Tensor Product sebagai Fungtoriality
Semalam, ketika mendiskusikan tentang contoh Sheafification. Pak Fajar bilang bahwa itu diberikan dari left-adjoint functor $L: PSh(\mathcal{C}) \rightarrow Sh(\mathcal{C})$ dari inklusi $Sh(\mathcal{C}) \hookrightarrow Psh(\mathcal{C})$.
Karena bahasa Category saya belum lancar, saya mencoba mencari kasus-kasus less abstract yang saya kenal dari -so called- adjoint functor. Anyway pada definisi yang diberikan (bukan full definition) terdapat isomorphism
\[ Hom_\mathcal{D} (L(C),D) \simeq Hom_\mathcal{D} (C,R(D)) \]
untuk $C \in \mathcal{C}$ dan $D \in \mathcal{D}$.
Dulu sekali, saya pernah mengerjakan sebuah latihan tentang right exactness dari Tensor Product terhadap suatu $R$-module $N$. (Sepertinya ada di Attiyah), yaitu
Pada buktinya, terdapat (hint?) untuk membuktikan hal ini terlebih dahulu:
In other words, dalam bahasa Category, kita punya functor $\mathcal{F} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $(\cdot) \otimes N$ dan functor $\mathcal{G} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $Hom(N, \cdot)$ dan mereka memenuhi bentuk yang saya berikan diatas.
Bukti:
Definisikan $\Psi : Hom_R (M \otimes N, P) \rightarrow Hom_R (M , Hom(N, P)) $
dengan aturan:
Untuk $f: M \otimes N \rightarrow P$, hasil pemetaan dari $\Psi(f)$ adalah fungsi $g$ yang memetakan $x \in M$ ke fungsi $g(x) : N \rightarrow P$, dimana $g(x)$ memetakan $y \in N$ ke $[g(x)](y)=f(x \otimes y)$.
Singkatnya kita tulis
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) \qquad x\in M \, , \, y\in N\]
Pembuktian bahwa $[g(x)](y) = f(x \otimes y)$ adalah benar anggota $Hom_R(N, P)$ , cukup rutin dengan menggunakan sifat billinear dari tensor product. Pembuktian bahwa $g(x)$ adalah benar anggota $Hom_R (M , Hom(N, P))$ juga cukup jelas dengan sifat billinear dan sifat linear dari $f$.
Pembuktian bahwa $\Psi$ injective (monomorphism) juga tidak begitu sulit.
Yang menarik adalah pembuktian bahwa $\Psi$ surjective, saya akan coba jabarkan.
Ambil sebarang $g \in Hom_R(M, Hom_R(N,P))$, kita akan membuktikan terdapat $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga $\Psi(f) = g$. Perhatikan bahwa $g$ memetakan anggota $x\in M$ ke anggota $Hom_R(N, P)$.
Kita akan menggunakan Universal Property dari Tensor Product, yaitu dimulai dari mendefinisikan billinear map $f^{\prime} : M \times N \rightarrow P$ sebagai berikut:
\[f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]
Karena $g$ linear maps maka $f^{\prime}(ax_1+bx_2 ,y ) = g(ax_1 +bx_2))(y) = g(ax_1)(y)+g(bx_2)(y) = [ag(x_1)](y)+[bg(x_2)](y)$, secara similar ini juga berlaku untuk variabel $y$. Sehingga diperoleh $f^{\prime}$ adalah fungsi billinear.
Jadi dengan Universal Property dari Tensor Product (maaf saya belum bisa gambar commutative diagram di blogger) terdapat unique $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) = f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]
terbukti.
Saya ingin lanjut ke right-exactness agar relevant ke adjoint functor, dan saya bisa lebih mengerti secara lebih natural tentang adjoint functor, tapi saat ini belum tahu cara mengetik commutative diagram dengan nyaman di Mathjax :[
Karena bahasa Category saya belum lancar, saya mencoba mencari kasus-kasus less abstract yang saya kenal dari -so called- adjoint functor. Anyway pada definisi yang diberikan (bukan full definition) terdapat isomorphism
\[ Hom_\mathcal{D} (L(C),D) \simeq Hom_\mathcal{D} (C,R(D)) \]
untuk $C \in \mathcal{C}$ dan $D \in \mathcal{D}$.
Dulu sekali, saya pernah mengerjakan sebuah latihan tentang right exactness dari Tensor Product terhadap suatu $R$-module $N$. (Sepertinya ada di Attiyah), yaitu
Untuk $R$-module $A$, $B$, dan $C$, jika
\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \]
adalah barisan exact maka
\[A \otimes N \rightarrow B \otimes N \rightarrow C \otimes N \rightarrow 0\]
juga barisan exact.
Pada buktinya, terdapat (hint?) untuk membuktikan hal ini terlebih dahulu:
Untuk $R$-module $M$, $N$, dan $P$ maka berlaku
\[Hom_R(M \otimes N, P) \simeq Hom_R(M , Hom_R(N, P)) \]
In other words, dalam bahasa Category, kita punya functor $\mathcal{F} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $(\cdot) \otimes N$ dan functor $\mathcal{G} : Mod_R \rightarrow Mod_R$ diberikan dengan $Hom(N, \cdot)$ dan mereka memenuhi bentuk yang saya berikan diatas.
Bukti:
Definisikan $\Psi : Hom_R (M \otimes N, P) \rightarrow Hom_R (M , Hom(N, P)) $
dengan aturan:
Untuk $f: M \otimes N \rightarrow P$, hasil pemetaan dari $\Psi(f)$ adalah fungsi $g$ yang memetakan $x \in M$ ke fungsi $g(x) : N \rightarrow P$, dimana $g(x)$ memetakan $y \in N$ ke $[g(x)](y)=f(x \otimes y)$.
Singkatnya kita tulis
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) \qquad x\in M \, , \, y\in N\]
Pembuktian bahwa $[g(x)](y) = f(x \otimes y)$ adalah benar anggota $Hom_R(N, P)$ , cukup rutin dengan menggunakan sifat billinear dari tensor product. Pembuktian bahwa $g(x)$ adalah benar anggota $Hom_R (M , Hom(N, P))$ juga cukup jelas dengan sifat billinear dan sifat linear dari $f$.
Pembuktian bahwa $\Psi$ injective (monomorphism) juga tidak begitu sulit.
Yang menarik adalah pembuktian bahwa $\Psi$ surjective, saya akan coba jabarkan.
Ambil sebarang $g \in Hom_R(M, Hom_R(N,P))$, kita akan membuktikan terdapat $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga $\Psi(f) = g$. Perhatikan bahwa $g$ memetakan anggota $x\in M$ ke anggota $Hom_R(N, P)$.
Kita akan menggunakan Universal Property dari Tensor Product, yaitu dimulai dari mendefinisikan billinear map $f^{\prime} : M \times N \rightarrow P$ sebagai berikut:
\[f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]
Karena $g$ linear maps maka $f^{\prime}(ax_1+bx_2 ,y ) = g(ax_1 +bx_2))(y) = g(ax_1)(y)+g(bx_2)(y) = [ag(x_1)](y)+[bg(x_2)](y)$, secara similar ini juga berlaku untuk variabel $y$. Sehingga diperoleh $f^{\prime}$ adalah fungsi billinear.
Jadi dengan Universal Property dari Tensor Product (maaf saya belum bisa gambar commutative diagram di blogger) terdapat unique $f \in Hom_R(M \otimes N, P)$ sedemikian sehingga
\[\Psi(f)(x)(y) = f(x \otimes y) = f^{\prime}(x,y) = g(x)(y)\]
terbukti.
Saya ingin lanjut ke right-exactness agar relevant ke adjoint functor, dan saya bisa lebih mengerti secara lebih natural tentang adjoint functor, tapi saat ini belum tahu cara mengetik commutative diagram dengan nyaman di Mathjax :[
Post a Comment: