan menggunakan syarat cukup dan perlu untuk suku-banyak bernilai bilangan bulat.</div>
<div>
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq">
Tunjukkan bahwa barisan $(\epsilon_n)_{n \in\mathbb{N}}$ yang bernilai plus-minus satu bersifat periodik dengan periode bilangan $2$ berpangkat, jika dan hanya jika $\epsilon_n = (-1)^{P(n)}$ dimana $P(n)$ adalah suku-banyak dengan koefisien bilangan rasional dan bernilai bilangan bulat untuk setiap bilangan bulat.</blockquote>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-15932514943159576972018-12-12T19:15:00.002-08:002018-12-12T19:15:35.599-08:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Salah satu soal simulasi minggu lalu, diambil dari Problem 11666 AMM, October 2012. Solusi diterbitkan di AMM , December 2014, ini <a href="https://imgur.com/a/gMKGyHW">screenshot</a> nya . Berikut ini saya berikan solusi lain dengan menggunakan <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Restricted_sumset#Combinatorial_Nullstellensatz">Combinatorial Nullstellensatz</a> dan<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27s_theorem"> Lucas Theorem</a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Untuk bilangan asli $m \geq 2$, misalkan $W_m$ merupakan himpunan yang berisikan untaian $(a_1, a_2,...,a_m)$ dimana $a_i \in \{0,1\}$. Untuk $s,t \in W$, dimana $s=(a_1, \cdots, a_m)$ dan $t=(a_2,\cdots, a_m)$ kita definisikan $s+t$ sebagai untaian $(c_1, c_2,...,c_m)$ dimana $c_i = a_i+b_i \pmod 2$. Diberikan himpunan $A, B \subseteq W$, definisikan $A+B$ sebagai himpunan yang berisikan $s+t$ dimana $s\in A$ dan $t\in B$. Misalkan $n$ adalah bilangan asli terbesar yang memenuhi $|A|+|B| > 2^n$. Buktikan bahwa $|A+B| \geq 2^n$.</blockquote>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>Solusi:</b></div>
<div>
<b><br /></b></div>
Kita bisa memandang $W_m$ sebagai $\mathbb{F}_{2^m}=GF(2^m)$, lapangan berhingga dengan karakteristik $2$, yang mempunyai aturan penjumlahan sama dengan soal, namun juga mempunyai aturan perkalian (yang bukan per-komponen).<br />
<div>
Sekarang misalkan $|A|=a$, $|B|=b$ dan $|A+B|=c$.<br />
<div>
<br />
Dari kondisi pada soal kita peroleh $2^n +1 \leq a+b \leq 2^{n+1}$.<br />
<div>
<br /></div>
<div>
Soal akan selesai jika berlaku $c \geq |A|+|B|-1$, karena itu akan menyebabkan $c\geq 2^n+1-1=2^n$. Sekarang misalkan $c\leq |A|+|B|-2$. Untuk keperluan kontradiksi kita asumsikan berlaku $c\leq 2^n-1 \leq a+b-2$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Kondisi diatas membuat kita bisa mengambil himpunan $U \supseteq A+B$ yang memenuhi kondisi $|U|=2^n-1$ (kita tinggal tambah himpunan $A+B$ dengan anggota-anggota di $W_m$ sampai $U$ mempunyai kardinalitas $2^n-1$), kemudian pandang suku-banyak</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
\[f(X,Y)= \prod_{\mu \in U} (X+Y-\mu)\] </div>
<div>
<br />
Suku banyak ini mempunyai derajat yang samadengan $2^n-1$, dan sama-dengan nol untuk setiap $(x,y)\in A \times B$. Pandang koefisien $X^{a-1} Y^{2^n-1-a+1}$ pada suku-banyak diatas, koefisien tersebut sama dengan ${2^n-1 \choose a-1}$. Perhatikan juga bahwa $2^n-1-a+1 \leq b-1$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan Teorem lucas ${2^n -1 \choose k}$ ganjil untuk setiap $k$, jadi merupakan bilangan tak-nol di $GF(2^m)$. Jadi dengan Combinatorial Nullstellensatz untuk $|A|>a-1$ dan $|B|>b-1\geq 2^n-1-a+1$ terdapat $\alpha \in A$ dan $\beta \in B$ sedemikian sehingga</div>
<div>
\[f(\alpha, \beta) \neq 0\]</div>
<div>
kontradiksi.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-33744296027020324152018-10-08T00:02:00.001-07:002018-10-08T23:30:19.737-07:00[Problem] Soal Dengan Pangkat Irasional<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa minggu terakhir, saya menemukan soal-soal (di problem set olimpiade) yang ternyata bisa saya selesaikan dengan menggunakan Teorema Kalkulus.<br />
<br />
Teorema yang akan kita pakai pada post berikut ini adalah Teorema Nilai Antara. Teorema ini termasuk teorema Kalkulus yang memang tidak termasuk pada kurikulum IMO, tapi penggunaannya tidak dilarang.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>(Teorema Nilai Rata-Rata)</b><br />
Misalkan $A\subset \mathbb{R}$ dan $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi yang kontinu pada interval $[a,b] \subset A$ dan terdiferentialkan pada interval $(a,b)$. Maka terdapat $\xi \in (a,b)$ sedemikian sehingga<br />
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)\]</blockquote>
Bukti teorema ini (hampir?) selalu pasti ada di buku textbook Calculus.<br />
<br />
Berikut adalah sebuah soal yang bisa diselesaikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata. Tapi menurut saya soal ini harusnya tidak ada di olimpiade SMA, karena menggunakan definisi dari pangkat irasional, yang mana hal tersebut menggunakan fungsi logaritma natural.<br />
<br />
<b>[Edit: Ternyata soal ini adalah soal Putnam 1971 A6]</b><br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Diberikan bilangan real $r>0$ sedemikian sehingga $n^r \in \mathbb{Z}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Buktikan bahwa $r \in \mathbb{Z}$.</blockquote>
<br />
<br />
<b>Solusi:</b><br />
<br />
Definisikan fungsi $f(x)=x^r$. Kemudian untuk sebarang bilangan $w \in \mathbb{N}$ kita definisikan barisan fungsi $f_0(w), f_1(w), f_2(w), ....$ sebagai<br />
\[f_0(w) = f(w) \qquad f_j(w) = f_{j-1}(w+1)-f_{j-1}(w) \quad j\geq 1\]<br />
<br />
Dari hipotesa soal dan definisi diatas, diperoleh $f_j(w)$ selalu merupakan bilangan bulat untuk setiap bilangan asli $j$ dan $w$. Selanjutnya kita akan membutuhkan lemma berikut:<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma</b><b><br /></b>Untuk bilangan asli $1 \leq k \leq j$ terdapat bilangan real $w_k \in (w, w+k)$ sedemikian sehingga<br />
\[f_j (w) = f_{j-k}^{(k)}(w_k)\]</blockquote>
<br />
<b>Bukti Lemma: </b>Pertama-tama kita buktikan dulu untuk $k=1$ dan $k=2$ (agar lebih jelas). Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata, terdapat $w_1 \in (w, w+1)$ yang memenuhi<br />
\[f_j(w) = f_{j-1}(w+1) - f_{j-1}(w) = f_{j-1}^{\prime}(w_1)\]<br />
Sedangkan $f_{j-1}^{\prime}(w_1) = f_{j-2}^{\prime}(w_1+1) - f_{j-2}^{\prime}(w_1)$ yang dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata lagi, diperoleh $w_2 \in (w_1, w_1+1) \subset (w,w+2)$ yang memenuhi \[f_{j-2}^{\prime}(w_1+1) - f_{j-2}^{\prime}(w_1) = f_{j-2}^{\prime \prime}(w_2)\]<br />
Sekarang kita bisa lanjutkan dengan menggunakan induksi matematika, yaitu jika $f_j(w)=f_{j-k}^{(k)}(w_k)$ untuk suatu $w_k \in (w, w+k)$ maka<br />
\[f_j(w)=f_{j-k}^{(k)}(w_k) = f_{j-k-1}^{(k)}(w_k+1)- f_{j-k-1}^{(k)}(w_k) = f_{j-k-1}^{(k+1)}(w_{k+1})\]<br />
dimana $w_{k+1} \in (w_k , w_{k}+1) \subset (w, w+k+1)$. Jadi Lemma Terbukti.<br />
<br />
Sekarang kembali ke soal, tulis $r = \lfloor r \rfloor + \{r\}$ , dan tulis juga $s={\lfloor r \rfloor}+1$, definisikan juga $A=\prod_{k=1}^s (r-k+1)$, jadi kita bisa tulis turunan ke-$s$ dari $f(x)$ adalah $A \cdot x^{r-s}$.<br />
<br />
Asumsikan $r$ bukan bilangan bulat, maka diperoleh $A>0$.<br />
<br />
Sekarang karena $s-r>0$ kita bisa memilih bilangan asli $w$ yang memenuhi $w^{s-r}> A$. Kemudian dengan menggunakan lemma untuk $k=j=s$ diperoleh<br />
<br />
\[f_{s} (w)=f^{(s)}(w_s)= A \cdot w_s^{r-s} \]<br />
<br />
dimana $w_s \in (w, w+s)$. Perhatikan bahwa $r-s+1 > 0$ namun $r-s$ negatif, sehingga diperoleh $A>0$ dan $w_s^{r-s} < w^{r-s}$. Kita simpulkan<br />
<br />
\[0< f_{s} (w) < A \cdot w^{r-s}< 1 \]<br />
<br />
Hal ini kontradiksi dengan observasi sebelumnya bahwa $f_s(w)$ selalu bilangan bulat.<br />
<br />
<b>Edit : Dari komentar Yosua Yonathan dan Erlang di Facebook, soal ini juga benar apabila "untuk setiap $n \in \mathbb{Z}$" diganti dengan "$n \in \{2,3,5\}$". Lebih lanjut lagi untuk $n \in \{2,3\}$ masalah ini dipercaya masih merupakan open problem.</b><br />
<b><br /></b>
<b>Masalah yang berhubungan dengan soal ini adalah <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Six_exponentials_theorem">Six Exponentials Theorem</a> dan<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Four_exponentials_conjecture"> Four Exponentials Conjecture</a></b><br />
<br />
<b><br /></b></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-38308316746534760962017-07-30T04:09:00.001-07:002017-07-30T04:09:49.053-07:00Square-free part of n!<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Few days ago, while doing exercise with Indonesian IMO 2017 Team, we came across this problem (which is from Tuymaada Olympiad 2015). <br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Let $n!=ab^2$ where $a$ is a squarefree integer, prove that for any $\varepsilon>0$ the inequality<br />
\[2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}\]<br />
holds for sufficiently large $n$.</blockquote>
<br />
This is actually a hard competition problem, as no one in the competition got a non-zero point. Similar question also being asked in <a href="https://math.stackexchange.com/questions/2131126/squarefree-part-of-n">math.stackexchange</a> , with a mention of <a href="https://oeis.org/A055204">OEIS</a> A055204 ().<br />
<br />
Last week, I presented (a somewhat imprecise (or perhaps incomplete) solution in front of our IMO Team, I used an equivalent form of Prime Number Theorem, this one : $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\psi(n)}{n}=1$, where $\psi(n)$ is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_function">Chebyshev Second Function</a>. <br />
<br />
On this post, I will present a more elementary solution, using Stirling's Approximation.<br />
<br />
The first guess is to assume at worse, any prime numbers $p \leq n$ appears in the square-free part of $n!$. Thus we have<br />
<br />
\[a=\prod_{\substack{p \leq n \\ \text{$p$ prime}}} p \]<br />
<br />
There is a known (elementary) bound for the above (due to Paul Erdos) which states that $\prod_{p \leq n} p< 4^n$ (this can be proved by elementary mean, using induction and inequality ${n \choose \lfloor n/2 \rfloor} \leq (1+1)^n=2^n$). However this approximation is not enough for our purpose. Even a more sophisticated bound like $e^n$, is still not a good enough for this problem. <br />
<br />
The squarefree part of $n!$, which we will be denoted as $e(n!)$ is the product of primes $p$ with $v_p(n!) \equiv 1 \pmod 2$, here $v_p(x)$ denotes the p-adic valuation of $x$, i.e $k=v_p(x)$ is the largest power of $k$ such that $p^k | x$.<br />
<br />
We propose the following bound:<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 1</b> For any $n$ we have<br />
\[ \frac{C_1(n)}{C_2(n) C_3(n) \cdots C_i(n) \cdots } \leq e(n!) \leq C_1(n) C_2(n) \cdots C_i(n) \cdots \]<br />
\[C_v(n) = \prod_{k=1}^{\infty} \prod_{\frac{n}{2k} < p^v \leq\frac{n}{2k-1}} p \] </blockquote>
<div>
<br />
<b>Proof:</b> First notice that the product $C_1(n) C_2(n) \cdots C_i(n) \cdots$ actually has a finite terms, this is because for large $i$ (to be precise when $i > \log_2 n$), $C_i(n)$ has no terms i.e an empty product, indeed when $i$ is large, there is no prime $p$ satisfying $\frac{n}{2k} < p^i \leq \frac{n}{2k-1}$. Similarly the product $\prod_{k=1}^{\infty}$ also has finite terms, since for large enough $k$, the interval $\frac{n}{2k} < p^i \leq \frac{n}{2k-1}$ would be empty. <br />
Let $v=\lfloor \log_2 n \rfloor$ the above product can be written as<br />
<br />
\[ \frac{C_1(n)}{\prod_{i=2}^v C_i(n)} \leq e(n!) \leq \prod_{i=1}^v C_i(n)\]<br />
<br />
We first prove the upper-bound, let $p$ be a prime less than $n$, with $v_{p}(n!)$ is odd, we will prove that $p$ must be present on the product $C_1(n) C_2(n) \cdots C_v(n)$. Observe that whenever $p$ does not appear in the product, this means that $p$ does not appear on any of $C_{1}(n), C_2(n), ..., C_v(n)$. Since $C_i(n)$ filters all those prime $p$, whose multiple of $p^i$ appears odd many times on interval $[1,n]$, this means the prime $p$ does not appear on $C_{i}(n)$ whenever multiple of $p^i$ appears even many times on interval $[1,n]$. <br />
But if the multiple of $p^i$ appears even many times for all $i$, their total contribution to the total power of $p$ on $n!$ must also be even, which means $v_p(n!)$ must be even , contradiction.<br />
<br />
For the lower bound, we observe first that this lower bound, may or may not be an integer. First let, $p$ be a prime which appears on the numerator of $\frac{C_1(n)}{C_2(n) C_3(n) \cdots C_v(n)}$, therefore $p$ appears on the product $C_1(n)$ but is not cancelled out by $C_2(n) C_3(n) \cdots C_v(n)$. Therefore the multiple of $p$ appears odd many times, but multiple of $p^2$, $p^3$, ... $p^v$ appears even many times. This means the total contribution of $p$ to the power of $p$ in $n!$ must be odd, and hence $v_p(n!)$ is odd. This concludes the lemma.<br />
<br />
<br />
Next observe that using our lemmas (here $v=\lfloor \log_2 n \rfloor$):<br />
<br />
\[\begin{align*}\sum_{i=1}^{\infty}\log C_i(n) &= \log C_1(n) C_2(n) \cdots C_v(n) \\ &= \log \left( \prod_{i=1}^v \prod_{k=1}^{\infty} \prod_{\frac{n}{2k} < p^i \leq\frac{n}{2k-1}} p \right) \\ &= \log \left( \prod_{k=1}^{\infty} \prod_{i=1}^v \prod_{\frac{n}{2k} < p^i \leq\frac{n}{2k-1}} p \right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \psi\left(\frac{n}{2k-1} \right) - \psi\left(\frac{n}{2k} \right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \psi(n/k) - 2 \sum_{k=1}^{\infty}\psi(n/2k) \\ &=T(n)-2T(n/2) \\ &= n \log n -n + O(\log n) - 2 (n/2 \log n/2 - n/2+O(\log n/2)) \\ &= n \log 2 +O(\log n). \end{align*}\]<br />
<br />
Now we return to the problem, we want to estimate $e(n!)$ , and from lemma 1 we have<br />
<br />
\[2 \log C_1(n) - \sum_{i=1}^{\infty}\log C_i(n) < \log e(n!) < \sum_{i=1}^{\infty}\log C_i(n) \]<br />
<br />
The right-hand-side is easily spot on from the last paragraph. The left-hand-side need more careful estimation, which I'm going to elaborate on a separate post.<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-28812323104501009282017-07-30T03:57:00.001-07:002018-05-20T00:36:37.529-07:00Perkuat soal USAMO 2014.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Buktikan bahwa terdapat konstan $c>0$ yang memenuhi syarat berikut: Jika $a,b,n$ adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga $FPB(a+i, b+j)>1$ untuk setiap $i,j \in \{0,1,...,n\}$ maka berlaku<br />
\[\min\{a,b\} > c^{n} n^{n/2}\]</blockquote>
<br />
Kita bisa perkuat batas pada soal menjadi $(cn)^{1.09n}$.<br />
<br />
Motivasi pada pengerjaan soal ini adalah membatasi faktor-faktor dari $a$ atau $b$ kedalam sesuatu yang bergantung pada $n$. Karena faktor-faktor tersebut terbentuk dari prima-prima, maka yang akan kita batasi adalah faktor prima dari $a$ atau $b$. Tanpa kehilangan keumuman bukti, kita asumsikan saja $a\geq b$, sehingga $\min\{a,b\}=b$ , jadi yang akan kita batasi adalah faktor prima dari $b$.<br />
<br />
Hubungan faktor prima $b$ dan bilangan $n$, dapat diperoleh dari syarat $FPB(a+i, b+j)>1$. Syarat ini mengakibatkan untuk setiap pasangan $(i,j)$ dengan $0 \leq i,j \leq n$, terdapat bilangan prima $p_{ij}$ sedemikian sehingga $p_{ij} | a+i$ dan $p_{ij} | b+j$. Untuk ilustrasi kita bisa menuliskan bilangan-bilangan prima ini dalam sebuah matriks $(n+1) \times (n+1)$ dengan entri merupakan bilangan prima $p_{ij}$.<br />
<br />
\[\begin{pmatrix}<br />
p_{11} & p_{12} & ... & p_{1n} \\<br />
p_{21} & p_{22} & ... & p_{2n } \\ <br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br />
p_{n1} & p_{n2} & ... & p_{nn}<br />
\end{pmatrix}\]<br />
<br />
Bilangan prima $p$ yang bisa dimasukan ke matrix diatas adalah bilangan-bilangan prima yang <i>relevant</i>. Intinya jika kita "kuli", semakin besar $n$ , kita akan semakin sulit untuk mengisi tabel diatas dengan prima relevant. Perhatikan bahwa karena untuk setiap bilangan prima relevant $p$, pasti terdapat $i,j \leq n$ yang memenuhi $p | a+i$ dan $p | b+j$, maka haruslah memenuhi $p \leq \min(a,b) + n$.<br />
<br />
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Kita akan mengestimasi banyak prima relevant dan berapa kali mereka muncul di matriks diatas. Jika $p$ adalah sebarang prima, maka banyak kali $p$ berada di matriks diatas adalah paling banyak</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[ \left \lceil \frac{n+1}{p} \right\rceil^2 \]</span></div>
<br />
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Ini karena terdapat paling banyak $\left \lceil \frac{n+1}{p} \right\rceil$ buah kelipatan $p$ pada barisan</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[a, a+1, a+2, ... , a+n\]</span></div>
<br />
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">dan secara similar paling banyak $\left \lceil \frac{n+1}{p} \right\rceil$ untuk $b, b+1, ..., b+n$. Jika $S(M)$ menyatakan banyak prima yang kurang dari sebuah bilangan asli $M$ yang berada pada matriks diatas (dihitung dengan multlipisitas), maka diperoleh</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[S(M) \leq \sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \left \lceil \frac{n+1}{p} \right\rceil^2 < \sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \left(\frac{n}{p} + 1\right)^2 = n^2 \sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \frac{1}{p^2} + 2n \sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \frac{1}{p} + \sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} 1 \]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Dengan Teorema Bilangan Prima <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem">[1]</a> kita peroleh</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[\sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} 1 = O \left( \frac{M}{\log M} \right)\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Berikutnya kita gunakan estimasi dari :</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[\sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \frac{1}{p^2} < 0.4522474200\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
\[\sum_{\substack{p \leq M, \\ p \, \text{prima}}} \frac{1}{p} = O\left(\log (\log M) \right)\]</div>
<div>
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Untuk kemudahan penulisan, selanjutnya kita sebut $\rho = 0.45224742$.</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Jadi diperoleh</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[S(M) < \rho n^2 + 2n \cdot O( \log \log M) + O\left(\frac{M}{\log M}\right) \]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Ide yang muncul dari sini adalah ternyata banyak prima yang $ \leq M$ yang bisa dimasukan ke matriks diatas berbentuk $\rho n^2+ (\text{sesuatu dalam $n$ dan } M)$, sedangkan matriks diatas mempunyai paling banyak $(n+1)^2$ buah prima, jadi sisa sebanyak $(n+1)^2 - \rho n^2 - (\text{sesuatu dalam $n$ dan } M)$ haruslah memenuhi $p>M$, dengan pemilihan $M$ yang bergantung pada $n$, "sisa" ini akan semakin membesar. Kita akan formalisir ide ini, dengan memilih $M$ yang sesuai untuk estimasi kita.</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Perhatikan bahwa terdapat lebih dari $(n+1)^2- (\rho n^2 + 2n \cdot O( \log \log M) + O\left(\frac{M}{\log M}\right))$ buah entri pada matriks diatas yang lebih dari $M$, dan karena ada $n+1$ buah kolom maka, berdasarkan Prinsip Pigeonhole terdapat sebuah kolom yang mempunyai lebih dari</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[S(M) = n+1 - \frac{\rho n^2}{(n+1)} -\frac{2n}{n+1} O(\log \log M) - \frac{1}{n+1} O\left(\frac{M}{\log M}\right)\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">buah entri yang lebih besar dari $M$.</span></div>
<div>
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-kerning: none;"><div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Pemilihan $M$ yang terlalu dominant seperti misalnya $M=O((n+1)^3)$, akan menyebabkan faktor $O\left(\frac{M}{\log M}\right) = O\left(\frac{(n+1)^3}{3\log (n+1)}\right)$ yang lebih besar dari $O(n^2)$ sehingga kuantitas diatas akan negatif untuk $n$ yang besar. Kita pilih $M$ yang lebih kecil yaitu $M=K^4(n+1)^2$, dimana $K>0$ sebuah konstanta.</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Dengan perhitungan sederhana, dapat dibuktikan bahwa $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S(K^4(n+1)^2 )}{n/2}=2(1-\rho)$. Ini berarti untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat $N_1$ sedemikian sehingga untuk $n \geq N(\epsilon)$ berlaku</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[S(K^4(n+1)^2)>(2(1-\rho)-\epsilon)\frac{n}{2}\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Jadi untuk setiap $\epsilon>0$, kita bisa pilih $n$ cukup besar sedemikian sehingga pada $(n+1) \times (n+1)$ matriks diatas terdapat sebuah kolom, katakanlah kolom ke-$i$, sedemikian sehingga terdapat lebih $(2(1-\rho)-\epsilon)\frac{n}{2}$ buah entri pada kolom ini, yang lebih besar dari $K^4(n+1)^2$. Perhatikan bahwa entri-entri yang demikian harus berbeda, karena jika misalkan $p_{ki} = p_{li}$ untuk suatu $k \neq l$, maka dari syarat $p_{ki} | b+k$ dan $p_{ki}=p_{li} | b+i$ diperoleh $p_{ki} | k-i$ , sehingga $p_{ki} \leq |k-i |\leq n < K^4(n+1)^2$.</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Jadi diperoleh</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[a+i \geq (K^4(n+1)^2)^{(2(1-\rho)-\epsilon)\frac{n}{2}} = K^{2(2(1-\rho)-\epsilon)n} (n+1)^{(2(1-\rho)-\epsilon)n}\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Jadi untuk $\epsilon=0.00001$, kita bisa temukan $N$ yang cukup besar sedemikian sehingga</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[\min\{a,b\} \geq (K^2 (n+1))^{1.09n}-n\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Sedangkan $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(K^2 (n+1))^{1.09n}-n}{(K^2 n)^{1.09n}} =e^{1.09} $, ini berarti untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat $N_2$ sedemikian sehingga untuk $n > \max\{ N_1,N_2 \} $</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[(K^2 (n+1))^{1.09n}-n \geq (e^{1.09} - \epsilon) (K^2 n)^{1.09n}\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Pilih $\epsilon$ cukup kecil sedemikian sehingga $e^{1.09}-\epsilon> 1$ . Jadi kita peroleh untuk $n> \max \{N_1, N_2\}$ berlaku</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[\min\{a,b\} \geq (e^{1.09} - \epsilon) (K^2n)^{1.09n} > (K^2n)^{1.09n} \]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;"><br /></span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Tapi ketaksamaan ini berlaku hanya untuk $n> N$ dimana $N=\max\{N_1,N_2\}$, sedangkan untuk $N$ yang lain, karena hanya ada berhingga buah, maka pasti terdapat konstanta $K_1$ sedemikian sehingga</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">\[\min\{a,b\} \geq (K_1 n)^{1.09n}\]</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">untuk $n=1, 2, ... , N$.</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal; min-height: 19px;">
<span style="font-kerning: none;"></span><br /></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">
</span></div>
<div style="font-family: Times; font-size: 16px; font-stretch: normal; line-height: normal;">
<span style="font-kerning: none;">Jadi apabla kita pilih $c=\min\{K_1, K^2\}$, maka soal terbukti.</span></div>
</span></div>
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-33684221269753476962017-03-22T03:07:00.000-07:002017-06-25T21:07:12.517-07:00A matrix problem with line-sums<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Last week, one of my junior gave me a Linear Algebra / Matrix problem, which smell like a combinatorial problem (although until now, I haven't found a combinatorial proof of it).<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Let $X$ and $Y$ be a $n \times n$ $(0,1)$-matrix , where the line-sums of $X$ (resp. $Y$) is equal to $k$ (resp. $k+1$). Suppose that \begin{equation} XY=(k-\lambda)I_n + \lambda J\end{equation} where $J$ is the $n \times n$ matrix with all entries equal $1$, and $I_n$ is identity matrix. If $1+4(k-\lambda)$ is not a perfect square prove that $n=4\lambda +1$ and $k=2 \lambda$. </blockquote>
Here is a combinatorial version of the above<br />
<blockquote class="tr_bq">
Let $A=\{1,2,..,n\}$ and suppose that we have $2n$ subsets of $A$, say $X_1, X_2, ..., X_n$ and $Y_1, Y_2, ..., Y_n$, where each subsets satisfy:<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>$|Y_i| = |X_i|+1 = k+1$ for all $i=1,2,...,n$.</li>
</ul>
<ul style="text-align: left;">
<li>For each $x \in A$, there are exactly $k$ subsets $X_{i_1}, X_{i_2}, ..., X_{i_k}$ and exactly $k+1$ subsets $Y_{i_1}, Y_{i_2}, ..., Y_{i_{k+1}}$ which contain $x$.</li>
</ul>
<ul style="text-align: left;">
<li> For any $i=1,2,..,n$ we have $|X_i \cap Y_i| = k$ and while for any $1 \leq i < j \leq n$ we have $|X_i \cap Y_j| = \lambda$.</li>
</ul>
If $1+4(k-\lambda)$ is not a perfect square prove that $n=4\lambda +1$ and $k=2 \lambda$.</blockquote>
After awhile I found a proof using eigenvalues. But now, I'm actually interested on a combinatorial proof of this one, the condition $1+4(k-\lambda)$ condition seems to be does not have any trivial combinatorial interpretation. <br />
<br />
But I will give a sketch of Linear-Algebra proof on this post. <br />
Notice that the Right-Hand-Side is just the matrix<br />
\[H(k,\lambda)=\begin{pmatrix} k & \lambda & \cdots & \cdots & \lambda \\ \lambda & k &\cdots & \cdots & \lambda \\ \lambda & \lambda & \ddots & \cdots & \lambda \\ \vdots & \vdots & \ddots &\ddots & \vdots \\ \lambda & \lambda &\cdots & \cdots & k\end{pmatrix}\]<br />
<div>
<br /></div>
<div>
The $i$-th diagonal entry of this matrix which is equal to $k$, is just the dot product between the $i$-th row of $X$ and $i$-th column of $Y$, both according to the problem with total sum $k$ and $k+1$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
From this we can deduce that the $i$ -th column of $Y$ is just a nearly exact copy of $i$-th row of $X$, they only differ in one non-zero entry, let's call these entries <i>speciality</i> . </div>
<div>
<br /></div>
<div>
If we separate these so called <i>specialities</i> into a separated matrix $P$, we will get</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[Y = X^T + P\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
where $P$ contains the separated <i>specialities. </i>Furthermore, $P$ is a permutation matrix, namely there is exactly single $1$ on each column and exactly single $1$ on each row (since otherwise $Y$ would have a row/column with total sum greater than $k+1$)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Now, we can make $P$ into an identity matrix by right-multiplying $Y$ with some permutation matrices, recall that the right-multiplication of a matrix with permutation matrix will permute the column of the given matrix, while the left multiplication will permute the row. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
So choosing permutation matrices $\mathcal{P} = P_1 P_2 \cdots P_m$ where each $P_i$ is a transposition (i.e obtained by interchanging two columns of identity matrix) we make $P \mathcal{P} = I$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
This make $Y$ into $B = X^T \mathcal{P} + I = (\mathcal{P}^T X)^T + I$ </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Observe that $\mathcal{P}^T = P_m^T P_{m-1}^T \cdots P_1^T = P_m P_{m-1} \cdots P_1$ , since each transposition is symmetric. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Putting $A=(P_m P_{m-1} \cdots P_1 X)$, we see that $A$ is just a row permuted from $X$, and so the condition of line-sum equals $k$ is still intact. Furthermore, we also make all diagonal entries of $A$ become zero, since by moving those <i>specialities </i>on $Y$ into diagonal, we also moving the respective zeros related to the speciality into the diagonal of $X$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[ A (A^T + I) = P_m P_{m-1} \cdots P_1 (H(k,\lambda)) P_1 P_2 \cdots P_m\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
but $P_m P_{m-1} \cdots P_1(H(k,\lambda)) P_1 P_2 \cdots P_m = H(k, \lambda)$, this because if we interchange the $i$-th column and the $j$-th column of $H(k,\lambda)$ and then interchange $i$-th row and $j$-th row, we will back again to $H(k, \lambda)$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
So we have equation</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[AA^T+A = H(k,\lambda)\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Taking the transpose of both sides we have $A^T = A$, and so the equation becomes $A^2+A = H(k, \lambda)$, with $trace(A)=0$ and line-sums of $A$ is all $k$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Now being a symmetric matrix, $A$ is (orthogonally) diagonalizable, and we can transform the above equation into</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[D^2 + D = W\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
where $D$ is diagonal matrix which consists eigenvalues of $A$, and diagonal matrix $W$ which consists the eigenvalues of $H(k, \lambda)$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
The eigenvalues of $H(k,\lambda)$ are easy too obtain, indeed, by simple calculation we may check that $(1,-1, 0, 0, ... , 0)^T$, $(0,1,-1, 0, ..., 0)^T$, ..., $(0,0,0,0..., 1, -1)^T$, and $(1,1,1,...,1)^T$ are linearly independent eigenvectors of $H(k, \lambda)$ with eigenvalues $\underbrace{k-\lambda, k-\lambda, ..., k-\lambda}_{k \, many}$ and $k+\lambda(n-1)$, respectively.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
The eigenvalues of $A$, is less trivial, observe that since row sum of $A$ is $k$, we know that $k$ is an eigenvalue of $A$ with eigenvector $(1,1,1,1,...,1)^T$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Let say the (multi)-set of eigenvalue of $A$ is $\sigma(A)= \{k, l_1, l_2, ... , l_{n-1}\}$ (sometime called spectrum of $A$), so $\sigma(D^2+D) = \{k^2+k , l_1^2+l_1, ... , l_{n-1}^2+l_{n-1}\} $ we must have</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\{k^2+k , l_1^2+l_1, ... , l_{n-1}^2+l_{n-1}\} = \{k-\lambda, k-\lambda, ..., k-\lambda , k+(n-1)\lambda\}\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Let start with $k^2+k$, if $k^2+k=k-\lambda$, we will have $k^2=-\lambda$, this can't be right since $\lambda$ is non-negative and $k$ is non-zero. So we must have $k^2+k = k+(n-1)\lambda$, and we have</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[k^2= (n-1) \lambda\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Now then we also have $l_i^2+l_i = k-\lambda$, thus we get</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[l_i = \frac{-1+\sqrt{1+4(k-\lambda) }}{2} \qquad \text{or} \qquad l_i= \frac{-1-\sqrt{1+4(k-\lambda) }}{2}\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
But since $1+4(k-\lambda)$ is not a square $l_i$ is irrational number. But from $trace(A)=0$ we also have </div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[k+l_1 + l_2 + ... + l_n = 0\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
so the sum of these irrational numbers is an integer, thus they must occurs in conjugate pairs. It means that exactly $\frac{n-1}{2}$ of $l_i$ is $\frac{-1+\sqrt{1+4(k-\lambda) }}{2}$ while the other $\frac{n-1}{2}$ is $\frac{-1-\sqrt{1+4(k-\lambda) }}{2}$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Now each conjugate pairs summed to $-1$, so we must have $l_1 + l_2 + ... + l_{n-1} = -\frac{(n-1)}{2}$. Therefore</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[k-\frac{n-1}{2}=0 \Rightarrow n=2k+1\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Substituting this into $k^2=(n-1)\lambda$ we will get $k=2\lambda$, furthermore back substitution will yield $n=4\lambda +1$, and we are done. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Update: I typed a quite-long formally written proof in <a href="https://drive.google.com/file/d/0By7fu4uU9P4HbXN1Q2VLc0NLa3c/view?usp=sharing">this pdf file</a>.</div>
<div>
</div>
<div>
</div>
<div>
</div>
<div>
</div>
<div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-61851179893554206432016-10-25T21:00:00.000-07:002016-12-28T09:37:04.944-08:00Lanjutan Exact Kanan dari Tensor Product.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<br />
Akhirnya saya sudah bisa menggambar commutative diagram, mari kita lanjutkan bukti bahwa fungtor $(\cdot) \otimes N$ adalah exact kanan.<br />
<br />
<div>
Untuk kemudahan penulisan, karena $Hom(N,P)$ juga merupakan $R$-Module, kita definisikan $\mathfrak{F}_X(M) = Hom(M,Hom(N,P))$, dimana $\mathfrak{F}_X(M')$ dan $\mathfrak{F}_X(M'')$ didefinisikan secara similar. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
Perhatikan diagram<br />
\[\xymatrix{ M \ar[d] \ar[r]^f & M^{\prime} \ar[d] \ar[r]^g & M^{\prime \prime} \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \\ \mathfrak{F}_X(M) \ar[d]^{\psi} & \mathfrak{F}_X(M') \ar[l]_{\varphi_f(\lambda) = \lambda \circ f} \ar[d]^{\psi'} & \mathfrak{F}_X(M'') \ar[l]_{\varphi_g(\mu) = \mu \circ g} \ar[d]^{\psi''} &0 \ar[d]\ar[l] \\ Hom(M \otimes N, P)\ar[d] &Hom(M^{\prime} \otimes N, P)\ar[d] \ar[l]_{v} & Hom(M^{\prime \prime} \otimes N, P) \ar[l]_{w} \ar[d] &0 \ar[l] \ar[d] \\ M \otimes N \ar[r] & M^{\prime} \otimes N \ar[r] & M^{\prime \prime} \otimes N \ar[r] &0} \]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Kita akan "menginduksi" ke-exact-an dari baris pertama pada diagram diatas, ke baris kedua, ketiga dan keempat.<br />
<br />
Catatan bahwa module $P$ pada diagram diatas adalah "sebarang module", ini berarti baris ketiga/kedua dibaca "exact untuk sebarang module $P$". <br />
<br />
Perhatikan bahwa pemetaan $\psi, \psi^{\prime}$ dan $\psi^{\prime \prime}$ diperoleh dari fungtoriality di <a href="http://oxolodonspace.blogspot.co.id/2016/10/tensor-product-sebagai-fungtoriality.html">post sebelumnya</a>, dan seperti yang telah dibuktikan semuanya merupakan isomorphism, kita definisikan pemetaan $w$ dan $v$ sebagai: </div>
<div>
\[w = \psi^{\prime} \circ \varphi_g \circ (\psi^{\prime \prime} )^{-1} \qquad v = \psi \circ \varphi_f \circ (\psi^{\prime})^{-1}\]</div>
<div>
yakni kita membuat ketiga kotak ditengah membentuk diagram komutatif, atau dengan kata lain disini $\psi, \psi^{\prime}$ dan $\psi^{\prime \prime}$ adalah komponen Natural Transformation dari fungtor $\mathfrak{F}$ ke fungtor $((\cdot) \otimes N, P)$.</div>
<div>
Hal ini dapat digunakan untuk membuktikan bahwa baris ketiga dari diagram diatas membentuk barisan exact. </div>
</div>
<br />
<br />
<b>Baris 1 exact $\Longrightarrow$ Baris 2 exact</b><br />
<br />
Kita pakai hasil berikut : <br />
<blockquote class="tr_bq">
Untuk sebarang $X \in Mod_R$, contravariant functor $\mathfrak{F}_X : Mod_R \rightarrow Mod_R$ yang diberikan $M \rightarrow Hom(M, X)$, adalah exact kanan, yakni<br />
\[\xymatrix{ M \ar[r]^f & M^{\prime} \ar[r]^g & M^{\prime \prime} \ar[r] & 0 }\]<br />
adalah barisan exact maka barisan \[\xymatrix{0 \ar[r] & Hom(M'',X) \ar[r]^{\varphi_g(\mu)=\mu \circ g} & Hom(M',X) \ar[r]^{\varphi_f(\lambda)=\lambda \circ f} & Hom(M,X)} \]<br />
juga exact. </blockquote>
<div>
Bukti: </div>
<div>
Pertama-tama kita buktikan $ker(\varphi_g) = \{0\}$, ini mudah karena jika $\varphi_g(\mu)=0$ maka diperoleh $(\mu \circ g)(m) = 0$ untuk setiap $m \in M'$, tapi karena $g$ surjective maka ini berarti untuk setiap $m_2 \in M^{\prime \prime}$ berlaku $\mu(m_2) = 0$, sehingga $\mu=0$, terbukti $ker(\varphi_g) = \{0\}$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Selanjutnya akan dibuktikan $ker(\varphi_f) = img(\varphi_g)$. Untuk $\varphi_g(\lambda) \in img(\varphi_g)$ dimana $\lambda \in Hom(M'', X)$, diperoleh \[\varphi_f(\varphi_g(\lambda)) = (\varphi_g(\lambda)) \circ f = \lambda \circ g \circ f\]</div>
<div>
tapi karena $img(f) = ker(g)$, maka $\lambda \circ g \circ f = 0$, sehingga diperoleh $\varphi_g(\lambda) \in ker(\varphi_f)$, jadi $img(\varphi_g) \subseteq ker(\varphi_f)$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Misalkan $\lambda \in Hom(M',X)$ sedemikian sehingga $\varphi_f(\lambda)=0$, diperoleh $(\lambda \circ f)(m) = 0$ untuk setiap $m \in M$. Kita harus membuktikan $\lambda \in img(\varphi_g)$, yakni terdapat $\mu \in Hom(M^{\prime \prime}, X)$ sedemikian sehingga $\mu \circ g = \lambda$. Kita definisikan saja $\mu$ sebagai:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\[\mu(x) = \lambda(y) \qquad \text{Jika $x=g(y)$ }\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
perhatikan bahwa eksistensi dari $y$ diberikan oleh sifat surjective dari $g$, agar $\mu$ well-defined misalkan $g(y_1)=x_1$ dan $g(y_2)=x_2$ dimana $x_1=x_2$ maka </div>
<div>
\[0=x_1-x_2 = g(y_1) - g(y_2) = g(y_1-y_2)\]</div>
<div>
jadi $y_1-y_2 \in ker(g) = img(f)$, sehingga diperoleh $y_1-y_2 = f(m)$ untuk suatu $m \in M$, ini berarti \[\lambda(y_1-y_2) = \lambda (f(m)) = (\lambda\circ f)(m) = 0 \Longrightarrow \lambda(y_1) = \lambda(y_2) \Longrightarrow \mu(x_1)=\mu(x_2)\]</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Jadi $\mu$ well-defined dan merupakan linear map karena komposisi dari dua linear map, terlebih lagi untuk setiap $y \in M^{\prime}$ diperoleh $(\mu \circ g)(y) = \mu(g(y)) = \lambda(y)$. $\blacksquare$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan menggunakan $X=Hom(N,P)$ pada teorema diatas, maka kita peroleh baris 2 diagram diatas exact apapun $R$-module $P$ nya.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
<b>Baris 2 exact $\Longrightarrow$ Baris 3 exact </b><b>untuk setiap $P$</b></div>
<div>
<div>
<br />
Perhatikan bahwa $w = \psi^{\prime} \circ \varphi_g \circ (\psi^{\prime \prime} )^{-1}$, yakni komposisi dari pemetaan injective, maka $w$ juga injective. Lalu karena $v \circ w = \psi \circ \varphi_f \circ \varphi_g \circ (\psi^{\prime \prime} )^{-1}$ dan $img(\varphi_g) = ker(\varphi_f)$ maka untuk setiap $x \in Hom(M^{\prime \prime} \otimes N,P)$ berlaku \[(v \circ w)(x) = \psi \circ \varphi_f \circ (\varphi_g ( (\psi^{\prime \prime} )^{-1} (x)) ) = \psi(0) = 0 , \]<br />
jadi $img(w) \subseteq ker(v)$.<br />
<br />
Sebaliknya untuk setiap $x \in Hom(M^{\prime} \otimes N,P)$ dengan $v(x)=0$ , maka<br />
\[(\varphi_f \circ (\psi^{\prime})^{-1} ) (x) = (\psi^{-1} \circ v )(x) = \psi^{-1}(0) = 0\]</div>
<div>
sehingga diperoleh $(\psi^{\prime})^{-1} (x) \in ker (\varphi_f) = img(\varphi_g)$.<br />
<br />
Ini berarti<br />
\[(\psi^{\prime})^{-1} (x) = \varphi_g (\mu) \text{ untuk suatu } \mu \in \mathfrak{F}_X(M'') \Longrightarrow x = \psi^{\prime} \circ \varphi_g (\mu) \] Misalkan $ y = \psi^{\prime \prime}(\mu)$, dengan sifat isomorphism diperoleh $\mu =( \psi^{\prime \prime})^{-1}(y)$, sehingga \[x= \psi^{\prime} \circ \varphi_g \circ( \psi^{\prime \prime})^{-1}(y) = w(y) \] sehingga $x \in img(w)$.</div>
</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>Baris 3 exact untuk setiap $P$ $\Longrightarrow$ Baris 4 exact</b></div>
<div>
<b><br /></b></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Kita akan buktikan</div>
<blockquote class="tr_bq">
Misalkan $A$, $B$, dan $C$ adalah $R$-module maka jika untuk setiap $X$ barisan<br />
\[\xymatrix{& Hom(C',X) \ar[r]^{\varphi_g(\mu)=\mu \circ g} & Hom(B,X) \ar[r]^{\varphi_f(\lambda)=\lambda \circ f} & Hom(A,X)} \]<br />
exact maka diperoleh<br />
\[\xymatrix{ A \ar[r]^f & B \ar[r]^g & C}\]<br />
juga exact</blockquote>
<div>
Bukti:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Kita gunakan cara yang sama ketika membuktikan Lemma Yoneda. Karena hipotesa menyatakan berlaku untuk semua $X$, maka kita boleh melihat ketika $X=C$. Ini berarti </div>
<div>
\[g= id_{C} \circ g = \varphi_g( id_{C} ) \in img(\varphi_g) = ker(\varphi_f)\]</div>
<div>
Sehingga $\varphi_f(g)=0$, jadi $g \circ f = 0 $, diperoleh $img(f) \subseteq ker(g)$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Kita kemudian pilih $X$ sedemikian sehingga terdapat linear map $\lambda : B \rightarrow X$ mempunyai kernel tepat sama dengan $img(f)$. Hal ini diberikan oleh pemetaan canonical $\lambda: B \rightarrow B/ img(f)$, $b \rightarrow img(f)+b$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dengan pemetaan canonic diatas $(\lambda \circ f)(a) = img(f)+f(a) = img(f)=0$, jadi pemetaan canonic merupakan anggota $ker(\varphi_f)=img(\varphi_g)$, sehingga diperoleh $\lambda = \mu \circ g$ untuk suatu $\mu \in Hom(C, B/img(f))$. Sedangkan untuk setiap $m_1 \in ker(g)$, kita peroleh $0=(\mu \circ g)(m_1) = \lambda(m_1)$, jadi $m_1 \in ker(\lambda)=img(f)$, sehingga terbukti $ker(g) \subseteq img(f)$. $\blacksquare$</div>
<div>
q.e.d</div>
<div>
<br />
Apabila kita gunakan teorema diatas dengan $(A,B,C)=(M\otimes N, M^{\prime} \otimes N, M^{\prime \prime} {\otimes} N)$ dan ketika $(A,B,C) = ( M^{\prime} \otimes N, M^{\prime \prime} \otimes N , 0)$ maka diperoleh<br />
<br />
\[\xymatrix{M \otimes N \ar[r] & M^{\prime} \otimes N \ar[r] & M^{\prime \prime} \otimes N \ar[r] &0}\]</div>
<div>
<div>
<br />
barisan exact.<br />
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-69160579899818448452016-10-18T19:53:00.002-07:002016-10-19T02:28:00.926-07:00Tensor Product sebagai Fungtoriality <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Semalam, ketika mendiskusikan tentang contoh Sheafification. Pak Fajar bilang bahwa itu diberikan dari left-adjoint functor $L: PSh(\mathcal{C}) \rightarrow Sh(\mathcal{C})$ dari inklusi $Sh(\mathcal{C}) \hookrightarrow Psh(\mathcal{C})$.<br />
<br />
Karena bahasa Category saya belum lancar, saya mencoba mencari kasus-kasus less abstract yang saya kenal dari -so called- adjoint functor. Anyway pada definisi yang diberikan (bukan full definition) terdapat isomorphism<br />
<br />
\[ Hom_\mathcal{D} (L(C),D) \simeq Hom_\mathcal{D} (C,R(D)) \]<br />
<br />
untuk $C \in \mathcal{C}$ dan $D \in \mathcal{D}$.<br />
<br />
Dulu sekali, saya pernah mengerjakan sebuah latihan tentang right exactness dari Tensor Product terhadap suatu $R$-module $N$. (Sepertinya ada di Attiyah), yaitu<br />
<blockquote class="tr_bq">
<br />
Untuk $R$-module $A$, $B$, dan $C$, jika<br />
\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \]<br />
adalah barisan exact maka<br />
\[A \otimes N \rightarrow B \otimes N \rightarrow C \otimes N \rightarrow 0\]<br />
juga barisan exact. </blockquote>
<br />
Pada buktinya, terdapat (hint?) untuk membuktikan hal ini terlebih dahulu:<br />
<blockquote class="tr_bq">
Untuk $R$-module $M$, $N$, dan $P$ maka berlaku<br />
\[Hom_R(M \otimes N, P) \simeq Hom_R(M , Hom_R(N, P)) \]</blockquote>
<br />
In other words, dalam bahasa Category, kita punya functor $\mathcal{F} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $(\cdot) \otimes N$ dan functor $\mathcal{G} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $Hom(N, \cdot)$ dan mereka memenuhi bentuk yang saya berikan diatas.<br />
<br />
Bukti:<br />
<br />
Definisikan $\Psi : Hom_R (M \otimes N, P) \rightarrow Hom_R (M , Hom(N, P)) $<br />
dengan aturan:<br />
<br />
Untuk $f: M \otimes N \rightarrow P$, hasil pemetaan dari $\Psi(f)$ adalah fungsi $g$ yang memetakan $x \in M$ ke fungsi $g(x) : N \rightarrow P$, dimana $g(x)$ memetakan $y \in N$ ke $[g(x)](y)=f(x \otimes y)$.<br />
<br />
Singkatnya kita tulis<br />
<br />
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) \qquad x\in M \, , \, y\in N\] <br />
<br />
Pembuktian bahwa $[g(x)](y) = f(x \otimes y)$ adalah benar anggota $Hom_R(N, P)$ , cukup rutin dengan menggunakan sifat billinear dari tensor product. Pembuktian bahwa $g(x)$ adalah benar anggota $Hom_R (M , Hom(N, P))$ juga cukup jelas dengan sifat billinear dan sifat linear dari $f$. <br />
Pembuktian bahwa $\Psi$ injective (monomorphism) juga tidak begitu sulit.<br />
<br />
<b>Yang menarik adalah pembuktian bahwa $\Psi$ surjective, saya akan coba jabarkan.</b><br />
<br />
Ambil sebarang $g \in Hom_R(M, Hom_R(N,P))$, kita akan membuktikan terdapat $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga $\Psi(f) = g$. Perhatikan bahwa $g$ memetakan anggota $x\in M$ ke anggota $Hom_R(N, P)$.<br />
<br />
Kita akan menggunakan Universal Property dari Tensor Product, yaitu dimulai dari mendefinisikan billinear map $f^{\prime} : M \times N \rightarrow P$ sebagai berikut:<br />
\[f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]<br />
<br />
Karena $g$ linear maps maka $f^{\prime}(ax_1+bx_2 ,y ) = g(ax_1 +bx_2))(y) = g(ax_1)(y)+g(bx_2)(y) = [ag(x_1)](y)+[bg(x_2)](y)$, secara similar ini juga berlaku untuk variabel $y$. Sehingga diperoleh $f^{\prime}$ adalah fungsi billinear. <br />
<br />
Jadi dengan Universal Property dari Tensor Product (maaf saya belum bisa gambar commutative diagram di blogger) terdapat unique $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga<br />
<br />
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) = f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]<br />
<br />
terbukti.<br />
<br />
Saya ingin lanjut ke right-exactness agar relevant ke adjoint functor, dan saya bisa lebih mengerti secara lebih natural tentang adjoint functor, tapi saat ini belum tahu cara mengetik commutative diagram dengan nyaman di Mathjax :[<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-36928737537804425852016-09-05T03:47:00.001-07:002016-09-05T08:17:17.244-07:00Soal Batu<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa bulan yang lalu, di olimpiade.org, sayakalah (Erlang) mem-posting soal berikut:<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<a href="http://olimpiade.org/discussions/topic/1089-2n1-batu/">Diberikan $2n+1$ buah batu dengan berat bilangan real positif. Untuk setiap $1 \leq i \leq 2n+1$, apabila batu dengan berat $a_i$ kita pisahkan, maka $2n$ buah batu sisanya dapat dikelompokan menjadi dua grup dengan $n$ anggota, dimana berat total kedua grup batu tersebut sama. Buktikan bahwa berat batu sama semua. </a></blockquote>
<br />
Bagi saya soal ini sangat susah, karena beratnya yang harus bilangan real positif. Saya menyelesaikan soal ini dengan menggunakan <a href="http://mathworld.wolfram.com/HamelBasis.html">Hamel Basis</a>, dan argumen yang similar juga berlaku ketika "berat" batu boleh bilangan negatif. (solusi saya di olimpiade.org dapat dilihat dengan mengklik soal diatas, saya=Adri :p )<br />
<br />
Beberapa hari yang lalu, saya melihat soal serupa yang relatif lebih mudah dimana berat batu adalah bilangan bulat positif, yang merupakan soal Kompetisi Putnam ke-34 (saya kurang tahu Putnam tahun berapa itu, google saja). (Update: Soal yang sama ternyata juga ada di buku The USSR OLYMPIAD PROBLEM BOOK oleh Shklarsjy, Chentzov, Yaglom). Soal versi bilangan real ini muncul (tanpa solusi) di buku Problems From The Book, dan ada di bab yang membahas tentang Dirichlet Approximation (Kronecker's Theorem dan kawan2). Mungkin perlu dicoba mencari solusi yang menggunakan Dirichlet Approximation.<br />
<div>
<br /></div>
<br />
Argumen yang saya pakai di olimpiade.org ternyata bisa mengeneralisasi soal ini dimana "berat" batu merupakan Matriks berukuran $n \times n$ dengan komponen matriks berupa bilangan-bilangan kompleks, sebenarnya argumen saya juga berlaku untuk sebarang ruang vektor atas lapangan kompleks. <br />
<br />
Untuk kemudahan, seperti pada post di olimpiade.org, kita sebut syarat :<br />
<br />
<i><b>"Jika diambil sebarang satu anggota, sisanya dapat dipartisi menjadi dua grup sama banyak dengan total kuantitas sama besar"</b></i><br />
<i><b><br /></b></i>
sebagai <b>syarat bagus.</b><br />
<b><br /></b>
Kita telah membuktikan bahwa jika $2n+1$ buah bilangan real memenuhi syarat bagus maka $2n+1$ buah bilangan tersebut akan sama.<br />
<br />
Dengan argument yang sama, kita akan buktikan untuk kasus bilangan kompleks.<br />
<br />
Misalkan $z_j=x_j + i y_j$ untuk $j=1,2, \cdots, 2n+1$ adalah bilangan kompleks yang memenuhi syarat bagus. Maka berlaku $z_1=z_2= \cdots = z_{2n+1}$.<br />
<br />
<b>Solusi: </b>Perhatikan bahwa apabila $z_k$ diambil, maka dengan syarat bagus kita peroleh terdapat dua himpunan disjoint $A_k, B_k \subseteq \{z_j | j\neq k\}$ dengan $|A_k| = |B_k|=n$ dan memenuhi<br />
<br />
\[\sum_{j \in A_k} x_j + i \left( \sum_{j \in A_k} y_j \right) = \sum_{j \in B_k} x_j + i \left( \sum_{j \in B_k} y_j \right) \]<br />
<br />
Ini berarti $\sum_{j \in A_k} x_j = \sum_{j \in B_k} x_j$ dan $\sum_{j \in A_k} y_j = \sum_{j \in B_k} y_j$, dengan kata lain bilangan real $x_1, x_2, \cdots, x_{2n+1}$ dan $y_1, y_2, \cdots, y_{2n+1}$ memenuhi syarat bagus, dan karena kita sudah membuktikan soal untuk bilangan real, maka diperoleh $x_1 = x_2 = \cdots = x_{2n+1}$ dan $y_1 = y_2 = \cdots =y_{2n+1}$. Dari sini kita peroleh $z_1 = z_2= \cdots = z_{2n+1}$ dan kita selesai. $\blacksquare$<br />
<br />
Sekarang jelas bahwa argumen yang similar dapat digunakan apabila berat batu adalah anggota dari ruang vektor berdimensi hingga $V$ atas lapangan $\mathbb{C}$.<br />
<br />
Diberikan $\mathbf{w}_1 , \mathbf{w}_2, \cdots, \mathbf{w}_{2n+1}$ adalah vektor-vektor di $V$ yang memenuhi syarat bagus. Misalkan $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \cdots, \mathbf{b}_{m}$ adalah basis dari $V$. Kita tulis<br />
<br />
\[\mathbf{w}_{s} = \sum_{i=1}^m \alpha_{si} \mathbf{b}_i\]<br />
<br />
dimana $\alpha_{si} \in \mathbb{C}$ untuk $1 \leq s \leq 2n+1$ dan $1 \leq i \leq m$.<br />
<br />
<br />
Maka jika $\mathbf{w}_k$ dibuang, dari syarat bagus sisanya dapat dipartisi menjadi dua himpunan disjoint $A_k, B_k \subseteq \{\mathbf{w}_j | j\neq k\}$ dengan $|A_k| = |B_k|=n$ yang memenuhi<br />
<br />
\[\left( \sum_{j \in A_k} \alpha_{j1} \right) b_1 + \cdots + \left( \sum_{j \in A_k} \alpha_{jm} \right) b_m = \left( \sum_{j \in B_k} \alpha_{j1} \right) b_1 + \cdots + \left( \sum_{j \in B_k} \alpha_{jm} \right) b_m \]<br />
<br />
Ini berarti untuk setiap $i \in \{1, 2, \cdots, m\}$ bilangan kompleks $\alpha_{1i}, \alpha_{2i}, \cdots, \alpha_{2n+1 i}$ memenuhi syarat bagus, sehingga $\alpha_{1i}=\alpha_{2i}= \cdots=\alpha_{2n+1 i}$. Jadi diperoleh untuk sebarang $s, t \in {1, 2, \cdots, 2n+1}$ berlaku<br />
<br />
\[\mathbf{w}_{s} = \sum_{i=1}^m \alpha_{si} \mathbf{b}_i = \sum_{i=1}^m \alpha_{ti} \mathbf{b}_i = \mathbf{w}_{t}\]<br />
<br />
dan kita selesai.<br />
<br />
Dari sini kita bisa melihat bahwa jika "berat" batu merupakan vektor, matriks, atau bahkan ketika batu tersebut mempunyai "berat" polynomial, jika syarat bagus terpenuhi maka berat mereka sama.<br />
<br />
<br />
Sebenarnya (mungkin )kita bisa mengeneralisasi lebih jauh, pada artikel "A Combinatorial Generalization of a Putnam Problem" oleh Ömer Egecioglu, di American Mathematical Monthly, dia membuktikan (dengan menggunakan Cyclotomic Polynomial ) pernyataan berikut:<br />
<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Misalkan $\xi$ sebuah akar primitif dari $x^q-1$ dimana $q=p^r$, dan $p$ adalah bilangan prima. Diberikan barisan $S$ yang terdiri dari $qn+1$ buah bilangan <b>komplex </b>$z_1, z_2, \cdots, z_{qn+1}$ dengan sifat : Untuk setiap $i \in \{1, 2, \cdots qn+1\}$. $S \backslash \{z_i\}$ dapat di partisi menjadi $q$ buah himpunan sama besar $S_{i0}, S_{i1}, \cdots, S_{i, q-1}$ dengan<br />
\[\sum_{k=0}^{q-1} \xi^k \sum_{z_j \in S_{t,k}} z_j=0\]<br />
maka $z_1 = z_2 = \cdots = z_{qn+1}=0$</blockquote>
<br />
Ketika $k=1$ dan $p=2$, kita peroleh versi bilangan kompleks yang telah kita buktikan diatas.<br />
<br />
Jika digabung dengan argumen saya yang sebelumnya, teorema diatas harusnya juga berkerja untuk sebarang ruangan vektor atas bilangan kompleks. [ya kan? :p ]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-57313007488489755262016-08-17T00:04:00.000-07:002016-08-17T00:09:14.354-07:00Aftermath dan Beforemath Mario di ISMOC.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa hari yang lalu, saya mengajukan sebuah soal di lomba ISMOC, yang ternyata semalam sebelum lomba, diberi counter-example oleh Erlang Wiratama Surya T_T. Tapi untungnya kita beri sebuah phrase sehingga bisa dikerjakan.<br />
<br />
<br />
Karena soalnya berasal dari sebuah argument extermal (karena saya bikin soalnya pakai argument dulu, trus ditambah macam-macam baru jadi soal), akhirnya kita memberikan tambahan kata-kata pada soalnya agar argument extermal saya tetap jalan. Tambahannya cukup minim yaitu <b>""beserta sebuah kanal dari $G$ ke $X$</b>"" seperti pada soal dibawah (huruf tebal menyatakan ralat yang ditambahkan). <br />
<br />
Walaupun sebenarnya, karena sudah mengantuk, kita melakukan argument ekstermal pada directed graph menggunakan arah yang berbeda dengan yang diberikan soal, dan untungnya suatu struktur pada soal merupakan sebuah cycle, jadi pada akhirnya arahnya tidak begitu ngaruh, dan soal masih benar, ini hoki maksimal sih :p.<br />
<br />
Saya minta maaf atas kesalahan ini, dan berterima kasih kepada Erlang yang sudah mau berdiskusi sampai jam 2 subuh pada malam sebelum lomba. <br />
Pada saat lomba, terdapat dua orang yang berhasil menyelesaikan soal ini dengan sempurna.<br />
<div>
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq">
<blockquote class="tr_bq">
Mario sedang berada pada Negeri Jamur yang mempunyai $n$ buah kota. Beberapa dari kota tersebut terhubung oleh saluran pipa yang mempunyai arus satu arah, pipa-pipa ini dapat digunakan sebagai sarana transportasi antar kota, namun Mario tidak bisa berpindah melawan arus pada pipa-pipa tersebut, sehingga setiap pipa hanya berlaku sebagai jalan satu arah. Diketahui bahwa untuk setiap kota, banyak pipa dengan arus menuju keluar kota sama banyak dengan banyak pipa dengan arus menuju masuk ke kota tersebut. </blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
Suatu hari pada kota $P$, Mario menekan tombol <i>P-Switch</i> yang menyebabkan semua arus pipa pada Negeri Jamur berbalik arah, yakni pipa dengan arus dari kota $a$ ke kota $b$ berubah menjadi pipa dengan arus dari kota $b$ ke kota $a$. Kemudian dimulai dari kota $P$, Mario berkelana ke kota-kota dengan menggunakan arus pada pipa-pipa tersebut. Setelah efek <i>P-Switch</i> habis, semua arah arus pipa kembali seperti semula dan pada saat itu Mario sudah berada di kota $X$ dan telah mengunjungi semua kota tepat sekali dengan menggunakan tepat $n-1$ buah pipa, sebutlah $n-1$ buah pipa yang telah dilalui Mario tersebut (<b>beserta sebuah kanal dari $G$ ke $X$)</b> sebagai pipa <i>spesial</i>, dan pipa yang lain sebagai pipa <i>tak-spesial</i>. </blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
Misalkan dimulai dari kota $X$, Mario akan menutup pipa-pipa pada Negeri Jamur dengan berkelana ke kota-kota melalui pipa-pipa tersebut dengan aturan berikut: </blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
<ul style="text-align: left;">
<li>Apabila sebuah pipa telah dilalui oleh Mario, maka pipa tersebut langsung dia tutup dan tidak bisa dilalui lagi. </li>
<li>Pada setiap kota, Mario akan memilih keluar melalui pipa spesial hanya jika semua pipa tak-spesial yang menuju keluar dari kota tersebut sudah ditutup. </li>
</ul>
</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
Buktikan bahwa dengan aturan diatas, <b>(apapun pilihan Mario)</b> ketika Mario sudah tidak bisa berpindah kota, maka pada saat itu dia sedang berada kembali di kota $X$ dan telah menutup semua pipa pada Negeri Jamur. </blockquote>
</blockquote>
<br />
Solusi (Outline) : Pertama-tama buktikan dulu ketika Mario stuck di suatu kota, yakni sudah tidak bisa kemana-mana lagi, maka pasti kota itu adalah kota $X$. Jadi pipa spesial yang masuk dan keluar kota $X$ sudah dipakai. Jika ada pipa yang belum dipakai, pilih pipa spesial $A$ ke $B$ yang belum terpakai dengan $B$ paling jauh ke $X$, maka nanti diperoleh pipa spesial dari $B$ juga belum terpakai, kontradiksi dengan $B$ paling jauh.<br />
<br />
<br />
Yang jadi masalah adalah struktur pipa spesial pada soal, yang akhirnya kita ubah pada soal diatas menjadi cycle.<br />
<br />
Berikut adalah beberapa versi soal :<br />
<br />
1. (Sebelum Ralat) Struktur pipa spesial pada soal adalah directed path dari $X$ ke $G$ yang memuat semua kota.<br />
<br />
2. (Setelah Ralat) Struktur pipa spesial pada soal adalah directed cycle yang memuat semua kota.<br />
<br />
3. (Awal ketika buat) Struktur pipa spesial pada soal adalah directed path dari $G$ ke $X$ yang memuat semua kota.<br />
<br />
Perhatikan bahwa yang membedakan 1 dan 3 itu hanya arah saja (mungkin dulu saya lupa bahwa ketika efek P-Switch habis, maka pipa spesialnya kembali ke arah semua juga.) <br />
<br />
Versi 1 tidak berkerja karena ketika $B$ terjauh, belum tentu ada pipa spesial bermula dari $B$.<br />
<br />
Versi 3 harusnya tetap berkeja, namun ceritanya akan sedikit ribet, dan soal sekarang saja sudah panjang (Saya baru nyadar bahwa sebenarnya cukup bilang, pipa spesial ga balik lagi ke arah awal).<br />
<br />
Ketika saya melihat kembali ketikan saya beberapa bulan lalu, ternyata saya menggunakan argument "$B$ paling dekat ke $X$" , sepertinya saya melakukan argument nya dengan asumsi bahwa pipa spesial arahnya tetap sama ketika P-Switch ditekan lagi.<br />
<br />
Anyway, soal diatas merupakan adaptasi dari sebuah Algoritma untuk mendeteksi Eulerian Cycle pada sebuah graph simple, yang disebut <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_path">Fleury's Algorithm</a>. Algoritma yang saya tahu berkerja di Graph Simple, yaitu dengan melihat sebuah struktur subgraph berupa "bridge". Nantinya edges yang berada pada bridge ini akan digunakan sebagai last resort ketika mencari Eulerian Cycle.<br />
<br />
Saya mencoba mengerjakan Algoritma serupa ketika Graph yang diberikan adalah Graph berarah, namun disini, agar terdapat Eulerian Cycle, saya beri kondisi in degree sama dengan out degree (yang ini saya jadiin soal Final ISMOC SMP :p ).<br />
<br />
Sayangnya meskipun dengan syarat in-degree dan out-degree, saya masih belum bisa menemukan struktur yang cocok untuk "bridge" di directed graph. Setelah beberapa lama, saya menggunakan argument ekstermal diatas, dan ambil asumsi malas bahwa bridge nya berbentuk garis saja. (yang akhirnya diubah menjadi cycle, karena phrase minim yang dibutuhkan).<br />
<br />
Kira-kira struktur general subgraph spesial untuk Fleury's Algortihm versi directed graph ini apa ya?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-84512977914811639692016-06-09T07:19:00.004-07:002016-12-28T23:15:21.892-08:00Masalah Cap-Set<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa hari yang lalu, saya diberikan sebuah <a href="https://www.quantamagazine.org/20160531-set-proof-stuns-mathematicians/">link </a>oleh Pak Aleams Barra. Pada link tersebut dijelaskan tentang sebuah masalah Kombinatorika yang baru-baru ini mendapat sebuah perkembangan berarti. Masalah ini biasa disebut sebagai <i>cap set problem. </i>Masalah ini cukup high-profile karena beberapa matematikawan terkenal seperti Field Medalist Timothy Gowers dan Terrence Tao juga pernah tertarik dalam masalah ini.<br />
<a href="https://terrytao.wordpress.com/2007/02/23/open-question-best-bounds-for-cap-sets/">Posting Blog Terrence Tao tahun 2007</a> tentang capset<br />
<a href="https://gowers.wordpress.com/2011/01/11/what-is-difficult-about-the-cap-set-problem/">Posting Blog Timothy Gowers tahun 2011</a> tentang capset<br />
<br />
Dari hasil ini, dua konjektur langsung terbukti (dari <a href="https://gilkalai.wordpress.com/2016/05/17/polymath-10-emergency-post-5-the-erdos-szemeredi-sunflower-conjecture-is-now-proven/">post</a> Prof. Gil Kalai) yaitu :<br />
<br />
<b>1. Erdos-Szemeredi Sunflower Conjecture </b>dan<b> </b><br />
<b>2. Strong Cap Set Conjecture</b><br />
<b><br /></b>Teorema 2.8 pada <a href="http://www.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/sfmmccc2.pdf" style="font-style: italic;">Paper Ini</a><i> (</i>oleh Noga Alon, <span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-size: 16px;">Amir Shpilka, and Christopher Umans) <b>2 menyebabkan 1. </b></span><br />
<div>
<div>
<i><br /></i></div>
<div>
Yang menghangatkan lagi diskusi tentang cap set baru-baru ini adalah ketika Ernie Croot, Vsevolod F. Lev, dan Péter P. Pach meletakkan <i><a href="https://arxiv.org/pdf/1605.01506v2.pdf">paper</a></i> pra-review mereka ke arxiv.org, tentang progression-free set di $\mathbb{Z}_4^n$ . Teknik Polynomial yang mereka pakai, menjadi <i>game-changing </i>dalam diskusi mengenai <i>cap problem </i>ini, sebelumnya para matematikawan menggunakan pendekatan Metode Fourier untuk memperoleh batas dari cap problem tersebut. <span style="font-size: xx-small;">(Péter P. Pach ini ternyata pernah ikut IMO dua kali, dapat medali emas di tahun 2004)</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Lemma polynomial (atau sekarang disebut Croot-Lev-Pach Lemma) sebenarnya sudah ditanyakan beberapa kali oleh Vsevolod Lev di mathoverflow (<a href="http://mathoverflow.net/questions/55300/when-does-pa%E2%88%92b-0-for-a%E2%89%A0b-ensure-p0-0-continued/">klik disini</a>) untuk melihat pertanyaaan Vsevolod Lev (dia sudah mencari jawabannya sampai tiga tahun!) <span style="font-size: xx-small;">(<span style="font-size: xx-small;">Vsevolod Lev ini ternyata proposer soal IMO 1989 no 6</span>)</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Argument yang dipakai oleh Croot-Lev-Pach, di adaptasi oleh matematikawan Jordan Ellenberg dan Dion Gijswijt untuk menyelesaikan masalah cap-set di $\mathbb{F}_q^n$. Setelah melihat Croot-Lev-Pach Lemma, mereka berdua awalnya membuat paper yang terpisah (sampai akhirnya mereka sadar bahwa argument mereka mirip) jadi mereka memutuskan untuk (akan) mempublish paper nya sebagai <a href="http://arxiv.org/pdf/1605.09223.pdf">joint paper</a>. <span style="font-size: xx-small;">(</span><span style="font-size: xx-small;">Ternyata si Jordan Ellenberg ini dulu tiga kali ikut IMO, dua kali perfect score 1987/1989 ) (Ternyata juga Dion Gijswijt ini pernah ikut IMO tiga kali, dua kali dapat HM , salah satunya di problem no 6 tahun 1994.</span><span style="font-size: xx-small;"> )</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Yang menarik adalah, argument yang dipakai pada paper diatas, cukup elementer sampai-sampai (seharusnya) mahasiswa matematika S1 bisa mengerti , yang tidak begitu elementer mungkin hanya pembatasan generalized binomial coefficient dengan ketaksamaan probabilistik, tapi jika sudah mengetahui variant-variant dari Ketaksamaan Probabilistic Tchebishev, harusnya tidak masalah.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Pada post-post ini saya akan mencoba (menjelaskan) argumen-argumen yang dipakai pada paper tersebut. Anda bisa baca <a href="http://arxiv.org/pdf/1605.09223.pdf">paper ini</a> yang katanya "cukup jelas". Post-post berikut ini sebenarnya hanyalah break-down argument dari paper tersebut (karena pak Barra bilang "mulai dari mana?" (breakdown-nya) ). Saya rasa, yang sudah belajar sedikit tentang vektor space harusnya bisa mengikuti.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Post-post nya saya bagi menjadi 3 bagian: </div>
<div>
<br /></div>
<div>
1. <a href="http://oxolodonspace.blogspot.co.id/2016/06/part-i-permainan-set.html">Part I</a> (Ini menjelaskan masalah Cap Set, jika anda baca link di awal post ini, masalahnya dijelaskan oleh sebuah permainan kartu SET , disini saya mencoba menjelaskan mengapa bisa sampai nyasar ke vektor space)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
2. <a href="http://oxolodonspace.blogspot.co.id/2016/06/lemma-5-misalkan-d-in-0q-1n-dan.html">Part II</a> (Post ini cukup technical, saya mencoba menjelaskan beberapa pernyataan "satu baris" di paper tersebut yang sebenarnya jika di break-down mungkin 20 baris, tapi tetap elementer)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
3. Part III (Karena part II kepanjangan, saya pisah, di Part II key lemma nya yaitu Croot-Lev-Pach Lemma sudah dibuktikan, disini kita pakai argument probabilistik untuk melakukan pembatasan (<span style="font-family: "cmr12"; font-size: 12pt;">large deviation problem</span>), saya tidak buktikan ketaksamaannya karena itu bisa satu paper sendiri (saya paparkan paper nya di post part III ) )</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Intinya jika anda mau baca paper nya langsung juga bisa, (cuma tiga halaman).</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<i><br /></i></div>
</div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-38289376406474110492016-06-09T07:18:00.003-07:002018-08-09T03:26:45.777-07:00Part II (Croot-Lev-Pach Lemma), Ellenberg-Gijswijt argument. <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Pada post kali ini, saya akan membahas lebih detail tentang salah satu teknik yang dipakai untuk memperoleh batas baru dari "Cap Set", kurang dari satu bulan paper tentang teknik ini di input ke arxiv.org , sudah banyak para matematikawan yang meng "abuse" teknik ini. Argument yang dipakai merupakan break-down dari paper Ellenberg dan Gijswijt di joint paper mereka.<br />
<br />
Kita akan melakukan perkejaan pada Lapangan Berhingga $\mathbb{F}_q$, dimana $q=p^{r}$ untuk suatu bilangan prima $p$, notasi $\mathbb{F}_q^n$ menyatakan ruang vektor terhadap lapangan $\mathbb{F}_q$.<br />
<br />
Huruf besar $X$ menyatakan $n$ buah variabel $(x_1, x_2,\cdots, x_n)$, jadi ketimbang menulis $m(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ kita akan cukup menuliskan $m(X)$. Setiap variabel yang menggunakan huruf tebal seperti $\mathbf{a}$ akan menyatakan nilai vektor di $\mathbb{F}_q^n$ dengan komponen kei-i samadengan $a_i$, jadi $\mathbf{a}=(a_1, \cdots, a_n)$ dimana $a_i \in \mathbb{F}_q$. Dengan demikian notasi $m(\mathbf{a})$ berarti sama saja dengan mengevaluasi fungsi $m(X)$ ketika $x_i=a_i$, yakni<br />
\[m(\mathbf{a}) = m(a_1, a_2, \cdots, a_n)\]<br />
Kita juga menggunakan notasi<br />
\[m(X-\mathbf{a}) = m(x_1-a_1, \cdots, x_n-a_n)\]<br />
<br />
Sebuah polynomial multivariable $P(X)=\sum h_j x_1^{d_1} \cdots x_n^{d_n}$ mempunyai suku derajat $d$ apabila terdapat salah satu dari monomial $x_1^{d_1} \cdots x_n^{d_n}$ pada jumlahan diatas yang derajat total-nya $d_1+\cdots+d_n=d$.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 1
</b>Semua fungsi $f: \mathbb{F}_q^n \rightarrow \mathbb{F}_q$ adalah polinomial multivariabel dengan derajat setiap variabel tidak lebih dari $q-1$.</blockquote>
<br />
<br />
<b>Bukti :</b><br />
<br />
<br />
Kita akan menggunakan "Interpolasi Langrange", oleh karena itu kita membutuhkan sebuah indicator function $\mathbb{1}_0(X)$, yang didefinisikan sebagai:<br />
\[\mathbb{1}_0(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{j=1}^n (1-x_j^{q-1})\]<br />
<br />
Perhatikan bahwa $\mathbb{1}_0(\mathbf{0}) = 1$, sedangkan jika $X \neq \mathbf{0}$, karena di $\mathbb{F}_q$ berlaku $x_i^{q-1}=1$ maka $\mathbb{1}_0(X) = 0$ jika $X \neq \mathbf{0}$.<br />
Karena anggota $\mathbb{F}_{q}^n$ ada berhingga banyaknya, maka nilai dari $f(\mathbf{b})$ bisa kita list untuk semua $\mathbf{b} \in \mathbb{F}_q^{n}$ .<br />
Untuk sebarang $\mathbf{b} \in \mathbb{F}_q^n$ definisikan fungsi<br />
\[\mathbb{1}_{\mathbf{b}}(X) : = \mathbb{1}_0(X-\mathbf{b})\]<br />
Perhatikan bahwa dari definisi $\mathbb{1}_0(X)$, kita peroleh<br />
\[\mathbb{1}_{\mathbf{b}}(\mathbf{b}) = \mathbb{1}_0(\mathbf{0})=1 \qquad \text{dan}\qquad<br />
\mathbb{1}_{\mathbf{b}}(X) = 0 \quad \text{untuk $X \neq \mathbf{b}$}\]<br />
Misalkan $\mathbb{F}_q^n=\{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \cdots, \mathbf{c}_{q^n}\}$. Semua fungsi $f \in \mathbb{F}_q^{\mathbb{F}_q^n}$ juga dapat dinyatakan sebagai $q^n$-tuple<br />
\[(f(\mathbf{c}_1), \cdots , f(\mathbf{c}_{q^n} ))\]<br />
yang merupakan daftar dari semua nilai fungsi tersebut untuk semua $q^n$ buah anggota $\mathbb{F}_q^n$. Dari daftar nilai $f$ diatas kita bentuk fungsi<br />
\[g(X) = \sum_{j=1}^{q^n} f(\mathbf{c}_j) \cdot \mathbb{1}_{\mathbf{c}_j}(X) \]<br />
Karena $\mathbb{1}_{\mathbf{c}_j}(X)$ adalah sebuah polinomial, maka $g(X)$ juga sebuah polinomial, dan dari definisi $\mathbb{1}_0 (X)$, pada polinomial $g(X)$ berlaku derajat dari tiap-tiap variabel $x_i$ selalu kurang dari $q$.<br />
<br />
Perhatikan bahwa untuk setiap $j=1, \cdots, q^n$ berlaku $g(\mathbf{c}_j) = f(\mathbf{c}_j)$, jadi $f(X)$ dan $g(X)$ adalah fungsi yang sama.<br />
$\blacksquare$<br />
<br />
<br />
Misalkan $S_n$ adalah ruang vektor atas $\mathbb{F}_q$ yang direntang oleh monomial $x_1^{d_1} \cdots x_n^{d_n}$ dimana $0\leq d_i \leq q-1$ untuk setiap $i$, dengan kata lain kita bisa bilang $S_n$ adalah himpunan semua polynomial $n$-variable dengan koefisien di $\mathbb{F}_q$ yang derajat setiap variabel nya kurang dari $q$.<br />
<br />
Perhatikan bahwa tiap monomial tersebut menjadi basis dari ruang vektor $S_n$, dan karena terdapat $q^n$ buah monomial yang mungkin, maka diperoleh $dim(S_n)=q^n$. Dari Lemma 1, kita ketahui bahwa semua anggota dari ruang vektor fungsi dari $\mathbb{F}_q^n \rightarrow \mathbb{F}$ (atau biasanya dinotasikan $\mathbb{F}_q^{\mathbb{F}_q^n}$ ) dapat diinterpertasikan sebagai sebuah polynomial multivariabel yang derajat tiap-tiap variabelnya kurang dari $q$.<br />
<br />
<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>
Lemma 2</b>
<br />Pemetaan $\varphi : S_n \rightarrow \mathbb{F}_q^{\mathbb{F}_q^n} $ dengan aturan:<br />\[\varphi(P) = (P(\mathbf{c}_1) , \cdots, P(\mathbf{c}_{q^n}) ) \]<br /> adalah sebuah Transformasi Linear yang satu-satu pada (linear isomorphism) .</blockquote>
<br />
<b>Bukti :</b> Untuk sifat linear nya sudah cukup jelas. Sedangkan Lemma 1 telah membuktikan bahwa $\varphi$ surjektif. Namun karena keduanya mempunyai dimensi yang sama yaitu $q^n$, maka $\varphi$ juga injektif. $\blacksquare$.<br />
<br />
Misalkan $S_n^d$ adalah subruang yang direntang oleh monomial dengan derajat tidak lebih dari $d$ , dan misalkan $m_d= \text{dim}(S_n^d)$. Misalkan juga $A\subset \mathbb{F}_q^n$.<br />
<br />
Misalkan $\gamma \in \mathbb{F}_q$, definisikan subruang $V_{\gamma}$ sebagai, sebuah subruang dari $S_n$ yang berisikan semua polinomial di $S_n$, katakanlah polinomial $P(X)$ sedemikian sehingga jika $\mathbf{t} \not\in -\gamma A$ maka $P(\mathbf{t})=0$.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 3</b> $\text{dim}(V_{\gamma}) = |A| $</blockquote>
<br />
<b>Bukti: </b><br />
Misalkan $\text{dim}(V_\gamma) = l$. Misalkan $-\gamma A=\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_{k}\}$, dimana $k=|-\gamma A|=|A|$. Akan dibuktikan bahwa polynomial :<br />
<br />
\[\mathbb{1}_{\mathbf{a}_1}(X) , \cdots, \mathbb{1}_{\mathbf{a}_k}(X)\]<br />
<br />
bebas linear. Misalkan<br />
<br />
\[T(X) = \alpha_1 \mathbb{1}_{\mathbf{a}_1}(X) + \cdots + \alpha_k \mathbb{1}_{\mathbf{a}_k}(X) = 0\]<br />
untuk setiap $X \in \mathbb{F}_q^n$, maka secara khusus $T(\mathbf{a}_i)=0$ untuk setiap $i$, namun $T(\mathbf{a}_i) = \alpha_i$, sehingga $\alpha_1 = \cdots =\alpha_k=0$, jadi terbukti bebas linear.<br />
<br />
Perhatikan juga bahwa untuk setiap $j$, $\mathbb{1}_{\mathbf{a}_j}(X)$ bernilai tak-nol hanya jika $X=\mathbf{a}_j \in -\gamma A$, jadi untuk $X \not \in -\gamma A$ haruslah $\mathbb{1}_{\mathbf{a}_j}(X)=0$, sehingga semua fungsi $\mathbb{1}_{\mathbf{a}_j}(X)$ diatas adalah anggota $V_{\gamma}$. Ini berarti kita telah menemukan $|A|$ buah anggota di $V_{\gamma}$ yang bebas linear, sehingga diperoleh $\text{dim}(V_{\gamma}) = l \geq |A|$.<br />
<br />
Sekarang akan dibuktikan bahwa $\text{dim}(V_{\gamma}) \leq |A|$.<br />
<br />
Dari lemma $2$, jika $m_1(X), m_2(X), \cdots , m_{l}(X)$ adalah monomial yang merupakan basis dari $V_{\gamma}$, maka $\varphi(m_i(X))$ untuk $i=1,2, \cdots, l$ juga membentuk basis. Kita dapat menulis<br />
<br />
\[\varphi(m_1(X)) = (m_1(\mathbf{c}_1), \cdots , m_1(\mathbf{c}_{q^n}) )\]<br />
\[\varphi(m_2(X)) = (m_2(\mathbf{c}_1), \cdots , m_2(\mathbf{c}_{q^n}) )\]<br />
\[...\]<br />
\[\varphi(m_l(X)) = (m_l(\mathbf{c}_1), \cdots , m_l(\mathbf{c}_{q^n}) )\]<br />
<br />
Dari daftar semua nilai $m_i(X)$ diatas, yang mungkin tidak bernilai nol hanya pada kolom-kolom dengan indeks $j$ ketika $\mathbf{c}_j \in -\gamma A$. Jadi hanya ada paling banyak $|-\gamma A|= |A|$ buah kolom yang bukan nol.<br />
<br />
Kita dapat melihat daftar diatas sebagai matriks $l \times q^n$, dimana hanya ada paling banyak $|A|$ buah kolom yang tak-nol. Karena $m_i(X)$ basis dan sifat $\varphi$ yang merupakan linear isomorphism, maka semua vektor baris $(m_i(\mathbf{c}_1), \cdots , m_i(\mathbf{c}_{q^n}) )$ juga merupakan basis, oleh karena itu mereka semua bebas linear, dengan kata lain matriks tersebut full-rank baris. Jadi dimensi dari $V_{\gamma}$ yaitu $l$ adalah rank dari matriks $l \times q^n$ tersebut.<br />
<br />
Kita dapat membuang kolom-kolom yang sudah pasti bernilai nol dari daftar-daftar diatas tanpa mengubah rank, yakni membuang sebanyak $q^n-|A|$ buah kolom.<br />
<br />
Dengan demikian setelah membuang $q^n-|A|$ buah kolom, kita akan memperoleh suatu matriks $M$ dengan ukuran $l \times |A|$ . Diperoleh $\text{dim}(V_{\gamma}) = l = \text{rank}(M)$ , sedangkan sebesar-besarnya rank dari suatu matriks yang berukuran $l \times |A|$ adalah $\min(l, |A|)$. Jika $l>|A|$ maka $\min(l, |A|) = |A|$, tapi $l \leq \min(l, |A|) = |A| < l$, kontradiksi. Jadi haruslah $l \leq |A|$, sehingga kita telah membuktikan bahwa $\text{dim}(V_{\gamma})= l = |A|$. $\blacksquare$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 4
</b>Misalkan $\alpha + \beta + \gamma = 0$ dimana $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{F}_q$. Misalkan juga $A \subset \mathbb{F}_q^n$.<br />Jika $P \in S_n^d$ memenuhi $P(\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}) = 0$ untuk setiap dua anggota berbeda $\mathbf{a},\mathbf{b} \in A$ maka<br />\[\left| \mathbf{s} \in A \, : \, P(-\gamma \mathbf{s}) \neq 0 \right| \leq 2m_{d/2}.\]</blockquote>
<br />
<b>Bukti:</b><br />
<br />
Setiap $P\in S_n^d$ dapat kita tulis $P(t_1, t_2, \cdots, t_n) = \sum c_k (t_1^{d_1} \cdots t_n^{d_n})$, dimana $d_1 + \cdots + d_n \leq d$. Jadi jika $\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_n)$ dan $\mathbf{y} = (y_1, \cdots, y_n)$ maka<br />
<br />
\[P(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = P(\alpha x_1 + \beta y_1 , \cdots, \alpha x_n + \beta y_n) = \sum c (\alpha x_1 + \beta y_1)^{d_1} \cdots (\alpha x_n + \beta y_n)^{d_n}\]<br />
<br />
apabila di expansi maka diperoleh<br />
<br />
\[P(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \sum c^{\prime} x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} y_1^{l_1} \cdots y_n^{l_n} \qquad \qquad (1) \]<br />
<br />
dimana $k_1 + \cdots + k_n + l_1 + \cdots + l_n \leq d$. Kemudian kita bisa sisihkan semua suku yang memuat monomial $v(\mathbf{x})= x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}$ dengan $k_1 + \cdots + k_n \leq d/2$, monomial yang seperti ini adalah basis dari $S_n^{d/2}$, sebutlah himpunan basis ini $M_n^{d/2}$. Kontribusi mereka pada jumlahan (1) adalah<br />
<br />
\[\sum_{v \in M_n^{d/2}} c_v F_v(\mathbf{y}) v(\mathbf{x})\]<br />
<br />
dimana $F_v(\mathbf{y})$ adalah bagian variabel yang mengandung $y_1^{l_1} \cdots y_n^{l_n}$<br />
<br />
<br />
Suku yang tersisa adalah ketika $k_1 + \cdots + k_n > d/2$, namun ini menyebabkan $l_1 + \cdots +l_n < \frac{d}{2}$, jadi suku-suku yang tersisa ini memuat $u(\mathbf{y})=y_1^{l_1} \cdots y_n^{l_n}$ dimana $l_1 + \cdots +l_n < \frac{d}{2}$, sehingga dapat ditulis<br />
<br />
\[\sum_{v \in M_n^{d/2}} c_u G_u(\mathbf{x}) u(\mathbf{y})\]<br />
<br />
dimana $G_u(\mathbf{x})$ adalah bagian variabel yang mengandung $x_1^{l_1} \cdots x_n^{l_n}$.<br />
<br />
sehingga diperoleh<br />
<br />
\[P(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \sum_{v \in M_n^{d/2}} F_v(\mathbf{y}) v(\mathbf{x}) + \sum_{u \in M_n^{d/2}} G_u(\mathbf{x}) u(\mathbf{y}) \]<br />
<br />
Karena basis $S_n^{d/2}$ adalah $M_n^{d/2}$ maka $|M_n^{d/2}| = m_{d/2}$. Jadi persamaan diatas dapat ditulis<br />
<br />
<br />
\[P(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{m_{d/2}} F_i (\mathbf{y}) v_i(\mathbf{x}) + \sum_{j=1}^{m_{d/2}} G_j(\mathbf{x}) u_j(\mathbf{y}) \]<br />
<br />
(disini $F_i$ dan $G_j$ bisa saja nol bila perlu).<br />
<br />
Misalkan $A = \{\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{a}_m\}$, maka $|A|=m$. Tinjau matriks $B$ yang berukuran $|A| \times |A|$ dengan entry<br />
<br />
\[B_{st} = P(\alpha\mathbf{a}_s + \beta \mathbf{a}_t) = \sum_{i=1}^{m_{d/2}} F_i (\mathbf{a}_t) v_i(\mathbf{a}_s) + \sum_{j=1}^{m_{d/2}} G_j(\mathbf{a}_s) u_j(\mathbf{a}_t) \]<br />
<br />
Jadi<br />
<br />
\[B=\sum_{i=1}^{m_{d/2}} \begin{pmatrix} F_i(\mathbf{a}_1) \\ \vdots \\ F_i(\mathbf{a}_m ) \end{pmatrix}(v_i(\mathbf{a}_1) , \dots , v_i(\mathbf{a}_m) ) + \sum_{j=1}^{m_{d/2}} \begin{pmatrix} G_j(\mathbf{a}_1) \\ \vdots \\ G_j(\mathbf{a}_m ) \end{pmatrix}(u_j(\mathbf{a}_1) , \dots , u_j(\mathbf{a}_m) ) \]<br />
<br />
Tiap matriks dalam summands diatas adalah perkalian dari vektor $n \times 1$ dan $1 \times n$, maka dari itu mereka semua mempunyai rank kurang dari atau sama dengan $1$. Jadi $B$ adalah penjumlahan dari $2m_{d/2}$ buah matriks yang mempunyai rank $\leq 1$. Karena rank memenuhi sifat $rank(X+Y) \leq rank(X)+rank(Y)$, maka diperoleh $rank(B) \leq 2 m_{d/2}$. Namun dari hipotesa, diperoleh $B_{st}=0$ jika $s\neq t$. Jadi $B$ adalah matriks diagonal, sehingga rank dari $B$ sama-dengan banyaknya entri pada diagonal yang tidak sama-dengan nol. Sehingga kita simpulkan, banyak entri pada diagonal yang tidak sama-dengan nol harus lebih kecil atau samadengan $2m_{d/2}$.<br />
<br />
Ini berarti banyak $\mathbf{s}\in A$ sedemikian sehingga $P(-\gamma \mathbf{s}) = P(\alpha \mathbf{s} + \beta \mathbf{s}) \neq 0$ harus lebih kecil atau samadengan $2m_{d/2}$. Lemma terbukti. $\blacksquare$<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 5</b>Misalkan $d \in [0,(q-1)n]$ dan definisikan $V_{\lambda}^d$ adalah himpunan semua polynomial dengan derajat paling banyak $d$, sedemikian sehingga jika $\mathbf{t} \not \in -\lambda A$ maka berlaku $P(\mathbf{t}) = 0$. Maka berlaku<br />\[\text{dim} (V_{\lambda}^d) \geq m_d - q^n + |A| \]</blockquote>
<b><br /></b>
<b>Bukti:</b><br />
<br />
Perhatikan bahwa $V_{\gamma}^d = V_{\gamma} \cap S_n^d$, yang merupakan irisan dari dua subruang, kita ketahui dari lemma 3 bahwa $\text{dim}(V_{\lambda})=|A|$ dan juga kita menggunakan notasi $\text{dim}(S_n^d) = m_d$ jadi diperoleh dengan rumus dimensi<br />
<br />
\[\begin{align*} \text{dim}(V_{\gamma}^d) &=\text{dim}(V_{\gamma} \cap S_n^d) \\ &= \text{dim}(V_{\gamma})+\text{dim}( S_n^d) - \text{dim}(V_{\gamma} + S_n^d) \\ &= m_d+|A| - \text{dim}(V_{\gamma} + S_n^d) \\ & \geq m_d+|A|-q^n\end{align*} \]<br />
<br />
<br />
Berikutnya kita akan membuktikan batas atas dari $\text{dim} (V_{\lambda}^d)$.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lemma 6</b>$\text{dim} (V_{\lambda}^d) \leq 2m_{d/2}$</blockquote>
<br />
<b>Bukti:</b><br />
<b><br /></b>
Dengan menggunakan Lemma 4, Kita cukup membuktikan bahwa<br />
<br />
\[ \text{dim} (V_{\lambda}^d) \leq \left| \mathbf{s} \in A \, : \, P(-\gamma \mathbf{s}) \neq 0 \right| \]<br />
<br />
untuk suatu polinomial $P\in S_n^d$ yang memenuhi $P(\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}) = 0$ untuk setiap dua anggota berbeda $\mathbf{a},\mathbf{b} \in A$.<br />
<br />
Untuk kemudahan kita definisikan $\Sigma_{\lambda} = \mathbf{s} \in A \, : \, P(-\gamma \mathbf{s}) \neq 0 \right|$<br />
<br />
<br />
<b><br /></b>
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-70204497066696300032016-06-03T21:46:00.000-07:002016-06-10T08:27:52.879-07:00Part I (Permainan Set)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Sederhananya begini:<br />
<br />
Misalkan terdapat $81$ buah kartu, dimana setiap kartu mempunyai empat buah atribut yaitu: gambar, angka, warna, dan arsiran, dimana masing-masing atribut dapat berupa $3$ kemungkinan.<br />
<br />
Apabila diambil 12 kartu, kemudian dipaparkan, kita diminta untuk menemukan tiga buah kartu dari 12 kartu tersebut sedemikian sehingga untuk tiap-tiap atribut pada ketiga kartu tersebut, semuanya berbeda atau semuanya sama. Singkatnya seperti pada gambar berikut (diambil dari link yang sama) :<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.quantamagazine.org/wp-content/uploads/2016/05/SETPoint_2000.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://www.quantamagazine.org/wp-content/uploads/2016/05/SETPoint_2000.png" width="640" /></a></div>
Tiga buah kartu yang memenuhi kondisi diatas, disebut SET.<br />
<br />
Masalah ini dapat diintepretasikan dalam bentuk Aljabar Linear. Setiap $81$ kartu dapat dinyatakan sebagai sebuah vektor berdimensi empat $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ dimana $a_i \in \{0,1,2\}$. <br />
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>$a_1$ menyatakan bentuk, $0$ bila berbentuk diamond, $1$ bila berbentuk oval, $2$ bila berbentuk cacing.</li>
<li>$a_2$ menyatakan angka, $0$ bila ada satu buah, $1$ bila ada dua buah, $2$ bila ada tiga buah</li>
<li>$a_3$ menyatakan warna, $0$ bila berwarna merah, $1$ bila berwarna hijau, $2$ bila berwarna ungu,</li>
<li>dan $a_4$ menyatakan arsiran, $0$ bila tidak diarsir, $1$ bila diarsir garis-garis, $2$ bila diarsir penuh.</li>
</ul>
Sebagai contoh, $(1,1,0,1)$ berarti $a_1=1$ (oval) , $a_2=1$ (dua buah), $a_3=0$ (warna merah), $a_4=1$ (diarsir penuh), jadi kartu yang dimaksud adalah :<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTGysVfxmYBeaNUT3mJSvwd3JqD_zkWFwVrQRsIxPbU-_q4EDKHQJw9obMAMyYLaTRg4zHvivTyTLSgmAfhcmJ91_k_SDApdI7ZNcuMCUZv56JUNfBiyxxy9JGwf21WCWqVnfEsrr0ulq7/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTGysVfxmYBeaNUT3mJSvwd3JqD_zkWFwVrQRsIxPbU-_q4EDKHQJw9obMAMyYLaTRg4zHvivTyTLSgmAfhcmJ91_k_SDApdI7ZNcuMCUZv56JUNfBiyxxy9JGwf21WCWqVnfEsrr0ulq7/s1600/Untitled.png" /></a></div>
<br />
<br />
Dengan demikian, triple SET adalah tiga buah 4-tuple :<br />
<br />
\[(a_1, a_2, a_3, a_4) , (b_1, b_2, b_3, b_4), (c_1, c_2, c_3, c_4)\]<br />
<br />
dimana untuk tiap-tiap $i=1,2, 3, 4$ bilangan $a_i, b_i, c_i$ berbeda semua atau sama semua.<br />
<br />
Perhatikan bahwa kita bisa menganggap $\{0,1,2\}$ sebagai sebuah lapangan hingga $\mathbb{F}_3$, dengan operasi modulo $3$. Pandang persamaan<br />
<br />
\[\alpha + \beta + \gamma = 0 \qquad \alpha,\beta, \gamma \in \mathbb{F}_3\]<br />
<br />
hanya mempunyai solusi ketika $\alpha=\beta=\gamma$ atau ketika $\{\alpha, \beta, \gamma \}=\{0,1,2\}$. Dengan kata lain, ketika<i> semuanya sama</i> atau <i>semuanya berbeda. </i><br />
<i><br /></i>
Dari sini kita peroleh, tiga buah vektor di $\mathbb{F}_3^4$ :<br />
<br />
\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4) , \mathbf{b}=(b_1, b_2, b_3, b_4), \mathbf{c}=(c_1, c_2, c_3, c_4)\]<br />
<br />
membentuk SET jika dan hanya jika $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$. Hal ini juga berlaku secara general untuk $n\geq 4$, yakni pada vektor-vektor di $\mathbb{F}_3^n$, karena komponen mereka masih di $\mathbb{F}_3$. Yakni, apabila persamaan $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$ terpenuhi maka $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ adalah Cap Set.<br />
<br />
<br />
Persamaan $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$ dimana $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{F}_3^n$, misalkan $\mathbf{b}-\mathbf{a}= \mathbf{d}$. Maka $\mathbf{c}= -2\mathbf{x}-\mathbf{d} = \mathbf{x} + 2\mathbf{d}$ (karena field $\mathbb{F}_3$ mempunyai karakteristik 3).<br />
<br />
Ini berarti himpunan triple yang memenuhi SET membentuk barisan aritmatika $\{\mathbf{a}, \mathbf{a}+\mathbf{d}, \mathbf{a} + 2\mathbf{d}\}$.<br />
<br />
Jadi masalah :<br />
<blockquote class="tr_bq">
<span style="background-color: #fce5cd; color: #3d85c6;"><b><i><br /></i></b><b><i>Dari $3^n$ buah kartu, berapa banyakkah kartu terbanyak yang bisa kita paparkan di meja, sehingga tidak ada tiga buah yang membentuk SET?</i></b></span></blockquote>
<br />
Setara dengan masalah:<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b><i style="background-color: #fce5cd;"><span style="color: #6fa8dc;">Berapa subhimpunan terbesar dari $\mathbb{F}_3^n$ yang tidak memuat barisan aritmatika tiga suku?</span></i></b></blockquote>
<b><i><br /></i></b>
<br />
Masalah diatas disebut Cap Set problem.<br />
<b><br /></b>
<div>
Disini cukup natural bahwa jika kita ingin memperumum permasalahan ke lapangan $\mathbb{F}_q$, dimana ruang vektor yang dilihat adalah $\mathbb{F}_q^n$, namun perlu diperhatikan bahwa apabila kita bermain di lapangan dengan karakteristik bukan $3$, maka syarat <i>semua berbeda atau semua sama </i>belum tentu setara dengan syarat $\sum a_i = 0$. Sebagai contoh<br />
misalkan karakteristik $5$, maka persamaan $x_1+ x_2 + x_3+x_4+x_5= 0$ belum tentu menghasilkan solusi <i>semua sama atau semua beda, </i> contoh $(1,1,4,2,2)$ adalah solusi di lapangan $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.<br />
<br />
Pada lapangan dengan karakteristik yang lebih umum , yang dimaksud masalah CAP SET adalah masalah mencari himpunan terbesar yang tidak mempunyai tiga buah suku barisan aritmatika.<br />
Sedangkan masalah dimana semua koordinat berbeda atau semua koordinat sama itu disebut masalah sunflower. Disini kita akan berpindah ke masalah Cap Set saja.<br />
<br />
Pada post berikutnya, saya akan memberikan argument untuk mendapatkan batas atas dari Cap Set.</div>
<div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-581087957534597892016-05-30T08:34:00.001-07:002016-06-06T08:44:01.840-07:00Soal dari Monthly <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa minggu yang lalu, saya sempat pengen mengirim jawaban ke rubrik American Mathematical Monthly tapi pas saya cek deadline nya sudah lewat, jadi ya saya post disini saja.<br />
<br />
<br />
<b><br /></b>
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<span style="font-size: large;"><b>11876</b> Let $a$ and $b$ be the roots of $x^2+x+\frac{1}{2}=0$. Find</span><span style="font-size: large;">\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (a^n+b^n)}{n+2} \]</span><span style="font-size: large;"><br /></span></blockquote>
<br />
<br />
<b><br /></b>
<b>Solution</b><br />
<br />
Define the sequence $\{a_n\}_{n\geq 0}$ as<br />
\[a_n := (-1)^n (a^n+b^n) \]<br />
where $a$ and $b$ are the roots of $x^2+x+\frac{1}{2}=0$.<br />
<br />
Note that $\alpha:=-a$ and $\beta:=-b$ are the roots of quadratic equation $x^2-x+\frac{1}{2}=0$, and so $a_n$ can also be written as \[a_n= (-a)^n + (-b)^n = \alpha^n+\beta^n.\] We can directly check that $a_0=2$, and by Viete's Formula we have $a_1=\alpha+\beta=1$ and $a_2=\alpha^2 + \beta^2= (\alpha+\beta)^2-2\alpha \beta= 1-1=0$.<br />
<br />
<br />
Also by multiplying the equation with $\alpha^n$ we have $\alpha^{n+2} = \alpha^{n+1}-\frac{\alpha^n}{2}$, similarly $\beta^{n+2} = \beta^{n+1}-\frac{\beta^n}{2}$ and hence<br />
<br />
\begin{align*} \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} - \frac{\alpha^n + \beta^n}{2} \end{align*}<br />
Therefore we have the following recursive formula for the sequence $a_n = (-1)^n (a^n + b^n) = \alpha^n + \beta^n$<br />
\[ a_0= 2\quad a_1=1 \qquad a_{n+2} = a_{n+1} - \frac{a_n}{2} \quad n\geq 0 \]<br />
<br />
Since $a_2 = \alpha^2+\beta^2 = 0$, we have for $j \geq 0$ \[a_{4j+2} = (\alpha^2)^{2j+1} + (\beta^2)^{2j+1} = (\alpha^2+\beta^2)(\alpha^{2j-1} + \cdots + \alpha^{2j-1})=0\]<br />
Thus by the recursive formula<br />
\[a_{4j+3} = -\frac{a_{4j+1}}{2} \qquad \text{and}\qquad a_{4j+4} = a_{4j+3} \qquad \text{for $j\geq 0$} \]<br />
This gives us the formula of $a_{4k+1}$ which is<br />
\[ a_{4k+1} = a_{4k} - \frac{a_{4k-1}}{2} = \frac{a_{4k-1}}{2} = -\frac{a_{4(k-1)+1}}{4} = \frac{a_{4(k-2)+1}}{4^2}=\cdots = \frac{(-1)^{k}}{4^{k}} a_1 = \frac{(-1)^{k}}{4^{k}}\]<br />
From $a_{4k+2}=0$ and $a_{4k+2} = a_{4k+1} - \frac{a_{4k}}{2}$ we have \[ a_{4k} =2 a_{4k+1} =2\cdot \frac{(-1)^k}{4^k}\]<br />
And using $a_{4k+3} = -\frac{a_{4k+1}}{2}$ we have<br />
\[a_{4k+3} = \frac{(-1)^{k+1} }{2\cdot 4^k} = 2\cdot \frac{(-1)^{k+1}}{ 4^{k+1}} \]<br />
So the formula for $a_n$ is<br />
<br />
\[a_{4k} = 2\cdot \frac{(-1)^k}{4^k} \qquad a_{4k+1}=\frac{(-1)^{k}}{4^{k}} \qquad a_{4k+2}=0 \qquad a_{4k+3}=2\cdot \frac{(-1)^{k+1}}{ 4^{k+1}} \]<br />
For $|x| \leq 1$, we have for any $n \geq 1$<br />
\[ \left| a_n x^{n+1} \right| \leq |a_{n}| \]<br />
While<br />
\[\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{j=1}^{\infty} \left(\frac{2}{4^j} + \frac{1}{4^j} + \frac{2}{4^{j+1}} \right) = \frac{7}{6}\]<br />
<br />
<br />
Therefore by the Weierstrass M-Test, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n+1}$ converges uniformly on $[-1,1]$, let say it converges to a function $f(x)$. We have<br />
<br />
\begin{align*} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^{n+1} &= \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+2} x^{n+3} + a_2 x^3 + a_1 x^2 \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}x^{n+3} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2}x^{n+3} + a_2 x^3 + a_1 x^2 \\ &= xf(x) -\frac{x^2f(x)}{2} + x^2 \end{align*}<br />
<br />
Thus<br />
\[f(x)=\frac{2x^2}{x^2-2x+2} \]<br />
<br />
By uniform convergence we have<br />
<br />
\[\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty}a_n x^{n+1} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 a_n x^{n+1} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n+2} \]<br />
<br />
Therefore the sum equals to<br />
<br />
\[\int_0^1 \frac{2x^2}{(x^2-2x+2)}\, dx = \int_0^1 1 + \frac{4x-4}{x^2-2x+2} \, dx = 2x + 2\ln (x^2-2x+2) \bigg|_0^1 = 2-2\ln 2 \]</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-49369122476940060912016-05-23T00:17:00.002-07:002017-11-23T22:29:22.751-08:00Soal Partisi Bilangan Bulat.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa hari yang lalu, saya diberi soal berikut oleh Erlang Wiratama Surya :<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
Diberikan himpunan $X \subset \mathbb{Z}$ dan misalkan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ adalah bilangan bulat sedemikian sehingga<br />
\[\mathbb{Z} = \bigcup_{j=1}^n (X+a_j)\]<br />
dan $X+a_i \cap X+a_j = \emptyset$ untuk sebarang $i\neq j$. Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat tak-nol $p$ sedemikian sehingga $X+p=X$.(Disini definisi dari $X+d:= \{x+d | x \in X\}$ ).</blockquote>
<br />
Katanya soal ini ada di Sesi Mandiri Pembinaan IMO Tahap 4. <br />
<br />
Sebenarnya saya sudah pernah lihat soal ini sebelumnya (dan waktu itu saya tidak bisa menyelesaikannya). Tapi sudah lupa dimana.<br />
<br />
Sampai sekarang, saya masih penasaran tentang dimana saya melihat soal ini (saya memang sering berasa tidak lega dan agak <i>annoying </i>kalo ada sesuatu berasa di ujung lidah seperti ini :/ )<br />
<br />
Bahkan setelah beberapa hari, saya berhasil menyelesaikan soal ini, tapi masih belum tahu source nya (sampai bikin thread di <a href="http://math.stackexchange.com/questions/1796296/partition-of-mathbbz-into-finitely-many-translation">math.stackexcange</a> menanyakan sumber).<br />
<br />
Saya (secara dejavu) merasa ini bukan soal yang bersumber dari olimpiade, tapi dari matematika popular yang saya pernah baca di blog-blog post beken (Terence Tao, Timothy Gowers, dll)<br />
<br />
Anyway ini solusinya, lagi-lagi saya pakai sesuatu yang sering saya pakai beberapa bulan terakhir (lihat <a href="http://olimpiade.org/discussions/topic/1132-kto-pt-januari-soal-4/">soal kompetisi olimpiade.org no 4</a> buatan saya dan juga teknik yang sama di mini-artikel yang saya tulis <a href="https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fwww.dropbox.com%2Fs%2Fb6qvh766at8f7jj%2Fphp.pdf%3Fdl%3D0&h=YAQFTTqta">ini</a> ) yaitu kombinasi dari <b>Indicator Function + PigeonHole Principle.</b><br />
<b><br /></b>
<b>Solusi: </b><br />
Pertama-tama perhatikan bahwa apabila kita pilih bilangan asli $d$ sedemikian sehingga $a_i^{\prime}=a_i + d$ semua positif maka himpunan $X=X^{\prime} - d$ juga memenuhi<br />
<br />
\[\mathbb{Z} = \bigcup_{i=1}^n (X^{\prime} + a_i^{\prime})\]<br />
<br />
dan $X^{\prime} + a_i^{\prime} \cap X^{\prime} + a_j^{\prime} = \emptyset$. Lalu, apabila kita berhasil membuktikan $X^{\prime} + p^{\prime} = X^{\prime}$ maka diperoleh $X+p-d= X-d$, jadi $X+p=X$, dan soal terbukti. Ini berarti pengubahan $a_i \rightarrow a_i^{\prime}$ tidak mengubah maksud soal.<br />
<br />
Sehingga tanpa kehilangan keumuman soal bisa diasumsikan semua $a_i$ positif, dan tanpa kehilangan keumuman juga bisa diasumsikan $a_n > a_{n-1} > \cdots > a_1$.<br />
<br />
Sekarang kita definisikan fungsi indikator<br />
<br />
\[v_i = \begin{cases} 1 & \text{jika $i\in X$, } \\ 0 & \text{jika tidak} \end{cases} \]<br />
<br />
Idenya adalah dengan membuktikan bahwa fungsi indikator $v_i$ periodik, yakni $v_{i+p} =v_i$ untuk suatu $p$.<br />
<br />
Maka dari kondisi $X+a_1, X+a_2, \cdots, X+a_n$ adalah partisi dari $\mathbb{Z}$, diperoleh untuk setiap bilangan bulat $r$ berlaku<br />
<br />
\[v_{r-a_1} + v_{r-a_2} + \cdots + v_{r-a_n} = 1\]<br />
<br />
Sekarang misalkan $\lambda=a_n - a_1$. Persamaan diatas adalah relasi rekursif, jadi apabila kita mempunyai informasi nilai awal paling banyak $\lambda=a_n-a_1$ buah, maka solusi rekursif tersebut akan unik.<br />
<br />
Jadi apabila nilai dari<br />
<br />
\[v_{r+1}, v_{r+2}, \cdots, v_{r+\lambda}\]<br />
<br />
diketahui maka nilai $v_i$ akan bisa di-<i>generate </i> untuk setiap $i$. Karena $v_i$ hanya bisa nol atau satu, maka kemungkinan nilai awal diatas hanya ada $2^{\lambda}$. Jadi apabila kita bentuk block-block dengan panjang $\lambda$ :<br />
<br />
\[\cdots , \{ v_{-\lambda-1}, \cdots, v_{-1}, v_0\} , \{v_1, v_2, \cdots, v_{\lambda} \} , \{v_{\lambda+1}, v_{\lambda+1}, \cdots, v_{2 \lambda}\} , \cdots , \{v_{r+1}, v_{r+2}, \cdots , v_{r+\lambda}\}, \cdots \]<br />
<br />
maka berdasarkan prinsip PigeonHole terdapat $u_1$ dan $u_2$ sedemikian sehingga<br />
<br />
\[v_{u_1+i}=v_{u_2+i} \qquad i=1, \cdots, \lambda \]<br />
<br />
dan karena block $v_{u_1 + 1}, v_{u_1+2}, \cdots , v_{u_1 + \lambda}$ men-<i>generate </i>nilai $v_i$, maka $v_{u_2 + 1}, v_{u_1+2}, \cdots , v_{u_2 + \lambda}$ juga men-<i>generate </i>nilai $v_i$ yang sama, jadi nilai setelah $u_2$ mengulangi nilai setelah $u_1$, dan nilai sebelum $u_2+1$ mengulangi nilai sebelum $u_1+1$, sehingga $v_i$ periodic.<br />
<br />
Ini berarti terdapat $p \neq 0$ sedemikian sehingga $v_{i+p} = v_i$, untuk setiap $i$. Sehingga jika $h \in X$ jika dan hanya jika $v_{h} = 1 = v_{h+p}$ jika dan hanya jika $h+p \in X$. Terbukti.<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-81527705787597896272015-08-23T02:54:00.001-07:002016-12-29T00:24:44.951-08:00Dari kemacetan Jakarta ke Dirichlet Divisor Function <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Ini sebenarnya cuma follow up dari kejadian beberapa hari lalu ketika saya sedang terjebak kemacetan. Saya melihat beberapa mobil yang ada didepan saya , dan biasa nya saya suka melakukan arithmetic kepada angka plat dari mobil-mobil tersebut (kurang kerjaan sih emang, cm klo udah kena macet, main ginian pun jadi). <br />
<br />
Kemarin saya menemukan dua mobil didepan saya yang nomor plat-nya menarik. Saya lupa angka-angka persisnya, tapi untuk cerita ini sebut saja lah plat nya adalah B 1856 ESE dan B 9280 ATE. Ini menarik, setelah sekian lama saya melakukan kerjaan iseng ini, ini adalah pertama kali nya saya menemukan dua mobil didepan saya dimana angka plat nya 4 digit dan memenuhi $x \lvert y$, contoh disini $9280 = 5 \times 1856$.<br />
<br />
Dari sini saya berpikir, seberapa langka sih sebenarnya hal ini?<br />
<br />
Jadi apabila ada sepasang bilangan bulat $(a,b)$ diambil secara random, berapa sering kah mereka memenuhi $a \lvert b$ atau $b \lvert a$ ?<br />
<br />
Perhatikan bahwa saya menggunakan kata "seberapa sering", untuk hal ini saya akan menggunakan alat yang biasa dipakai di Teori Bilangan Analitik yaitu <a href="http://perhatikan%20bahwa%20%20saya%20menggunakan%20kata%20%22seberapa%20sering%22%20dan%20tidak%20menggunakan%20probabilitas./">Natural Density</a> (Sebenarnya ada bentuk Density yang lain seperti Logarithmic Density dan Analytic Density, tapi dikasus ini Natural Density -nya ternyata sudah ada, sehingga Logartihmic/Analytic Density nya juga ada dan sama.)<br />
<br />
Hal ini dengan melihat kembali suatu hasil dari Cesaro yang mengatakan bahwa apabila dua bilangan diambil secara random maka probabilitas bahwa mereka relatif prima adalah $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}$, disini sebenarnya yang digunakan bukanlah probability yang biasa kita kenal ( yang dengan Borel Algebra dll). Angka $\frac{1}{\zeta(2)}$ tersebut adalah natural density dari $\{(a,b) : gcd(a,b)=1\}$.<br />
<br />
Pada bukti dari hasil $\frac{1}{\zeta(2)}$ diatas, biasanya digunakan estimasi \[\sum_{n\leq x} \varphi(n) = \frac{3x^2}{\pi^2} + O(x \log x)\],<br />
ini disebut estimasi Mertens. <br />
<br />
Perhitungan natural density nomor plat membagi diatas dapat dikerjakan dengan cara serupa menggunakan Dirichlet Divisor Estimation<br />
<br />
\[\sum_{n \leq x} d(n) = x \log x + (2 \gamma -1 )x + \Delta(x)\]<br />
<br />
Dimana $\Delta(x)= O(\sqrt{x})$, sampai saat ini masih merupakan famous open problem tentang bilangan terkecil $\alpha$ sehingga $\Delta(x) = O(x^{\alpha+\epsilon})$ untuk setiap $\epsilon>0$.<br />
(Aproksimasi untuk $\Delta(x)$ merupakan sebuah topik riset, ini disebut<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_summatory_function"> Dirichlet Divisor Problem</a>).<br />
<br />
Tapi menurut saya itu agak overkill, jadi saya coba cara yang lebih elementer dibawah ini.<br />
<br />
Saya akan menghitung<br />
<br />
\[d(\mathcal{A}) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\# \{ (x,y) : 1\leq x, y \leq N, x| y \text{ atau } y| x \} }{\#\{(x,y) : 1\leq x, y \leq N \} } \]<br />
<br />
dimana $\mathcal{A} = \{(x,y) \in \mathbb{N}^2 : x| y \text{ atau } y|x \}$.<br />
<br />
Perhatikan juga bahwa Natural Density itu bukan Probability Measure, karena tidak memenuhi sifat countably additive ( $d\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} \mathcal{A}_i\right) \neq \sum_{i=1}^{\infty} d(\mathcal{A}_i) $ ) tapi memang dibangun untuk membuat make-sense beberapa prinsip probabilitas terhadap Arithmetic Function (dalam ranah ilmu Teori Bilangan). Kita sebut ekspresi pada limit diatas sebagai $p_N$, dan kita ingin mengetahui $\lim_{N \rightarrow \infty} p_N$.<br />
<br />
<br />
Untuk bilangan-bilangan kecil, sebenarnya cukup banyak, contoh pada interval $[1,5]$, yang mempunyai $25$ buah pasangan, terdapat pasangan $(1, j)$ dan $(j,1)$, dimana $j= 1, 2, 3, 4, 5$ yang totalnya adalah $10-1=9$ buah, lalu pasangan $(j,j)$ untuk $j=2,3,4,5$ ada $4$ pasangan, dan $(2,4)$ dan $(4,2)$ , jadi ada $9+4+2=15$ pasangan, dan rasio nya $p_5 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$. <br />
<br />
Kita akan representasikan $\{ (x,y) : 1\leq x, y \leq N, x| y \text{ atau } y| x \}$ sebagai titik lattice pada kuadran pertama.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2Xp-MtYKsYHYtyJJFEWA1Uz_321aUEEARgixEiPAD2tOsXp1Z4IAJGg3M64oAU-YB6B8ALkkOLsRyzhrRagw1bgu9ksigAcJtHkzMPty5c56OY_DhKPVo8e8Cr6S-sCkN1JV9qmfoZeLk/s1600/lat.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2Xp-MtYKsYHYtyJJFEWA1Uz_321aUEEARgixEiPAD2tOsXp1Z4IAJGg3M64oAU-YB6B8ALkkOLsRyzhrRagw1bgu9ksigAcJtHkzMPty5c56OY_DhKPVo8e8Cr6S-sCkN1JV9qmfoZeLk/s1600/lat.png" /></a></div>
</div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Terdapat tepat $N^2$ buah titik lattice pada kuadran pertama yang memenuhi $1 \leq x,y \leq N$. Kita sebut titik lattice $(a,b)$ dimana $1 \leq a,b \leq N$ yang memenuhi $a\lvert b$ dan $b \lvert a$ sebagai titik bagus, berdasarkan simetri, kita cukup mengitung banyak titik bagus yang berada dibawah garis $y=x$, kemudian mengkalikan hasilnya dengan $2$, dan menambahkan banyak titik bagus pada garis $y=x$ <br />
<br />
Banyak titik bagus yang berada pada garis $y=x$ adalah $N$.<br />
<br />
Kita akan menghitung banyak titik bagus pada tiap-tiap ruas garis yang berwarna biru diatas, ruas garis biru diatas adalah ruas garis $y=k$ iris $k < x \leq N$, dimana $k=1,2, \cdots, N-1$. Untuk sebarang $k$, banyak bilangan pada ruas garis biru yang merupakan kelipatan $k$ adalah $\left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor - 1$. Jadi total titik bagus adalah<br />
<br />
\[2 \sum_{k=1}^{N}\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor - 1\right) +N = \sum_{k=1}^{N}2\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor\right)- N \]<br />
<br />
Sebenarnya dari sini kita bisa menggunakan Teorema Dirichlet yang saya sebutkan diatas.<br />
<br />
<br />
Tapi mari kita gunakan cara yang lebih elementer (bukti Teorema Dirichlet diatas sebenarnya juga elementer dan menggunakan titik lattice).<br />
<br />
Perhatikan bahwa $x-\lfloor x \rfloor < 1$ sehingga $ x-\lfloor x \rfloor = O(1)$ ini berarti<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{N}2\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor\right)- N = \sum_{k=1}^{N}2\left( \frac{N}{k} - O(1) \right)- N =2N \left( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}\right) - O(N)-N = 2N \left(H_N\right) + O(N) \]<br />
<br />
dimana $H_N = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$. Untuk menggaproksimasi $H_n$, pandang fungsi $f(x) = \frac{1}{x}$ pada interval $[k, k+1]$ dimana $k \in [1, N]$, fungsi ini monoton turun sehingga<br />
<br />
\[ f(k+1) \leq f(x) \leq f(k) \Rightarrow \int_k^{k+1} f(k+1) \, dx \leq \int_k^{k+1} f(x) \, dx \leq \int_k^{k+1}f(k) \, dx \]<br />
<br />
Diperoleh<br />
<br />
\[f(k+1) \leq \int_k^{k+1}f(x) \, dx \leq f(k)\]<br />
<br />
Jumlahkan dari $k=1$ sampai $k=N-1$ diperoleh<br />
\[H_N -1 \leq \int_1^{N} \frac{1}{x} \, dx \leq H_{N-1} \Rightarrow \frac{1}{N} +\log N \leq H_N \leq 1+\log N \]<br />
<br />
Sehingga kita peroleh estimasi (tidak kuat tapi cukup) $H_N = O(\log N)$. Jadi<br />
<br />
\[ \lim_{N\rightarrow \infty} p_N = \lim_{N\rightarrow \infty} \frac{2NO(\log N) + O(N)}{N^2} = \lim_{N\rightarrow \infty} 2 O\left(\frac{\log N}{ N}\right) + O\left(\frac{1}{N}\right) =0 \]<br />
<br />
Jadi natural density $d(\mathcal{A})=0$, ini menjelaskan cerita awal saya, yaitu mengapa pasangan-pasangan yang demikian sangat jarang ditemukan pada bilangan-bilangan yang besar. Karena semakin besar bilangannya, pertumbuhan pasangan-pasangan tersebut kalah telak dengan pertumbuhan $N \times N$.<br />
<br />
Estimasi lengkap nya sebenarnya sebagai berikut, banyak pasangan $(a,b)$ dengan $1 \leq a,b \leq N$ dan $a | b$ atau $b|a$ adalah seperti yang telah dihitung diatas<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{N}2\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor\right)- N \]<br />
<br />
dapat dibuktikan $\sum_{k=1}^{N}\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor\right) = \sum_{k=1}^n d(k)$ dimana $d(n)$ adalah banyak divisor positif dari $n$. Lalu dengan estimasi Dirichlet kita peroleh<br />
<br />
\[\sum_{k=1}^{N}2\left( \left\lfloor \frac{N}{k} \right\rfloor\right)- N = 2 N \log N + (4\gamma - 2)N + \Delta(N)\]<br />
<br />
dimana $\gamma$ adalah Euler-Mascheroni Constant. Jadi apabila dibagi $N^2$ dan di limit diperoleh<br />
<br />
\[\lim_{N \rightarrow \infty} 2 \frac{\log N}{N} + \frac{4 \gamma -2}{N} + \frac{\Delta(N)}{N} = 0.\]<br />
<br />
<br />
No wonder, It is indeed rare :D<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-87414098034339210622015-08-21T04:13:00.001-07:002016-06-06T08:49:13.753-07:00Matriks tanpa kuli<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Melanjutkan <a href="http://oxolodonspace.blogspot.ro/2015/08/soal-ujian-dan-pr-matriks.html">post yang sebelum nya</a> , berikut akan dibahas solusi dari soal awal<br />
<br />
Kemarin memang saya salah mengetik soal (harusnya $AX-XA$ dan $AX+XA$), tapi tetap ada bukti bagus nya bahwa persamaan tidak ada solusi, saya akan post jawabannya disini<br />
<br />
(FYI no student solved this :( )<br />
<br />
Saya menggunakan soal ini dikelas untuk membuka diskusi mengenai:<br />
<br />
1. Review Sifat Diagonalizable, kasus khusus di Matriks Simetrik (Orthogonally Diagonalizable).<br />
2. Orthogonal Basis.<br />
3. Basis Eigenvector.<br />
4. Sifat-Sifat Trace dan hubungannya dengan nilai eigen.<br />
<br />
Saya pikir jika mereka mengerjakan soal ini dengan cara kuli, dan mengerti sebagaimana melelahkan cara tersebut. Mereka akan lebih mengapresiasi kegunaan teori-teori dalam mempermudah perhitungan :D .<br />
<br />
<br />
Soal<br />
<br />
<div>
<i>Misalkan $X= \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &1 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ -1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.</i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><br /></i></div>
<i>Tentukan semua matriks real simetrik $A$ yang berukuran $4 \times 4$ dan memenuhi:</i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><br /></i></div>
<br />
<i>\[ (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]</i><br />
<i><br /></i>
<i><br /></i>
<b>Solusi : </b><br />
<b><br /></b>
Perhatikan bahwa $X^T=-X$, yakni $X$ skew-simetrik. Misalkan $B=AX-XA$, maka berlaku<br />
<br />
\[B^T = (AX-XA)^T = (AX)^T - (XA)^T = X^T A^T - A^T X^T = -XA-(-AX) = AX-XA=B\]<br />
<br />
Jadi $B$ adalah matriks simetrik.<br />
<br />
Perhatikan juga bahwa vektor-vektor<br />
\[\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\]<br />
<br />
adalah eigenvector dari $B$ yang saling orthogonal ($\langle v_i, v_j \rangle =0$ untuk $i \neq j$), dengan nilai eigen secara berturut-turut $-5$, $1$ dan $2$ .<br />
<br />
Lalu karena $Trace(AX - XA) = 0$ dan $Trace$ adalah hasil penjumlahan dari nilai eigen, diperoleh $\lambda -5 + 1 + 2 = 0$, jadi nilai eigen yang satu lagi adalah $\lambda = 2$.<br />
<br />
Karena $B$ adalah matriks simetrik maka $B$ dapat didiagonalkan secara orthogonal. Dengan kata lain terdapat matriks orthogonal $P$ (yakni matriks yang memenuhi $P^T = P^{-1}$) sedemikian sehingga<br />
<br />
\[P^T B P = D= \begin{pmatrix} -5 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &2<br />
\end{pmatrix} \] <br />
<br />
Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks $P$ adalah eigenvector $B$ sesuai dengan urutan nilai eigen di diagonal, dan karena $P^T P = P^{-1} P = I$, maka kolom-kolom dari $P$ adalah eigenvektor yang <b>orthonormal</b> .<br />
<br />
Seperti yang telah disebutkan sebelum nya karena $B$ dapat didiagonalkan secara orthogonal, ini berarti eigenvector dari $B$ pasti membentuk basis orthonormal, yaitu vektor-vektor kolom dari matriks $P$. Kita akan menentukan vektor-vektor ini agar dapat membentuk matriks $P$.<br />
<br />
Pada soal sudah diberikan $3$ buah eigenvector yang orthogonal, yakni $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, dan $\mathbf{v}_3$.<br />
<br />
Kita cukup membagi vektor-vektor ini dengan panjang mereka masing-masing sehingga diperoleh vektor orthonormal:<br />
<br />
\[\mathbf{\tilde{v}}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{\tilde{v}}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{\tilde{v}}_3=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\]<br />
<br />
Satu vektor lagi yang orthogonal dengan $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ dan $\mathbf{v}_3$ adalah<br />
<br />
\[\mathbf{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\]<br />
<br />
vektor ini dapat diperoleh dengan mudah dari bentuk $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ dan $\mathbf{v}_3$ ( sebenarnya semua kelipatan dari $\mathbf{v}_4$ juga bisa). Sehingga bentuk normalize nya adalah<br />
<br />
\[\mathbf{\tilde{v}}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}\]<br />
<br />
Jadi kita telah memperoleh basis orthonormal eigenvector \[\{\mathbf{\tilde{v}}_1, \mathbf{\tilde{v}}_2, \mathbf{\tilde{v}}_3, \mathbf{\tilde{v}}_4 \}.\]<br />
<br />
Basis orthonormal eigenvector diatas tidaklah unik, karena apabila salah satu $\mathbf{\tilde{v}}_i$ diganti dengan $-\mathbf{\tilde{v}}_i$ kita juga memperoleh basis orthonormal lain. Tapi setiap basis orthonormal eigenvector pasti akan mendiagonalkan $B$, dan karena bentuk diagonal dari $B$ itu unik terhadap urutan nilai eigen di diagonal, maka setiap basis akan memperoleh matriks diagonal yang sama, tergantung urutan meletakkan eigenvektor pada kolom $P$. Disini kita akan meletakan $\mathbf{\tilde{v}}_i$ pada kolom ke-$i$ jadi diperoleh matriks<br />
<br />
\[P= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}\] <br />
<br />
Dimana sifat orthonormal menyebabkan $P^{-1} = P^T$. Jadi $P^T B P = D$ mengakibatkan<br />
<br />
\[AX-XA=B = PDP^T = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -2 \\\frac{3}{2} & 0 & -2 & \frac{3}{2} \\\frac{3}{2} & -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ -2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]<br />
(Perhitungan $PD$ diatas tidak rumit karena $D$ memuat banyak $0$, dan pada perhitungan $(PD)P^T$ kita cukup menghitung entri dibawah diagonal dan di diagonal karena $B$ simetrik.)<br />
<br />
Dengan operasi baris elementer bisa diperoleh bahwa inverse dari $X$ adalah<br />
<br />
\[X^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 & -1 \\1 & 0 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & -1 \\1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]<br />
<br />
sehingga <br />
<br />
\[AX-XA = B \Rightarrow X^{-1}A - AX^{-1} = X^{-1}BX^{-1}=\begin{pmatrix}-4 & -\frac{3}{2} & \frac{11}{2} & -6 \\-\frac{3}{2} & 10 & -12 & \frac{11}{2} \\\frac{11}{2} & -12 & 10 & -\frac{3}{2} \\-6 & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} & -4\end{pmatrix}\]<br />
<br />
Tapi ini tidak mungkin karena $Trace(X^{-1}A - A X^{-1}) = 0$ sedangkan $Trace$ dari matriks di sisi kanan sama dengan $12$. Kontradiksi ini membuktikan bahwa tidak ada $A$ yang memenuhi kondisi soal.<br />
<br />
Untuk soal yang menggunakan kondisi singular, cara nya serupa, kondisi $det(A) = 0$ hanya digunakan untuk menentukan bahwa ada nilai eigen yang nol.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div>
<i><br /></i></div>
</div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-79272967633320531452015-08-20T00:56:00.000-07:002016-06-06T08:44:16.129-07:00Soal ujian dan PR matriks.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Beberapa hari yang lalu, saya membuat soal ujian tentang matriks. Tujuan nya adalah memberikan "beberapa materi" yang terangkum pada satu soal.<br />
<br />
Tapi ujung-ujung nya, karena sepertinya soalnya kesusahan, saya melakukan beberapa modifikasi agar soalnya bisa dikerjakan secara "manusiawi" dengan cara "kuli" , yang saya sebut soal iseng.<br />
<br />
Berikut soal awal nya :<br />
<br />
<b>Soal 1</b><br />
<br />
<i><span style="font-family: inherit;">Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.</span></i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
<i><span style="font-family: inherit;">Tentukan semua matriks real simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:</span></i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
<br />
<i><span style="font-family: inherit;">\[ (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]</span></i><br />
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i>
<span style="font-family: inherit;"><b>Soal 1 (Iseng version)</b></span><br />
<i><span style="font-family: inherit;"><b><br /></b></span></i>
<i>Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.</i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><br /></i></div>
<i>Tentukan semua matriks real simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:</i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><br /></i></div>
<br />
<i>\[ (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]</i><br />
<i><br /></i>
<i><br /></i><b>Edited: kedua soal tidak mempunyai solusi (buktinya akan ditulis nanti)</b><br />
<b><br /></b>
Tujuan saya mengubah soalnya menjadi bentuk iseng adalah agar mahasiwa tidak melakukan banyak perhitungan apabila mereka ingin menggunakan cara-cara kuli seperti sebagai berikut:<br />
<br />
Yaitu menyatakan $B=AX+XA$ dan kemudian menyatakan<br />
<br />
\[B = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ &a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ &a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ &a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix} \]<br />
Tapi ini berarti akan diperoleh persamaan linear 16 variabel dengan 12 buah persamaan (13 buah jika berhasil mengobservasi bahwa $trace(B)=0$). Lebih lagi setelah matriks $B$ ditemukan, untuk menemukan $A$, masih ada beberapa persamaan yang akan diselesaikan dari $AX+XA=B$ (Tentu saja cara ini tidak praktis).<br />
<br />
Beberapa dari nya melakukan menganalisa lebih lanjut sebagai berikut:<br />
Perhatikan bahwa $X$ adalah matriks skew-simetrik yaitu memenuhi $X^T = -X$. Jadi jika $A$ adalah matriks simetrik (i.e $A^T = A$) maka<br />
\[(AX+XA)^T = (AX)^T +(XA)^T = X^T A^T +A^TX^T = -XA + (-AX) = - (AX+XA) \]<br />
diperoleh $AX+XA$ adalah matriks skew-simetrik. Sehingga semua entri pada diagonal utama matriks $B$ adalah nol. Sehingga diperoleh<br />
<br />
\[B = \begin{pmatrix} &0 &x &y &z \\ &-x &0 &p &q \\ &-y &-p &0 &r \\ &-z &-q &-r &0 \end{pmatrix}\]<br />
<br />
Dengan begini, soal tereduksi menjadi $12$ persamaan dengan $6$ variabel. (Ya, ada mahasiswa yang menyelesaikan versi iseng dengan cara ini.)<br />
<br />
Seperti yang saya bilang sebelumnya, soal versi iseng sebenarnya mereduksi banyak perhitungan, dan tidak perlu sampai $12$ persamaan. Cukup dilihat hasil persamaan dari baris pertama kita peroleh sistem persamaan<br />
\[-x-y+z=-1 \qquad x+y+z=1 \qquad -z=2\]<br />
yang berakibat persamaan tidak konsisten $x+y=3$ dan $x+y=-1$. Jadi tidak ada matriks $B$ yang memenuhi dan tidak matriks $A$ yang memenuhi.<br />
(Iseng-nya sebenarnya pengen lihat apakah ada mahasiswa yang beneran mengerjakan semua 12 persamaan dan kemudian ujung-ujungnya mendapatkan bahwa jawabannya ternyata tidak ada :D )<br />
<br />
<br />
Kembali lagi ke soal awal, tidak bisa dibuat kontradiksi seperti diatas, dan apabila ada yang mengerjakan sistem persamaan $6$ variabel $12$ persamaan, maka solusi nya unik dan diperoleh bentuk $B$ yang komponen nya pecahan-pecahan (dengan diagonal entri nya semua nol), selanjutnya menyelesaikan persamaan $AX+XA=B$.<br />
<br />
Solusi-nya akan saya post nanti (Besok adalah deadline untuk soal awal diatas, semoga dikerjain) bersamaan dengan soal versi lebih kejam (mirip soal yang diberi teman saya, dia kasi yang $3 \times 3$, yang ini $4 \times 4$) :<br />
<br />
<i>Tentukan semua matriks real singular simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:</i><br />
<div style="min-height: 16px;">
<i><br /></i></div>
<br />
<i>\[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]</i><br />
<i><br /></i>
mengapa ini lebih kejam? karena tidak seperti soal awal dan soal iseng, yang semua kondisi nya adalah persamaan linear. Soal ini punya kondisi $det(A) =0$, yang melibatkan penjumlahan dari perkalian plus-minus. Still, ada cara bagus nya sebenarnya.<br />
<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-39618873352490975542015-07-22T23:04:00.000-07:002016-06-07T02:56:09.058-07:00Soal IMO 2015 Nomor 6<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b>IMO 2015, Soal 6</b><br />
<b><br /></b>
Diberikan barisan bilangan bulat $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ yang memenuhi<br />
i) $1 \leq a_j \leq s$ untuk setiap $j \geq 1$<br />
ii) $k+a_k \neq l+a_l$ untuk setiap $1 \leq k < l$.<br />
<br />
Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat $N$ dan $b$ sedemikian sehingga<br />
<br />
\[ \left| \sum_{i=m+1}^{n} (a_i-b) \right| \leq \left(\frac{s-1}{2}\right)\]<br />
untuk setiap $n> m \geq N$<br />
<br />
<b>Solusi:</b><br />
<b><br /></b>
Definisikan $b_i:= a_i + i$. Berdasarkan sifat ii) $b_i$ adalah bilangan bulat yang berbeda satu sama lain dan dari sifat i) berlaku \[i+1 \leq b_i \leq s+i.\]<br />
<br />
<b><br /></b>
Pertama-tama kita buktikan dulu lemma berikut.<br />
<br />
<b>Lemma 1</b><br />
Terdapat himpunan $\mathcal{B} \subset \mathbb{N}$ yang memenuhi $|\mathcal{B}|=b \leq s$ sedemikian sehingga jika $x \in \mathbb{N}$ dan $x \neq b_j$ untuk setiap $j$ maka $x \in \mathcal{B}$. Dengan kata lain, hanya ada berhingga banyaknya bilangan yang tidak berada pada himpunan $R=\{b_1, b_2, b_3, \cdots, \}$.<br />
<br />
<br />
<i>Bukti Lemma:</i><br />
Misalkan tidak demikian, maka ini berarti $R=\{b_1, b_2, b_3, \cdots, \}=\mathbb{N}$ atau himpunan $\mathcal{B}$ yang demikian mempunyai banyak anggota lebih dari $s$ (bisa saja punya tak berhingga anggota). Kemungkinan pertama $R=\mathbb{N}$ tidak mungkin karena $1< 1+i \leq a_i + i =b_i$.<br />
<br />
Kemudian misalkan kemungkinan kedua terjadi yaitu $\mathcal{B}$ mempunyai lebih dari $s$ anggota, ini berarti terdapat lebih dari $s$ buah bilangan yang tidak berada di $R$. Misalkan $1=r_1 < r_2 < \cdots < r_{s+1}$ adalah $s+1$ buah bilangan pertama yang tidak berada di $R$. Perhatikan bahwa<br />
<br />
\[\begin{align*} 2 & \leq b_1 \leq s+1 \\ <br />
3 &\leq b_2 \leq s+2 \\ <br />
\, &\, \cdots \, \, \\<br />
r_{s+1} +1 &\leq b_{r_{s+1}} \leq s+r_{s+1}\end{align*} \]<br />
<br />
Ini berarti $b_1, b_2, \cdots, b_{r_{s+1}}$ adalah $r_{s+1}$ buah bilangan berbeda yang berada pada interval $[2,s+r_{s+1}]$, sehingga terdapat $s+r_{s+1}-1 - (r_{s+1})=s-1$ buah bilangan lain yang berada pada interval tersebut, $s-1$ buah bilangan yang tersisa ini bisa mungkin anggota $R$ bisa juga tidak, ini berarti pada interval $[2,s+r_{s+1}]$ terdapat paling banyak $s-1$ buah bilangan yang bukan anggota $R$, akan tetapi $r_2, r_3 , \cdots, r_{s+1}$ semuanya juga berada di interval $[2, s+r_{s+1}]$ dan merupakan $s$ buah bilangan yang juga bukan anggota $R$, kontradiksi. Lemma terbukti.<br />
<br />
<br />
<br />
Sekarang kita akan mengestimasi nilai dari jumlah parsial<br />
<br />
\[\sum_{j=m+1}^n b_j\]<br />
<br />
untuk $m$ cukup besar.<br />
<br />
Kita notasikan sebagai $\mathcal{N}_j = \{1,2, \cdots, j\}$ . Jelas bahwa $\mathcal{N}_i \subset \mathcal{N}_j$ untuk setiap $i < j$.<br />
<br />
Berdasarkan Lemma 1, himpunan $\mathcal{B}$ adalah himpunan yang berhingga, yang mempunyai $b$ buah anggota dimana $b \leq s$. Jadi di himpunan $\mathcal{B}$ terdapat anggota yang paling besar di himpunan tersebut, sebutlah $N$. Dengan demikian, untuk setiap $x \in \mathcal{B}$ selalu berlaku $x \leq N$, sehingga $x \in \mathcal{N}_N$, diperoleh $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{N}_N$.<br />
<br />
Diperoleh, untuk setiap $n > m \geq N$ maka berlaku \[\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}_N \subseteq \mathcal{N}_m \subset \mathcal{N}_n\]<br />
<br />
<br />
<b>Lemma 2</b><br />
<b><br /></b>
Untuk sebarang $v>N$ berlaku<br />
\[\mathcal{N}_{v+1} \setminus \mathcal{B} \subseteq \{b_1, b_2 , \cdots, b_v\}\subseteq \mathcal{N}_{v+s} \setminus \mathcal{B}.\]<br />
<i><br /></i>
<i>Bukti Lemma: </i><br />
Misalkan terdapat $x \in \mathcal{N}_{v+1} \setminus \mathcal{B}$ dan $x \neq b_j$ untuk $1 \leq j \leq v$. Karena $x \not \in \mathcal{B}$, maka $x=b_k$ untuk suatu $k$ dan karena $x \neq b_j$ untuk $1\leq j \leq v$ maka haruslah $k>v$, kita simpulkan $x=b_{k}$ dimana $k \geq v+1$. Lalu karena $x \in \mathcal{N}_{v+1}$ diperoleh $x \leq v+1$, jadi<br />
\[v+1 \geq x=b_k \geq k+1 \geq v+2 \]<br />
kontradiksi, jadi terbukti $\mathcal{N}_{v+1} \setminus \mathcal{B} \subseteq \{b_1, b_2 , \cdots, b_v\}$.<br />
Sekarang ambil sebarang $x \in \{b_1, b_2 , \cdots, b_v\}$, maka $x \not \in \mathcal{B}$, dan $x=b_k$ untuk suatu $k \leq v$, diperoleh $x=b_k \leq k+s \leq v+s$, jadi $x \in \mathcal{N}_{v+s}$, bersama dengan $x \not \in \mathcal{B}$ dapat disimpulkan bahwa $x \in \mathcal{N}_{v+s}\setminus \mathcal{B}.$ Lemma terbukti.<br />
<br />
<br />
<b>Lemma 3</b><br />
Untuk $m>N$ , terdapat tepat $b-1$ buah bilangan di $\{m+2, m+3, \cdots, m+s\}$ yang merupakan anggota dari $\{b_1, b_2, \cdots, b_m\}$<br />
<br />
<i>Bukti Lemma :</i><br />
Dari Lemma 2, karena $m>N$ berlaku $\mathcal{N}_{m+1} \setminus \mathcal{B} \subseteq \{b_1, b_2 , \cdots, b_m\}$, dan karena $|\mathcal{N}_{m+1} \setminus \mathcal{B}| = m+1-b$ dan $|\{b_1, b_2 , \cdots, b_m\}| = m$ maka terdapat tepat $m-(m+1-b)=b-1$ buah suku dari himpunan $\{b_1, b_2 , \cdots, b_m\}$ yang berada pada himpunan $\{m+2, m+3, \cdots, m+s\}$. <br />
<i><br /></i>
<br />
<div>
Kita akan menghitung nilai minimum dari $\sum_{j=m+1}^n b_j$. Jumlahan ini dapat ditulis<br />
<br />
\[\sum_{j=1}^{n} b_j - \sum_{j=1}^{m} b_j\]<br />
<br />
agar minimum, maka $\sum_{j=1}^{m} b_j$ harus sebesar-besarnya, dan dar Lemma terdapat $b-1$ buah suku pada $\{b_1, b_2, \cdots, b_{m}\}$ yang berada di $\{m+2, m+3, \cdots, m+s\}$, jadi agar sebesar-besarnya, $b-1$ buah suku ini adalah $m+s , m+s-1, \cdots , m+s-b+2$.<br />
<br />
Kemudian suku-suku pada $\{b_{m+1}, b_{m+2}, \cdots, b_n\}$ harus sekecil-kecilnya, dan karena untuk $j \geq m+1$ berlaku $b_{j} \geq j+1 \geq m+2$, maka yang terkecil adalah mulai dari $m+2, m+3, \cdots$ dan seterusnya, tapi perhatikan dari paragraf sebelumnya bahwa nilai $m+s-b+2, m+s-b+3, \cdots, m+s$ sudah terpakai untuk pada suku-suku di $\{b_1, b_2, \cdots, b_{m+1}\}$ (dan harus terpakai). Ini berarti pada himpunan $\{m+1, m+2, \cdots, m+s\}$ kita hanya boleh menggunakan<br />
<br />
\[\{m+2 , m+2 , \cdots, m+s-b+1 \}\]<br />
<br />
karena $\sum_{j=m+1}^n b_j$ memuat $n-m$ suku, dan kita baru memakai $|\{m+2 , m+2 , \cdots, m+s-b+1 \}| = s-b$ suku, maka masih harus ada $n-m-s-b$ buah suku lain, dan kemungkinan terkecil nya adalah setelah melangkahi $\{m+s-b+2, \cdots, m+s\}$ (karena sudah terpakai) yaitu<br />
<br />
\[\{m+s+1, m+s+2, \cdots , n+b \}\]</div>
<br />
Sehingga diperoleh<br />
\[\begin{align*}\sum_{j=m+1}^{n} b_j &\geq \sum_{j=m+2}^{m+s-b+1} j + \sum_{j=m+s+1}^{n+b} j \\ &= \left( \frac{2m+s-b+3}{2} \right)(s-b) + \left(\frac{n+m+s+b+1}{2}\right) \left(n+b-m-s\right) \\ &= \left(\frac{s-b}{2}\right) (m-2b-n+2) +(n-m)\left( \frac{n+m+s++b+1}{2}\right) \\ &= (n-m) \left(\frac{n+m+2b+1}{2}\right) -(b-1)(s-b) \end{align*}\]<br />
<br />
Jadi<br />
\[\begin{align*}\sum_{j=m+1}^n (a_j - b) &= \sum_{j=m+1}^n (b_j-j-b) \\ &= \sum_{j=m+1}^n b_j -\sum_{j=m+1}^n j - (n-m)b \\ &\geq (n-m) \left(\frac{n+m+2b+1}{2}\right) -(b-1)(s-b) - \sum_{j=m+1}^n j - (n-m) b \\ &= -(b-1)(s-b)\end{align*}\]<br />
<br />
Diperoleh<br />
\[\sum_{j=m+1}^n (a_j - b) \geq -(b-1)(s-b) \qquad (1)\]<br />
<br />
Sekarang akan di estimasi nilai maksimum dari $\sum_{j=m+1}^n b_j$. Berdasarkan Lemma 3, karena $n > N$, maka terdapat tepat $b-1$ buah anggota $\{n+2, n+3, \cdots, n+s\}$ yang juga anggota $\{b_1, b_2, \cdots, b_n\}$. Jadi agar maksimum, $b-1$ buah anggota-anggota ini haruslah yang sebesar-besarnya yaitu $n+s-b + 2, n+s-b+3, \cdots, n+s$.<br />
<br />
Karena $\sum_{j=m+1}^n b_j$ mempunyai $n-m$ suku, maka yang perlu dibatasi masih $n-m-b+1$ buah suku lagi dan mereka harus berasal dari himpunan $\{1,2 ,\cdots, n+1\}$ (jika tidak demikian maka $\{n+2, \cdots, n+s\}$ memuat lebih dari $b-1$ buah suku), dan agar maksimum dipilih $n-m-b+1$ buah anggota terbesar di $\{1,2, \cdots, n+1\}$ yaitu $n+1, n, \cdots, m + b +1$.<br />
<br />
Diperoleh<br />
\[\begin{align*}\sum_{j=m+1}^n b_j &\leq \sum_{j=n+s-b+2}^{n+s} j + \sum_{j=m+b+1}^{n+1} j \\ &= \left(\frac{2n+2s-b+2}{2} \right)\left(b-1\right) + \left(\frac{n+m+b+2}{2}\right) \left(n-m-b+1\right) \\ &= \left(\frac{n-m+2s-2b}{2} \right)(b-1)+ \left(\frac{n+m+b+2}{2}\right) \left(n-m\right) \\ &=(b-1)(s-b) + (n-m) \left(\frac{n+m+2b+1}{2}\right)<br />
\end{align*}\]<br />
<br />
Sehingga<br />
\[\begin{align*}\sum_{j=m+1}^n (a_j - b) &= \sum_{j=m+1}^n (b_j-j-b) \\ &= \sum_{j=m+1}^n b_j -\sum_{j=m+1}^n j - (n-m)b \\ &\leq (n-m) \left(\frac{n+m+2b+1}{2}\right) +(b-1)(s-b) - \sum_{j=m+1}^n j - (n-m) b \\ &= (b-1)(s-b)\end{align*}\]<br />
<br />
Digabungkan dengan ketaksamaan (1) diperoleh<br />
<br />
\[-(b-1)(s-b) \leq \sum_{j=m+1}^n (a_j - b) \leq (b-1)(s-b) \Rightarrow \left| \sum_{j=m+1}^n (a_j - b) \right| \leq (b-1)(s-b) \]<br />
<br />
Dengan menggunakan AM-GM diperoleh $(b-1)(s-b) \leq \left(\frac{b-1+s-b}{2}\right)^2 = \left(\frac{s-1}{2}\right)^2$. Sehingga<br />
<br />
\[\left| \sum_{j=m+1}^n (a_j - b) \right| \leq \left(\frac{s-1}{2}\right)^2. \]<br />
<br />
Q.E.D<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2968676792165871085.post-27654782412020401242014-04-14T12:30:00.000-07:002016-06-06T09:06:09.829-07:00Exercise on Maximal Group<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Well, this one is actually an old random stuff I did when I was undergraduate, I found it on my old harddrive and would like to test what happen if I post it. This is actually an exercise in Martin Isaac Book, and I always forget how to do this problem properly (I mean really solve it concretely). In fact, I post it here again because I always forget how to solve it. This is a really detailed proof.<br />
<br />
<i><b><br /></b></i>
<i><b>Without using Cauchy Theorem or Sylow Theorem prove that If $G$ is a finite group with unique maximal subgroup then $|G|=p^{\alpha}$, for some prime $p$.</b></i><br />
<br />
We begin with some lemmas, and all the following lemmas assume that $G$ is finite.<br />
<br />
<b>Lemma 1</b><br />
Let $A$ be a nonempty subset of $G$ such that $\langle A \rangle \neq G$ and for any $x\in G \backslash A$ we have $\langle A \cup \{x\} \rangle=G$ then $\langle A \rangle$ is a maximal subgroup.<br />
<br />
<i>Proof:</i><br />
Let $H$ be a subgroup of $G$ such that $\langle A \rangle \subseteq H \subseteq G$, suppose for contrary that $H \neq \langle A \rangle $ and $H \neq G$, since $\langle A\rangle \neq G$ there exists $x \in H$ with $x \not \in \langle A \rangle $, therefore $x\not \in A$ thus $A \cup \{x\} \subseteq \langle A \rangle \cup \{x\} \subseteq H$ and hence $\langle A \cup \{x\} \rangle \subseteq H$, but by the hypothesis this means $G \subseteq H$, and we have $H=G$, a contradiction. Therefore either $H=\langle A \rangle$ or $H=G$, which implies $\langle A \rangle$ is maximal subgroup.<br />
<br />
<br />
<b>Lemma 2</b><br />
Let $A$ and $B$ are subgroup of $G$. If $G = A \cup B$ then $A=G$ or $B=G$.<br />
<br />
<i>Proof:</i><br />
Let $|G|=n$, $|A|=d_1$, $|B|=d_2$, and $|A\cap B| = d_3$. First we assume that $d_1 \geq d_2$, by Langrange theorem we have $d_1 \lvert n$ and $d_2 \lvert n$, also since $e \in A\cap B$ we have $d_3 \geq 1$. Observe that<br />
\[n=|G|=|A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \leq d_1+d_1 -1 = 2d_1-1.\]<br />
If $d_1= n$, then $|A|=|G|$, but since $A \subseteq G$, we have $A=G$, the assertion is proved. Now for $d_1 < n$ since by Langrange $d_1 | n$, we have $n=k d_1$ for a positive integer $k$, but $n \leq 2d_1-1$, thus $k \leq 2- \frac{1}{d_1}$, and we have $k \leq 1$, this leads to $n=d_1$ again. Similarly If we instead assume $d_2 \geq d_1$ then $B=G$.<br />
<br />
<br />
<b>Lemma 3</b><br />
If $G$ has a unique maximal subgroup then $G$ is a cyclic group.<br />
<br />
<i>Proof:</i><br />
Let $M$ be the unique maximal subgroup of $G$, let $C(M)=\langle G\backslash M \rangle$, then we have $G = M \cup C(M)$ thus by Lemma 2 we have $M=G$ or $C(M)=G$, but $M\neq G$ therefore we must have $C(M)=G$.<br />
<br />
<br />
Define<br />
\[\begin{eqnarray*}&\mathcal{T}_i := \{A \, \lvert A \subseteq G\backslash M \mbox{ and } \lvert A \rvert=i \mbox{ and } i \geq 1 \} \\ &\mathfrak{L} := \{i \, \lvert \, \langle A \rangle = G \mbox{ for all } A \in \mathcal{T}_i\}<br />
\end{eqnarray*}\]<br />
<br />
Let $\lvert G \backslash M \rvert = \lambda$, we have \[\mathcal{T}_{\lambda} = \{A \, \lvert A \subseteq G \backslash M \mbox{ and } |A|=\lambda=\lvert G \backslash M \rvert\}=\{ G \backslash M\}\]<br />
<br />
<br />
Since $\langle G \backslash M \rangle = G$, this means that for every $A \in \mathcal{T}_{\lambda}=\{G \backslash M\}$ we have $\langle A \rangle= \langle G \backslash M \rangle =G$, therefore $\lambda \in \mathfrak{L}$, in particular $\mathfrak{L} \neq \emptyset$.<br />
<br />
<br />
Since $\mathfrak{L}$ is nonempty, by the Well-Ordering Principle there exists a smallest elemet $t \in \mathfrak{L}$. If $t=1$, since $1=t \in \mathfrak{L}$, for every $A \in \mathcal{T}_1$ we have $\langle A \rangle =G$ , in particular if we take $A=\{g\}$ where $g\in G\backslash M$, we see that $A \subset G\backslash M$ and $\lvert A \rvert = 1=t$. This means $A\in \mathcal{T}_1$, so that $\langle g\rangle = \langle A \rangle =G$, thus $G$ is cyclic, and the lemma is proved whenever $t=1$.<br />
<br />
<br />
Next we will prove that $t > 1$ would eventually end with a contradiction. If $t>1$, then $t-1$ is the largest positive integers which fails to be included on $\mathfrak{L}$, equivalently there exists $S \in \mathcal{T}_{t-1}$ with $\langle S \rangle \neq G$, notice that $|S|=t-1 >0$ thus $S\neq \emptyset$. Define <br />
\[\begin{eqnarray*}&\mathcal{U}_i := \{ B \, \lvert B \subseteq M \mbox{ and } |B|=i \mbox{ and } i \geq 1 \} \\ &\mathfrak{P} := \{i \, \lvert \, \langle S \cup B \rangle = G \mbox{ for all } B \in \mathcal{U}_i\}<br />
\end{eqnarray*}\]<br />
<br />
Observe that $M \subset S \cup M \subseteq \langle S \cup M \rangle \subset G$, since $M$ is maximal we have either $M=\langle S \cup M \rangle$ or $\langle S \cup M \rangle = G$, but $M=\langle S \cup M \rangle$ would implies $S \subset \langle S \cup M \rangle = M$ this is impossible since $S\in \mathcal{T}_1$ which means $S \subset G \backslash M$, thus the only possibility is $\langle S \cup M \rangle=G$. Let $\lvert M \rvert=\mu$, we have<br />
\[\mathcal{U}_{\mu} = \{B \, \lvert B \subseteq M \mbox{ and } \lvert B \rvert = \mu = \lvert M \rvert\} = \{ M\}\]<br />
<br />
<br />
Since $\langle S \cup M \rangle=G$, this means that for every $ B \in \mathcal{U}_{\mu}=\{M\}$ we have $\langle S \cup B \rangle= \langle S \cup M \rangle =G$, therefore $\mu \in \mathfrak{P}$, in particular $\mathfrak{P} \neq \emptyset$. Since $\mathfrak{P}$ is nonempty, by Well-Ordering Principle there exists a smallest element $l \in \mathfrak{P}$.<br />
<br />
<br />
Before we proceed, we will recall what we have so far :<br />
\[S \subset G \backslash M \qquad S \in \mathcal{T}_{t-1} \qquad \langle S \rangle \neq G\]<br />
Also $t\in \mathfrak{L}$ and satisfies<br />
\[\text{for all $A \in \mathcal{T}_t$ we have $\langle A \rangle = G$}\]<br />
and $l\in \mathfrak{P}$ and satisfies<br />
\[\text{for all $B \in \mathcal{U}_l$ we have $\langle S \cup B \rangle = G$}\]<br />
<br />
<br />
Now we continue the proof, if $l=1$, since $1=l \in \mathfrak{P}$ we have $\langle S \cup B \rangle =G$ for every $ B \in \mathcal{U}_1$, we will prove that this would implies $\langle S \rangle $ is maximal subgroup. Indeed, take any $x\in G \backslash S$, which implies $x\not \in S$, we divide into two cases:<br />
<br />
i) If $x\in M$ then $\{x\} \subset M$, thus $ \{x\} \in \mathcal{U}_1$ and hence $\langle S \cup \{x\}\rangle =G$.<br />
<br />
ii) If $x \not \in M$ then $\{x\}\subset G \backslash M$, thus $S \cup \{x\} \subset G \backslash M$, also since $x\not \in S$ we have $S \cap \{x\} = \emptyset$, together with $S \in \mathcal{T}_{t-1}$ we have $\lvert S \cup \{x\}\rvert = \lvert S \rvert + 1 = t-1+1=t$, therefore $S \cup \{x\} \in \mathcal{T}_t$. Since $t\in \mathfrak{L}$ every $A \in \mathcal{T}_t$ satisfies $\langle A \rangle =G$ thus in particular $S \cup \{x\} \in \mathcal{T}_t$ implies $\langle S \cup \{x\} \rangle = G$.<br />
<br />
<br />
In summary for every $x\in G \backslash S$, we have $\langle S \cup \{x\} \rangle = G$, by Lemma 1 this means $\langle S\rangle $ is maximal subgroup, and since $M$ is the only maximal subgroup we have $\langle S\rangle=M$, but then $S \subset M $ also we have $S\subset G \backslash M$, thus $S=\emptyset$, contradiction,<br />
, hence $l \neq1$.<br />
<br />
<br />
If $l>1$, then $l-1$ is the largest positive integers which fails to be included on $\mathfrak{P}$, equivalently there exists $V \in \mathcal{U}_{l-1}$ with $\langle S \cup V \rangle \neq G$. We will prove that $\langle S \cup V \rangle$ is maximal subgroup. Indeed, take any $x \in G \backslash \left(S \cup V\right) = G\backslash S \cap G \backslash V$, which implies $x\not \in S$ and $s \not \in V$<br />
we divide into two cases:<br />
<br />
i) If $x\in M$, note that $V \in \mathcal{U}_{l-1}$ means that $V \subset M$ and $\lvert V \rvert = l-1$, therefore $V \cup \{x\} \subset M$. And since $x \not \in V$ we have $V \cap \{x\}=\emptyset$, thus $\lvert V \cup \{x\}\rvert = \lvert V \rvert + 1 = l-1+1=l$, therefore $V \cup \{x\} \in \mathcal{U}_{l}$, since $l \in \mathfrak{P}$ we have $\langle S \cup V \cup \{x\}\rangle= G$.<br />
<br />
ii) If $x\not \in M$ then $x \in G \backslash M$, note that $S \in \mathcal{T}_{t-1}$ means that $S \subset G\backslash M$ and $\lvert S \rvert = t-1$, therefore $S \cup \{x\} \subset G\backslash M$. And since $x \not \in S$ we have $S \cap \{x\}=\emptyset$, thus $\lvert S\cup \{x\} \rvert=\lvert S \rvert + 1=t-1+1=t$, therefore $S \cup \{x\} \in \mathcal{T}_t$, since $t\in \mathfrak{P}$ we have $\langle S \cup \{x\} \rangle =G$. Furthermore we have $G=\langle S \cup \{x\} \rangle \subset \langle S \cup V \cup \{x\} \rangle$, which implies $\langle S \cup V \cup \{x\}\rangle= G$.<br />
<br />
<br />
In summary, for every $x \in G \backslash \left(S \cup V\right)$, we have $\langle S \cup V \cup \{x\}\rangle= G$, by Lemma 1 this means $\langle S \cup V \rangle $ is maximal subgroup, and since $M$ is the only maximal subgroup we have $\langle S \cup V \rangle=M$, but then $S \subset \langle S \cup V \rangle = M$, by the fact that $S\subset G \backslash M$, we would have $S=\emptyset$, contradiction. And the proof is completed.<br />
<br />
Now we have $G=\langle g \rangle$ by Lemma 3, let $|G|=n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_j^{\alpha_j}$, where $p_1,\cdots,p_j$ are all prime numbers. Consider<br />
\[H_{p_k} = \langle g^{p_k} \rangle\]<br />
We will prove that $H_{p_k}$ is maximal subgroup for every $k$. Indeed, if S is a subgroup with $S \neq G$ and $S \neq H_{p_k}$ satisfies $H_{p_k} \subseteq S \subseteq G$, then $d_k=|H_{p_k}|$ divides $|S| \leq |G|$, but $|H_{p_k}|=\frac{n}{p_k}$, therefore<br />
\[\frac{n}{p_k} \leq |S| \leq n \qquad \text{and} \qquad \text{$\frac{n}{p_k}$ divides $\lvert S\rvert$ divides $n$}\]<br />
<br />
So that there exist $u, v\in \mathbb{N}$ such that $n= v |S|$ and $|S|=u \left( \frac{n}{p_k}\right)$, thus $n= (u)\, (v) \left(\frac{n}{p_k}\right)$, which implies $p_k = u v$, since $p_k$ is prime we should have $u=1$ or $v=1$, but then $|H_{p_k}|=|S|$ or $|S|=|G|$ which together with $H_{p_k} \subseteq S \subseteq G$ would result to $H_{p_k}=S$ or $S=G$, thus $H_{p_k}$ is a maximal subgroup for every $k$.<br />
<br />
Since $G$ has only one maximal subgroup that is $M$, we should have $H_{p_k} =M= H_{p_l}$ for all $k$ and $l$, therefore $\frac{n}{p_k}=|H_{p_k}|=|H_{p_l}|=\frac{n}{p_l}$ so that $p_k=p_l$ for all $k$ and $l$, thus $|G|$ actually has only one prime factor and we conclude that $|G|=p^{\alpha}$.<br />
<br /></div>
Ajat Adriansyahhttp://www.blogger.com/profile/01596827734833976412noreply@blogger.com0