Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Sunday, 19 July 2009

Problem
Misalkan a dan b adalah bilangan positif yang memenuhi a+b=1, Buktikan

\left(\frac{a}{a+x} \right)^{a+x} \left(\frac{b}{b-x}\right)^{b-x} < e^{-2x^2}


untuk setiap x\in (0,b)
Donald E. Knuth

Solution:
Tetapkan a and b dengan a+b=1. Misalkan
f(x)=e^{2x^2} \left(\frac{a}{a+x} \right)^{a+x} \left(\frac{b}{b-x}\right)^{b-x}
yang didefinisikan untuk x\in[0,b). Akan ditunjukkan bahwa f(x) < 1 untuk x > 0, misalkan
g(x):= \log f(x) = 2x^2+ (a+x) \log \left(\frac{a}{a+x} \right) + (b-x) \log \left(\frac{b}{b-x} \right).
Maka
g^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 4x+\log \frac{a(b-x)}{a(b+x)}

Perhatikan bahwa g^{\prime}(0)=0 dan
g^{\prime \prime}(x)=4-\left(\frac{1}{a+x} + \frac{1}{b-x} \right) = 4 - \frac{1}{(a+x)(b-x)} .

Berdasarkan ketaksamaan arithmatik-geometrik mean , (a+x)(b-x)\leq1/4, jadi g^{\prime \prime}(x)\leq 0. dengan tanda sama dengan ketika a+x=b-x. Jadi g^{\prime} (x)\leq g^{\prime}(0) =0 untuk x \geq 0 yang menyebabkam g(x) \leq g(0) =0 untuk x \geq 0. Dengan demikian f(x) < 1 untuk x > 0.

Post a Comment: