Soal Persamaan Fungsi

20:07:00   Olimpiade Matematika

Sebenarnya post ini cuma mau nge-test LaTex di Dynamic View nya blogger. Tapi ya sekalian kasi soal-Soal Fungsi berikut saya anggap susah.

Source nya nggak disebutkan, ada yang saya tahu ada yang saya lupa  (itung-itung buat yang mau latihan bisa ngilangin temptation untuk nge-browse solusinya di Mathlinks :D )
 ------------------------------------------------------
1. Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ yang memenuhi
$$f(x)f(y)=f(y)f(xf(y))+\frac{1}{xy}$$

2. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi : untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$
$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy$$
untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$.

3. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ yang memenuhi: untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}^+$
$$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$$

4. Misalkan $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ dengan $\text{deg}(f(x))=4$, buktikan terdapat $M \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$f(n!) \equiv \pmod {2^n-1}$$ untuk setiap $n>M$

5. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ yang memenuhi: untuk setiap $m,n \in \mathbb{N}$
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$

6. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi: untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$
$$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$$

7. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi: untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$

8. Tentukan semua  fungsi $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ yang memenuhi untuk setiap $m,n \in \mathbb{N}$
$$f(f(m)^2+2f(n)^2)=m^2+2n^2$$

9. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi: untuk setiap $x\in \mathbb{R}$ berlaku
$$f(x^2)=f(x)^2 \qquad \text{dan} \qquad f(x+1)=f(x)+1$$

10.Misalkan $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fungsi monoton tak turun yang memenuhi
$$f(x+f(y))=f(f(x))+f(y)$$
untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$

ShareShare on Facebook

TweetShare on Twitter

Pin ItShare on Pinterest