Tensor Product sebagai Fungtoriality
Semalam, ketika mendiskusikan tentang contoh Sheafification. Pak Fajar bilang bahwa itu diberikan dari left-adjoint functor L: PSh(\mathcal{C}) \rightarrow Sh(\mathcal{C}) dari inklusi Sh(\mathcal{C}) \hookrightarrow Psh(\mathcal{C}).
Karena bahasa Category saya belum lancar, saya mencoba mencari kasus-kasus less abstract yang saya kenal dari -so called- adjoint functor. Anyway pada definisi yang diberikan (bukan full definition) terdapat isomorphism
Hom_\mathcal{D} (L(C),D) \simeq Hom_\mathcal{D} (C,R(D))
untuk C \in \mathcal{C} dan D \in \mathcal{D}.
Dulu sekali, saya pernah mengerjakan sebuah latihan tentang right exactness dari Tensor Product terhadap suatu R-module N. (Sepertinya ada di Attiyah), yaitu
Pada buktinya, terdapat (hint?) untuk membuktikan hal ini terlebih dahulu:
In other words, dalam bahasa Category, kita punya functor \mathcal{F} : Mod_R \rightarrow Mod_R diberikan dengan (\cdot) \otimes N dan functor \mathcal{G} : Mod_R \rightarrow Mod_R diberikan dengan Hom(N, \cdot) dan mereka memenuhi bentuk yang saya berikan diatas.
Bukti:
Definisikan \Psi : Hom_R (M \otimes N, P) \rightarrow Hom_R (M , Hom(N, P))
dengan aturan:
Untuk f: M \otimes N \rightarrow P, hasil pemetaan dari \Psi(f) adalah fungsi g yang memetakan x \in M ke fungsi g(x) : N \rightarrow P, dimana g(x) memetakan y \in N ke [g(x)](y)=f(x \otimes y).
Singkatnya kita tulis
\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) \qquad x\in M \, , \, y\in N
Pembuktian bahwa [g(x)](y) = f(x \otimes y) adalah benar anggota Hom_R(N, P) , cukup rutin dengan menggunakan sifat billinear dari tensor product. Pembuktian bahwa g(x) adalah benar anggota Hom_R (M , Hom(N, P)) juga cukup jelas dengan sifat billinear dan sifat linear dari f.
Pembuktian bahwa \Psi injective (monomorphism) juga tidak begitu sulit.
Yang menarik adalah pembuktian bahwa \Psi surjective, saya akan coba jabarkan.
Ambil sebarang g \in Hom_R(M, Hom_R(N,P)), kita akan membuktikan terdapat f \in Hom_R(M \otimes N, P) sedemikian sehingga \Psi(f) = g. Perhatikan bahwa g memetakan anggota x\in M ke anggota Hom_R(N, P).
Kita akan menggunakan Universal Property dari Tensor Product, yaitu dimulai dari mendefinisikan billinear map f^{\prime} : M \times N \rightarrow P sebagai berikut:
f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)
Karena g linear maps maka f^{\prime}(ax_1+bx_2 ,y ) = g(ax_1 +bx_2))(y) = g(ax_1)(y)+g(bx_2)(y) = [ag(x_1)](y)+[bg(x_2)](y), secara similar ini juga berlaku untuk variabel y. Sehingga diperoleh f^{\prime} adalah fungsi billinear.
Jadi dengan Universal Property dari Tensor Product (maaf saya belum bisa gambar commutative diagram di blogger) terdapat unique f \in Hom_R(M \otimes N, P) sedemikian sehingga
\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) = f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)
terbukti.
Saya ingin lanjut ke right-exactness agar relevant ke adjoint functor, dan saya bisa lebih mengerti secara lebih natural tentang adjoint functor, tapi saat ini belum tahu cara mengetik commutative diagram dengan nyaman di Mathjax :[
Karena bahasa Category saya belum lancar, saya mencoba mencari kasus-kasus less abstract yang saya kenal dari -so called- adjoint functor. Anyway pada definisi yang diberikan (bukan full definition) terdapat isomorphism
Hom_\mathcal{D} (L(C),D) \simeq Hom_\mathcal{D} (C,R(D))
untuk C \in \mathcal{C} dan D \in \mathcal{D}.
Dulu sekali, saya pernah mengerjakan sebuah latihan tentang right exactness dari Tensor Product terhadap suatu R-module N. (Sepertinya ada di Attiyah), yaitu
Untuk R-module A, B, dan C, jika
A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0
adalah barisan exact maka
A \otimes N \rightarrow B \otimes N \rightarrow C \otimes N \rightarrow 0
juga barisan exact.
Pada buktinya, terdapat (hint?) untuk membuktikan hal ini terlebih dahulu:
Untuk R-module M, N, dan P maka berlaku
Hom_R(M \otimes N, P) \simeq Hom_R(M , Hom_R(N, P))
In other words, dalam bahasa Category, kita punya functor \mathcal{F} : Mod_R \rightarrow Mod_R diberikan dengan (\cdot) \otimes N dan functor \mathcal{G} : Mod_R \rightarrow Mod_R diberikan dengan Hom(N, \cdot) dan mereka memenuhi bentuk yang saya berikan diatas.
Bukti:
Definisikan \Psi : Hom_R (M \otimes N, P) \rightarrow Hom_R (M , Hom(N, P))
dengan aturan:
Untuk f: M \otimes N \rightarrow P, hasil pemetaan dari \Psi(f) adalah fungsi g yang memetakan x \in M ke fungsi g(x) : N \rightarrow P, dimana g(x) memetakan y \in N ke [g(x)](y)=f(x \otimes y).
Singkatnya kita tulis
\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) \qquad x\in M \, , \, y\in N
Pembuktian bahwa [g(x)](y) = f(x \otimes y) adalah benar anggota Hom_R(N, P) , cukup rutin dengan menggunakan sifat billinear dari tensor product. Pembuktian bahwa g(x) adalah benar anggota Hom_R (M , Hom(N, P)) juga cukup jelas dengan sifat billinear dan sifat linear dari f.
Pembuktian bahwa \Psi injective (monomorphism) juga tidak begitu sulit.
Yang menarik adalah pembuktian bahwa \Psi surjective, saya akan coba jabarkan.
Ambil sebarang g \in Hom_R(M, Hom_R(N,P)), kita akan membuktikan terdapat f \in Hom_R(M \otimes N, P) sedemikian sehingga \Psi(f) = g. Perhatikan bahwa g memetakan anggota x\in M ke anggota Hom_R(N, P).
Kita akan menggunakan Universal Property dari Tensor Product, yaitu dimulai dari mendefinisikan billinear map f^{\prime} : M \times N \rightarrow P sebagai berikut:
f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)
Karena g linear maps maka f^{\prime}(ax_1+bx_2 ,y ) = g(ax_1 +bx_2))(y) = g(ax_1)(y)+g(bx_2)(y) = [ag(x_1)](y)+[bg(x_2)](y), secara similar ini juga berlaku untuk variabel y. Sehingga diperoleh f^{\prime} adalah fungsi billinear.
Jadi dengan Universal Property dari Tensor Product (maaf saya belum bisa gambar commutative diagram di blogger) terdapat unique f \in Hom_R(M \otimes N, P) sedemikian sehingga
\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) = f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)
terbukti.
Saya ingin lanjut ke right-exactness agar relevant ke adjoint functor, dan saya bisa lebih mengerti secara lebih natural tentang adjoint functor, tapi saat ini belum tahu cara mengetik commutative diagram dengan nyaman di Mathjax :[
Post a Comment: