OSN Matematika 2012 Hari Kedua
Ini solusi hari kedua, again geometri nya saya skip :D :p
Soal 5 (Stefanus Lie). Diberikan bilangan asli m dan n. Misalkan P dan Q adalah dua kumpulan m\times n bilangan 0 dan 1 yang disusun dalam m baris dan n kolom. Contoh salah satu kumpulan itu untuk m=3 dan n=4 adalah
\left[ \begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] .
Misalkan kedua kumpulan tersebut memenuhi empat sifat berikut.
(i) Pada setiap baris di P, bilangan dari kiri ke kanan tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(ii) pada setiap kolom di P, bilangan dari atas ke bawah tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(iii) jumlah bilangan pada sebarang baris di P sama dengan jumlah bilangan pada baris yang sama di Q, dan
(iv) jumlah bilangan pada sebarang kolom di P sama dengan jumlah bilangan pada kolom yang sama di Q.
Tunjukkanlah bahwa bilangan pada baris ke-i kolom ke-j di P sama dengan bilangan pada baris ke-i kolom ke-j di Q untuk setiap i=1,2,\ldots ,m dan j=1,2,\ldots ,n.
Soal 6 (Fajar Yuliawan) Misalkan \mathbb{R}^{+} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Tunjukkan bahwa tidak ada fungsi f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+} yang memenuhi
f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) +\frac{1}{2012} untuk setiap bilangan real positif x dan y.
Solusi:
Misalkan fungsi tersebut ada, dengan menggunakan induksi matematika kita peroleh untuk sebarang bilangan asli n berlaku
f(nx)=nf(x)+\frac{n-1}{2012}
untuk sebarang x\in \mathbb{R}^+.
Apabila disubtitusi x=\frac{1}{n}, maka diperoleh untuk sebarang bilangan asli n
f(1)=nf\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n-1}{2012}
Berdasarkan Archimedian Property, apabila diberikan bilangan real K maka terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga n>K.
Berdasarkan Archimedian Property, karena 2012f(1)+1 \in \mathbb{R}^+ maka terdapat bilangan asli n yang memenuhi
n>2012f(1)+1 \Rightarrow \frac{f(1)}{n}-\frac{1}{2012}+\frac{1}{2012n}< 0
Sedangkan
f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{f(1)}{n}-\frac{1}{2012}+\frac{1}{2012n}< 0
kontradiksi. Sehingga tidak ada fungsi yang memenuhi
Soal 7 (Nanang Susyanto) Misalkan n bilangan asli. Buktikan bahwa persamaan
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n} memiliki solusi pasangan bilangan asli \left( x,y\right) jika dan hanya jika n habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1.
Solusi:
Misalkan terdapat bilangan asli x,y, dan n yang memenuhi \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}, setara dengan \sqrt{x}=\sqrt{n}-\sqrt{y}, kuadratkan kedua ruas kita peroleh
x=n+y-2\sqrt{yn}
yang berarti yn adalah bilangan kuadrat. Secara similar dari \sqrt{y}=\sqrt{n}-\sqrt{x} diperoleh xn adalah bilangan kuadrat.
Misalkan tidak ada bilangan kuadrat yang lebih besar dari 1 yang membagi n, sehingga n berbentuk p_1p_2\cdots p_k, dengan p_i bilangan prima. Maka untuk setiap i, diperoleh prima p_i membagi n, tapi p_i^2 tidak membagi n. Karena p_i | xn dan xn bilangan kuadrat maka p_i^2 | xn, dan dari p_i^2 \not | n kita peroleh p_i | x. Secara similar kita juga memperoleh p_i | y,
Jadi untuk sebarang bilangan prima p | n diperoleh p | x dan p | y, yakni
x=(p_1p_2\cdots p_k) a =na \qquad y=(p_1p_2\cdots p_k) b=nb
untuk suatu bilangan asli a dan b.
Apabila disubstitusi balik, diperoleh \sqrt{a}+\sqrt{b}=1, sehingga salah satu dari a atau b harus nol, kontradiksi.
Untuk sebaliknya, apabila ada d sedemikian sehingga d^2 | n, maka n=kd^2, sehingga
\sqrt{n}=d\sqrt{k}=d-1\sqrt{k} + \sqrt{k}=\sqrt{(d-1)^2 k} + \sqrt{k}
jadi terdapat solusi yakni x=(d-1)^2 k dan y=k.
Soal 8 (Fajar Yuliawan) Diberikan sebarang segitiga ABC dan garis bagi \angle BAC memotong sisi BC dan lingkaran luar segitiga ABC berturut-turut di D dan E. Misalkan M dan N berturut-turut titik tengah BD dan CE. Lingkaran luar segitiga ABD memotong AN di titik Q. Lingkaran yang melalui A dan menyinggung BC di D memotong garis AM dan sisi AC berturut-turut di titik P dan R. Tunjukkan bahwa empat titik B,P,Q,R terletak pada satu garis.
Soal 5 (Stefanus Lie). Diberikan bilangan asli m dan n. Misalkan P dan Q adalah dua kumpulan m\times n bilangan 0 dan 1 yang disusun dalam m baris dan n kolom. Contoh salah satu kumpulan itu untuk m=3 dan n=4 adalah
\left[ \begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] .
Misalkan kedua kumpulan tersebut memenuhi empat sifat berikut.
(i) Pada setiap baris di P, bilangan dari kiri ke kanan tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(ii) pada setiap kolom di P, bilangan dari atas ke bawah tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(iii) jumlah bilangan pada sebarang baris di P sama dengan jumlah bilangan pada baris yang sama di Q, dan
(iv) jumlah bilangan pada sebarang kolom di P sama dengan jumlah bilangan pada kolom yang sama di Q.
Tunjukkanlah bahwa bilangan pada baris ke-i kolom ke-j di P sama dengan bilangan pada baris ke-i kolom ke-j di Q untuk setiap i=1,2,\ldots ,m dan j=1,2,\ldots ,n.
Solusi: Kita akan membuktikan hal ini dengan induksi terhadap m+n.
Apabila m+n=2, maka pernyataan jelas benar. Apabila m+n=3, terdapat dua kemungkinan m=2 dan n=1 atau m=1 dan n=2, pernyataan benar dengan menggunakan iii) dan iv).
Untuk m+n=4, apabila n=1 maka karena setiap baris hanya mempunyai satu angka berdasarkan iii) soal langsung terbukti, begitu juga apabila m=1, soal terbukti dengan iv). Apabila m=n=2, maka P akan berbentuk
\left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right], \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right], \left[ \begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],
Perhatikan bahwa dari sifat iii) baris [1 \,\, 1] pada P akan menghasilkan baris yang sama di Q, begitu pula kolom \left[\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right] dengan sifat iv). Hal yang sama jg berlaku untuk baris [0\,\, 0] dan \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0\end{array}\right]. Jadi pada empat bentuk pertama dari P diatas, dapat disimpulkan bahwa Q akan berbentuk sama. Sedangkan untuk P yang berbentuk \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], Q akan berbentuk \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & x\end{array}\right], tapi berdasarkan iv) 1+x=1+0, jadi x=0, sehingga P dan Q sama juga untuk bentuk ini.
Sekarang misalkan soal benar untuk setiap kumpulan a \times b dimana a+b\leq k. Akan dibuktikan bahwa soal juga benar untuk setiap kumpulan x\times y dimana x+y=k+1.
Kasus 1. Jika terdapat bilangan pada baris pertama dari P yang sama dengan nol, dan misalkan u adalah indeks pertama dari kiri sedemikian sehingga bilangan ke-u dari kiri pada baris pertama P sama dengan nol, berdasarkan sifat i) semua bilangan ke -u+1, u+2, \cdots, y pada baris pertama dari P semuanya juga samadengan nol.
Dari sifat ii) diperoleh kolom ke-u, u+1,u+2,\cdots, y dari P semuanya mempunyai bilangan samadengan nol, yang berarti hasil penjumlahan bilangan dari masing-masing kolom samadengan 0.
Berdasarkan sifat iii) dan iv) kolom ke-u, u+1,u+2,\cdots, y dari Q masing-masing juga mempunyai hasil penjumlahan yang sama dengan nol, lalu karena bilangan yang mungkin hanya 0 atau 1, maka kolom ke-u, u+1,u+2,\cdots,y dari Q juga semuanya nol. Kita telah memperoleh kolom ke-u, u+1,u+2,\cdots,y dari P dan kolom ke-u, u+1,u+2,\cdots,y dari Q mempunyai bilangan yang sama. Selanjutnya akan dibuktikan kolom ke-1, 2,\cdots,u-1 dari P dan kolom ke-1, 2,\cdots,u-1 dari Q juga mempunyai bilangan yang sama.
Sekarang kita mempunyai x \times u-1 kumpulan bilangan sisa yang belum diketahui nilai nya, anggap x\times u-1 kumpulan bilangan pada P sebagai P^{\prime} dan x\times u-1 kumpulan bilangan pada Q sebagai Q^{\prime}. Karena P^{\prime} berasal dari P, maka P^{\prime} juga memenuhi sifat i), ii). Lalu karena kolom-kolom yang dibuang sebelumnya bernilai nol, maka hasil penjumlahan bilangan pada kolom dan hasil penjumlahan bilangan pada baris P^{\prime} dan Q^{\prime} tidak berubah, sehingga sifat iii) dan iv) juga tetap berlaku untuk P^{\prime} dan Q^{\prime}.
Ditambah lagi x+u-1 < x+y=k+1, jadi x+u-1\leq k, dan berdasarkan hipotesa induksi soal benar untuk a+b \leq k, jadi bilangan-bilangan di P^{\prime} sama dengan bilangan -bilangan pada Q^{\prime}. Kita peroleh P dan Q memuat bilangan yang sama pada setiap posisi nya.
Kasus 2. Jika semua bilangan pada baris pertama dari P tidak samadengan nol, dengan kata lain semua bilangan samadengan 1. Diperoleh baris pertama dari P mempunyai hasil jumlah y, jadi berdasarkan iii) Q juga mempunyai hasil jumlah y, yang menyebabkan semua bilangan pada baris pertama dari Q juga semuanya samadengan 1, yakni P dan Q mempunyai baris pertama yang sama.
Sekarang misalkan \overline{P} dan \overline{Q} adalah bagian dari P dan Q secara berurutan mulai dari baris kedua sampai baris ke-x. Karena \overline{P} berasal dari P maka sifat i) dan ii) juga berlaku untuk \overline{P}. Lalu karena setiap baris dari \overline{Q} adalah baris dari Q, dan setiap baris dari \overline{P} adalah baris dari P, mak sifat iii) juga berlaku untuk \overline{P} dan \overline{Q}. Untuk tiap kolom dari \overline{P} dan tiap kolom dari \overline{Q}, hasil penjumlahan bilangan pada kolom tersebut samadengan hasil penjumlahan bilangan pada kolom P dan Q secara berurutan dikurang 1, jadi iv) juga berlaku untuk \overline{P} dan \overline{Q}.
\overline{P} dan \overline{Q} masing-masing mempunyai ukuran x-1 \times y, dan x-1+y=k-1, jadi berdasarkan hipotesa induksi, \overline{P} dan \overline{Q} adalah kumpulan bilangan yang sama.
Soal 6 (Fajar Yuliawan) Misalkan \mathbb{R}^{+} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Tunjukkan bahwa tidak ada fungsi f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+} yang memenuhi
f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) +\frac{1}{2012} untuk setiap bilangan real positif x dan y.
Solusi:
f(nx)=nf(x)+\frac{n-1}{2012}
untuk sebarang x\in \mathbb{R}^+.
Apabila disubtitusi x=\frac{1}{n}, maka diperoleh untuk sebarang bilangan asli n
f(1)=nf\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n-1}{2012}
Berdasarkan Archimedian Property, apabila diberikan bilangan real K maka terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga n>K.
Berdasarkan Archimedian Property, karena 2012f(1)+1 \in \mathbb{R}^+ maka terdapat bilangan asli n yang memenuhi
n>2012f(1)+1 \Rightarrow \frac{f(1)}{n}-\frac{1}{2012}+\frac{1}{2012n}< 0
Sedangkan
f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{f(1)}{n}-\frac{1}{2012}+\frac{1}{2012n}< 0
kontradiksi. Sehingga tidak ada fungsi yang memenuhi
Soal 7 (Nanang Susyanto) Misalkan n bilangan asli. Buktikan bahwa persamaan
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n} memiliki solusi pasangan bilangan asli \left( x,y\right) jika dan hanya jika n habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1.
Solusi:
Misalkan terdapat bilangan asli x,y, dan n yang memenuhi \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}, setara dengan \sqrt{x}=\sqrt{n}-\sqrt{y}, kuadratkan kedua ruas kita peroleh
x=n+y-2\sqrt{yn}
yang berarti yn adalah bilangan kuadrat. Secara similar dari \sqrt{y}=\sqrt{n}-\sqrt{x} diperoleh xn adalah bilangan kuadrat.
Misalkan tidak ada bilangan kuadrat yang lebih besar dari 1 yang membagi n, sehingga n berbentuk p_1p_2\cdots p_k, dengan p_i bilangan prima. Maka untuk setiap i, diperoleh prima p_i membagi n, tapi p_i^2 tidak membagi n. Karena p_i | xn dan xn bilangan kuadrat maka p_i^2 | xn, dan dari p_i^2 \not | n kita peroleh p_i | x. Secara similar kita juga memperoleh p_i | y,
Jadi untuk sebarang bilangan prima p | n diperoleh p | x dan p | y, yakni
x=(p_1p_2\cdots p_k) a =na \qquad y=(p_1p_2\cdots p_k) b=nb
untuk suatu bilangan asli a dan b.
Apabila disubstitusi balik, diperoleh \sqrt{a}+\sqrt{b}=1, sehingga salah satu dari a atau b harus nol, kontradiksi.
Untuk sebaliknya, apabila ada d sedemikian sehingga d^2 | n, maka n=kd^2, sehingga
\sqrt{n}=d\sqrt{k}=d-1\sqrt{k} + \sqrt{k}=\sqrt{(d-1)^2 k} + \sqrt{k}
jadi terdapat solusi yakni x=(d-1)^2 k dan y=k.
Soal 8 (Fajar Yuliawan) Diberikan sebarang segitiga ABC dan garis bagi \angle BAC memotong sisi BC dan lingkaran luar segitiga ABC berturut-turut di D dan E. Misalkan M dan N berturut-turut titik tengah BD dan CE. Lingkaran luar segitiga ABD memotong AN di titik Q. Lingkaran yang melalui A dan menyinggung BC di D memotong garis AM dan sisi AC berturut-turut di titik P dan R. Tunjukkan bahwa empat titik B,P,Q,R terletak pada satu garis.
Post a Comment: