Matriks tanpa kuli
Melanjutkan post yang sebelum nya , berikut akan dibahas solusi dari soal awal
Kemarin memang saya salah mengetik soal (harusnya AX-XA dan AX+XA), tapi tetap ada bukti bagus nya bahwa persamaan tidak ada solusi, saya akan post jawabannya disini
(FYI no student solved this :( )
Saya menggunakan soal ini dikelas untuk membuka diskusi mengenai:
1. Review Sifat Diagonalizable, kasus khusus di Matriks Simetrik (Orthogonally Diagonalizable).
2. Orthogonal Basis.
3. Basis Eigenvector.
4. Sifat-Sifat Trace dan hubungannya dengan nilai eigen.
Saya pikir jika mereka mengerjakan soal ini dengan cara kuli, dan mengerti sebagaimana melelahkan cara tersebut. Mereka akan lebih mengapresiasi kegunaan teori-teori dalam mempermudah perhitungan :D .
Soal
Kemarin memang saya salah mengetik soal (harusnya AX-XA dan AX+XA), tapi tetap ada bukti bagus nya bahwa persamaan tidak ada solusi, saya akan post jawabannya disini
(FYI no student solved this :( )
Saya menggunakan soal ini dikelas untuk membuka diskusi mengenai:
1. Review Sifat Diagonalizable, kasus khusus di Matriks Simetrik (Orthogonally Diagonalizable).
2. Orthogonal Basis.
3. Basis Eigenvector.
4. Sifat-Sifat Trace dan hubungannya dengan nilai eigen.
Saya pikir jika mereka mengerjakan soal ini dengan cara kuli, dan mengerti sebagaimana melelahkan cara tersebut. Mereka akan lebih mengapresiasi kegunaan teori-teori dalam mempermudah perhitungan :D .
Soal
Misalkan X= \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &1 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ -1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.
Tentukan semua matriks real simetrik A yang berukuran 4 \times 4 dan memenuhi:
(AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Solusi :
Perhatikan bahwa X^T=-X, yakni X skew-simetrik. Misalkan B=AX-XA, maka berlaku
B^T = (AX-XA)^T = (AX)^T - (XA)^T = X^T A^T - A^T X^T = -XA-(-AX) = AX-XA=B
Jadi B adalah matriks simetrik.
Perhatikan juga bahwa vektor-vektor
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
adalah eigenvector dari B yang saling orthogonal (\langle v_i, v_j \rangle =0 untuk i \neq j), dengan nilai eigen secara berturut-turut -5, 1 dan 2 .
Lalu karena Trace(AX - XA) = 0 dan Trace adalah hasil penjumlahan dari nilai eigen, diperoleh \lambda -5 + 1 + 2 = 0, jadi nilai eigen yang satu lagi adalah \lambda = 2.
Karena B adalah matriks simetrik maka B dapat didiagonalkan secara orthogonal. Dengan kata lain terdapat matriks orthogonal P (yakni matriks yang memenuhi P^T = P^{-1}) sedemikian sehingga
P^T B P = D= \begin{pmatrix} -5 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &2 \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks P adalah eigenvector B sesuai dengan urutan nilai eigen di diagonal, dan karena P^T P = P^{-1} P = I, maka kolom-kolom dari P adalah eigenvektor yang orthonormal .
Seperti yang telah disebutkan sebelum nya karena B dapat didiagonalkan secara orthogonal, ini berarti eigenvector dari B pasti membentuk basis orthonormal, yaitu vektor-vektor kolom dari matriks P. Kita akan menentukan vektor-vektor ini agar dapat membentuk matriks P.
Pada soal sudah diberikan 3 buah eigenvector yang orthogonal, yakni \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, dan \mathbf{v}_3.
Kita cukup membagi vektor-vektor ini dengan panjang mereka masing-masing sehingga diperoleh vektor orthonormal:
\mathbf{\tilde{v}}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{\tilde{v}}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{\tilde{v}}_3=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
Satu vektor lagi yang orthogonal dengan \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 dan \mathbf{v}_3 adalah
\mathbf{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
vektor ini dapat diperoleh dengan mudah dari bentuk \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 dan \mathbf{v}_3 ( sebenarnya semua kelipatan dari \mathbf{v}_4 juga bisa). Sehingga bentuk normalize nya adalah
\mathbf{\tilde{v}}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}
Jadi kita telah memperoleh basis orthonormal eigenvector \{\mathbf{\tilde{v}}_1, \mathbf{\tilde{v}}_2, \mathbf{\tilde{v}}_3, \mathbf{\tilde{v}}_4 \}.
Basis orthonormal eigenvector diatas tidaklah unik, karena apabila salah satu \mathbf{\tilde{v}}_i diganti dengan -\mathbf{\tilde{v}}_i kita juga memperoleh basis orthonormal lain. Tapi setiap basis orthonormal eigenvector pasti akan mendiagonalkan B, dan karena bentuk diagonal dari B itu unik terhadap urutan nilai eigen di diagonal, maka setiap basis akan memperoleh matriks diagonal yang sama, tergantung urutan meletakkan eigenvektor pada kolom P. Disini kita akan meletakan \mathbf{\tilde{v}}_i pada kolom ke-i jadi diperoleh matriks
P= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}
Dimana sifat orthonormal menyebabkan P^{-1} = P^T. Jadi P^T B P = D mengakibatkan
AX-XA=B = PDP^T = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -2 \\\frac{3}{2} & 0 & -2 & \frac{3}{2} \\\frac{3}{2} & -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ -2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}
(Perhitungan PD diatas tidak rumit karena D memuat banyak 0, dan pada perhitungan (PD)P^T kita cukup menghitung entri dibawah diagonal dan di diagonal karena B simetrik.)
Dengan operasi baris elementer bisa diperoleh bahwa inverse dari X adalah
X^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 & -1 \\1 & 0 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & -1 \\1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
sehingga
AX-XA = B \Rightarrow X^{-1}A - AX^{-1} = X^{-1}BX^{-1}=\begin{pmatrix}-4 & -\frac{3}{2} & \frac{11}{2} & -6 \\-\frac{3}{2} & 10 & -12 & \frac{11}{2} \\\frac{11}{2} & -12 & 10 & -\frac{3}{2} \\-6 & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} & -4\end{pmatrix}
Tapi ini tidak mungkin karena Trace(X^{-1}A - A X^{-1}) = 0 sedangkan Trace dari matriks di sisi kanan sama dengan 12. Kontradiksi ini membuktikan bahwa tidak ada A yang memenuhi kondisi soal.
Untuk soal yang menggunakan kondisi singular, cara nya serupa, kondisi det(A) = 0 hanya digunakan untuk menentukan bahwa ada nilai eigen yang nol.
(AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Solusi :
Perhatikan bahwa X^T=-X, yakni X skew-simetrik. Misalkan B=AX-XA, maka berlaku
B^T = (AX-XA)^T = (AX)^T - (XA)^T = X^T A^T - A^T X^T = -XA-(-AX) = AX-XA=B
Jadi B adalah matriks simetrik.
Perhatikan juga bahwa vektor-vektor
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
adalah eigenvector dari B yang saling orthogonal (\langle v_i, v_j \rangle =0 untuk i \neq j), dengan nilai eigen secara berturut-turut -5, 1 dan 2 .
Lalu karena Trace(AX - XA) = 0 dan Trace adalah hasil penjumlahan dari nilai eigen, diperoleh \lambda -5 + 1 + 2 = 0, jadi nilai eigen yang satu lagi adalah \lambda = 2.
Karena B adalah matriks simetrik maka B dapat didiagonalkan secara orthogonal. Dengan kata lain terdapat matriks orthogonal P (yakni matriks yang memenuhi P^T = P^{-1}) sedemikian sehingga
P^T B P = D= \begin{pmatrix} -5 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &2 \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks P adalah eigenvector B sesuai dengan urutan nilai eigen di diagonal, dan karena P^T P = P^{-1} P = I, maka kolom-kolom dari P adalah eigenvektor yang orthonormal .
Seperti yang telah disebutkan sebelum nya karena B dapat didiagonalkan secara orthogonal, ini berarti eigenvector dari B pasti membentuk basis orthonormal, yaitu vektor-vektor kolom dari matriks P. Kita akan menentukan vektor-vektor ini agar dapat membentuk matriks P.
Pada soal sudah diberikan 3 buah eigenvector yang orthogonal, yakni \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, dan \mathbf{v}_3.
Kita cukup membagi vektor-vektor ini dengan panjang mereka masing-masing sehingga diperoleh vektor orthonormal:
\mathbf{\tilde{v}}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{\tilde{v}}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \text{ dan } \mathbf{\tilde{v}}_3=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
Satu vektor lagi yang orthogonal dengan \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 dan \mathbf{v}_3 adalah
\mathbf{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
vektor ini dapat diperoleh dengan mudah dari bentuk \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 dan \mathbf{v}_3 ( sebenarnya semua kelipatan dari \mathbf{v}_4 juga bisa). Sehingga bentuk normalize nya adalah
\mathbf{\tilde{v}}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}
Jadi kita telah memperoleh basis orthonormal eigenvector \{\mathbf{\tilde{v}}_1, \mathbf{\tilde{v}}_2, \mathbf{\tilde{v}}_3, \mathbf{\tilde{v}}_4 \}.
Basis orthonormal eigenvector diatas tidaklah unik, karena apabila salah satu \mathbf{\tilde{v}}_i diganti dengan -\mathbf{\tilde{v}}_i kita juga memperoleh basis orthonormal lain. Tapi setiap basis orthonormal eigenvector pasti akan mendiagonalkan B, dan karena bentuk diagonal dari B itu unik terhadap urutan nilai eigen di diagonal, maka setiap basis akan memperoleh matriks diagonal yang sama, tergantung urutan meletakkan eigenvektor pada kolom P. Disini kita akan meletakan \mathbf{\tilde{v}}_i pada kolom ke-i jadi diperoleh matriks
P= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}
Dimana sifat orthonormal menyebabkan P^{-1} = P^T. Jadi P^T B P = D mengakibatkan
AX-XA=B = PDP^T = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -2 \\\frac{3}{2} & 0 & -2 & \frac{3}{2} \\\frac{3}{2} & -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ -2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}
(Perhitungan PD diatas tidak rumit karena D memuat banyak 0, dan pada perhitungan (PD)P^T kita cukup menghitung entri dibawah diagonal dan di diagonal karena B simetrik.)
Dengan operasi baris elementer bisa diperoleh bahwa inverse dari X adalah
X^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 & -1 \\1 & 0 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & -1 \\1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
sehingga
AX-XA = B \Rightarrow X^{-1}A - AX^{-1} = X^{-1}BX^{-1}=\begin{pmatrix}-4 & -\frac{3}{2} & \frac{11}{2} & -6 \\-\frac{3}{2} & 10 & -12 & \frac{11}{2} \\\frac{11}{2} & -12 & 10 & -\frac{3}{2} \\-6 & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} & -4\end{pmatrix}
Tapi ini tidak mungkin karena Trace(X^{-1}A - A X^{-1}) = 0 sedangkan Trace dari matriks di sisi kanan sama dengan 12. Kontradiksi ini membuktikan bahwa tidak ada A yang memenuhi kondisi soal.
Untuk soal yang menggunakan kondisi singular, cara nya serupa, kondisi det(A) = 0 hanya digunakan untuk menentukan bahwa ada nilai eigen yang nol.
Post a Comment: