Soal No 4 , OSN Matematika 2019, Segitiga Kesatuan.
Untuk bilangan asli $N$ dan bilangan asli $x \in \{1,2,..., N^2\}$ yang mempunyai paritas yang sama dengan $N$. Kita akan sebut kesatuan segitiga dari $\{1,2,...,N^2\} \backslash \{x\}$ sebagai suatu cara untuk membentuk urutan penjumlahan
\begin{align*}
a_1+a_2 &= a_3 \\
a_4+a_5+a_6 &= a_7+a_8 \\
&\, \vdots \\
a_{N^2-2N+1}+\cdots+a_{N^2-N}&=a_{N^2-N+1}+\cdots+a_{N^2-1}
\end{align*}
dimana pada baris ke-$j$ terdapat $j+1$ suku disisi kiri dan $j$ suku disisi kanan. Buktikan bahwa $S(N^2,x)$ selalu ada apabila $x\equiv N \pmod 2$.
Untuk solusinya, karena terlalu panjang untuk ditulis dipost ini, jadi saya ketik di pdf, dan dapat dilihat pada link berikut
(Solusi Official, Video juga bisa dilihat di youtube)
Kali ini saya akan menunjukkan proses mendapatkan solusi yang sudah saya tulis formal diatas.
Hal pertama yang penting diperoleh disini adalah, pada $S(N^2,x)$ kita mempunyai $N-1$ buah baris, ini bisa dibuktikan dengan double counting sederhana.
Ketika pertama kali mencoba soal ini, (setelah mencoba kuli-kuli kasus kecil) saya berpikir seperti mengerjakan persamaan linear.
Memang "proses linear" seperti mengkalikan semua suku dengan konstanta tidak mengubah tanda samadengan pada semua sistem diatas, namun memperbesar angka yang terlibat dalam segitiga kesatuan. Sebagai contoh jika semua suku dikalikan $2$, maka nanti $N^2$ akan menjadi $2N^2$ yang "kebesaran".
Untungnya apabila kita hanya menambahkan $+1$ pada semua sukunya, maka segitiga diatas tidak banyak berubah, dan masih bisa di kontrol, selanjutnya malah bisa kita modifikasi menjadi $S(N+1,y)$ untuk suatu $y$.
Contoh:
$S(4,2)$ dapat diubah menjadi $S(9,3)$ dengan cara berikut:
Mulai dari $S(4,2)$ yaitu $1+3=4$, lalu kita grow $+1$ semua sukunya (1 jadi 2, 3 jadi 4, dan 4 jadi 5) dan diperoleh
\[2+4=5 + 1\]
Lalu untuk mengatasi kelebihan angka $+1$ pada kanan, kita dapat menyeimbangkan dengan membuat $+1$ tersebut menjadi $(a+1)-a$, dimana $a$ salah satu dari angka yang tersisa yaitu $1$, $6$, $7$, $8$, $9$. Jadi apabila kita pilih $a=6$ maka kita tambahkan ke kedua ruas dan diperoleh
\[2+4+6=5+7\]
angka sisanya yaitu $1$, $8$, dan $9$ bisa dijadikan baris pertama yaitu $1+8=9$. Sehingga kita peroleh $S(9,3)$ yaitu
\begin{align*} 1+8&=9 \\ 2+4+6&=5+7\end{align*}
Contoh lain kita bisa membuat $S(4,2)$ menjadi $S(9,1)$ dengan cara serupa yakni:
\begin{align*}\boxed{1+3=4} \longrightarrow \boxed{2+4=5+1} \underbrace{\longrightarrow}_{\{7,8\}} \boxed{2+4+7=5+8} \end{align*}
dengan $3+6=9$ diperoleh $S(9,1)$
\begin{align*}
3+6&=9\\
2+4+7&=5+8
\end{align*}
Berikut beberapa contoh hasil lanjutan diatas:
$S(9,1) \rightarrow S(16,2)$
\begin{align*}
15+1&=16\\
11+4+7&=10+12 \\
13+3+5+8&=14+6+9
\end{align*}
$S(16,2) \rightarrow S(25,1)$
\begin{align*}
22+3&=25 \\
18+16+2&=17+19 \\
20+12+5+8&=11+13+21 \\
23+14+4+6+9&=15+7+10+24\\
\end{align*}
$S(16,16)\rightarrow S(25,25)$
\begin{align*}
23+1&=24\\
17+15+2&=16+18\\
19+3+9+11&=10+12+20 \\
21+4+5+7 +13&=6+8+14+22
\end{align*}
$S(16,16)\rightarrow S(25,21)$
\begin{align*}
24+1&=25\\
22+15+2&=23+16\\
19+3+9+11&=20+10+12 \\
17+4+5+7 +13&=18+6+8+14
\end{align*}
Untuk bukti formal bahwa prosedur ini selalu dapat dilakukan bisa dilihat pada link berikut
Kali ini saya akan menunjukkan proses mendapatkan solusi yang sudah saya tulis formal diatas.
Hal pertama yang penting diperoleh disini adalah, pada $S(N^2,x)$ kita mempunyai $N-1$ buah baris, ini bisa dibuktikan dengan double counting sederhana.
Ketika pertama kali mencoba soal ini, (setelah mencoba kuli-kuli kasus kecil) saya berpikir seperti mengerjakan persamaan linear.
Memang "proses linear" seperti mengkalikan semua suku dengan konstanta tidak mengubah tanda samadengan pada semua sistem diatas, namun memperbesar angka yang terlibat dalam segitiga kesatuan. Sebagai contoh jika semua suku dikalikan $2$, maka nanti $N^2$ akan menjadi $2N^2$ yang "kebesaran".
Untungnya apabila kita hanya menambahkan $+1$ pada semua sukunya, maka segitiga diatas tidak banyak berubah, dan masih bisa di kontrol, selanjutnya malah bisa kita modifikasi menjadi $S(N+1,y)$ untuk suatu $y$.
Contoh:
$S(4,2)$ dapat diubah menjadi $S(9,3)$ dengan cara berikut:
Mulai dari $S(4,2)$ yaitu $1+3=4$, lalu kita grow $+1$ semua sukunya (1 jadi 2, 3 jadi 4, dan 4 jadi 5) dan diperoleh
\[2+4=5 + 1\]
Lalu untuk mengatasi kelebihan angka $+1$ pada kanan, kita dapat menyeimbangkan dengan membuat $+1$ tersebut menjadi $(a+1)-a$, dimana $a$ salah satu dari angka yang tersisa yaitu $1$, $6$, $7$, $8$, $9$. Jadi apabila kita pilih $a=6$ maka kita tambahkan ke kedua ruas dan diperoleh
\[2+4+6=5+7\]
angka sisanya yaitu $1$, $8$, dan $9$ bisa dijadikan baris pertama yaitu $1+8=9$. Sehingga kita peroleh $S(9,3)$ yaitu
\begin{align*} 1+8&=9 \\ 2+4+6&=5+7\end{align*}
Contoh lain kita bisa membuat $S(4,2)$ menjadi $S(9,1)$ dengan cara serupa yakni:
\begin{align*}\boxed{1+3=4} \longrightarrow \boxed{2+4=5+1} \underbrace{\longrightarrow}_{\{7,8\}} \boxed{2+4+7=5+8} \end{align*}
dengan $3+6=9$ diperoleh $S(9,1)$
\begin{align*}
3+6&=9\\
2+4+7&=5+8
\end{align*}
Berikut beberapa contoh hasil lanjutan diatas:
$S(9,1) \rightarrow S(16,2)$
\begin{align*}
15+1&=16\\
11+4+7&=10+12 \\
13+3+5+8&=14+6+9
\end{align*}
$S(16,2) \rightarrow S(25,1)$
\begin{align*}
22+3&=25 \\
18+16+2&=17+19 \\
20+12+5+8&=11+13+21 \\
23+14+4+6+9&=15+7+10+24\\
\end{align*}
$S(16,16)\rightarrow S(25,25)$
\begin{align*}
23+1&=24\\
17+15+2&=16+18\\
19+3+9+11&=10+12+20 \\
21+4+5+7 +13&=6+8+14+22
\end{align*}
$S(16,16)\rightarrow S(25,21)$
\begin{align*}
24+1&=25\\
22+15+2&=23+16\\
19+3+9+11&=20+10+12 \\
17+4+5+7 +13&=18+6+8+14
\end{align*}
Untuk bukti formal bahwa prosedur ini selalu dapat dilakukan bisa dilihat pada link berikut
Post a Comment: