Soal ujian dan PR matriks.
Beberapa hari yang lalu, saya membuat soal ujian tentang matriks. Tujuan nya adalah memberikan "beberapa materi" yang terangkum pada satu soal.
Tapi ujung-ujung nya, karena sepertinya soalnya kesusahan, saya melakukan beberapa modifikasi agar soalnya bisa dikerjakan secara "manusiawi" dengan cara "kuli" , yang saya sebut soal iseng.
Berikut soal awal nya :
Soal 1
Misalkan X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.
Tentukan semua matriks real simetrik 4 \times 4 , katakanlah A yang memenuhi:
(AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Soal 1 (Iseng version)
Misalkan X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.
Tentukan semua matriks real simetrik 4 \times 4 , katakanlah A yang memenuhi:
(AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Edited: kedua soal tidak mempunyai solusi (buktinya akan ditulis nanti)
Tujuan saya mengubah soalnya menjadi bentuk iseng adalah agar mahasiwa tidak melakukan banyak perhitungan apabila mereka ingin menggunakan cara-cara kuli seperti sebagai berikut:
Yaitu menyatakan B=AX+XA dan kemudian menyatakan
B = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ &a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ &a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ &a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix}
Tapi ini berarti akan diperoleh persamaan linear 16 variabel dengan 12 buah persamaan (13 buah jika berhasil mengobservasi bahwa trace(B)=0). Lebih lagi setelah matriks B ditemukan, untuk menemukan A, masih ada beberapa persamaan yang akan diselesaikan dari AX+XA=B (Tentu saja cara ini tidak praktis).
Beberapa dari nya melakukan menganalisa lebih lanjut sebagai berikut:
Perhatikan bahwa X adalah matriks skew-simetrik yaitu memenuhi X^T = -X. Jadi jika A adalah matriks simetrik (i.e A^T = A) maka
(AX+XA)^T = (AX)^T +(XA)^T = X^T A^T +A^TX^T = -XA + (-AX) = - (AX+XA)
diperoleh AX+XA adalah matriks skew-simetrik. Sehingga semua entri pada diagonal utama matriks B adalah nol. Sehingga diperoleh
B = \begin{pmatrix} &0 &x &y &z \\ &-x &0 &p &q \\ &-y &-p &0 &r \\ &-z &-q &-r &0 \end{pmatrix}
Dengan begini, soal tereduksi menjadi 12 persamaan dengan 6 variabel. (Ya, ada mahasiswa yang menyelesaikan versi iseng dengan cara ini.)
Seperti yang saya bilang sebelumnya, soal versi iseng sebenarnya mereduksi banyak perhitungan, dan tidak perlu sampai 12 persamaan. Cukup dilihat hasil persamaan dari baris pertama kita peroleh sistem persamaan
-x-y+z=-1 \qquad x+y+z=1 \qquad -z=2
yang berakibat persamaan tidak konsisten x+y=3 dan x+y=-1. Jadi tidak ada matriks B yang memenuhi dan tidak matriks A yang memenuhi.
(Iseng-nya sebenarnya pengen lihat apakah ada mahasiswa yang beneran mengerjakan semua 12 persamaan dan kemudian ujung-ujungnya mendapatkan bahwa jawabannya ternyata tidak ada :D )
Kembali lagi ke soal awal, tidak bisa dibuat kontradiksi seperti diatas, dan apabila ada yang mengerjakan sistem persamaan 6 variabel 12 persamaan, maka solusi nya unik dan diperoleh bentuk B yang komponen nya pecahan-pecahan (dengan diagonal entri nya semua nol), selanjutnya menyelesaikan persamaan AX+XA=B.
Solusi-nya akan saya post nanti (Besok adalah deadline untuk soal awal diatas, semoga dikerjain) bersamaan dengan soal versi lebih kejam (mirip soal yang diberi teman saya, dia kasi yang 3 \times 3, yang ini 4 \times 4) :
Tentukan semua matriks real singular simetrik 4 \times 4 , katakanlah A yang memenuhi:
A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
mengapa ini lebih kejam? karena tidak seperti soal awal dan soal iseng, yang semua kondisi nya adalah persamaan linear. Soal ini punya kondisi det(A) =0, yang melibatkan penjumlahan dari perkalian plus-minus. Still, ada cara bagus nya sebenarnya.
Tapi ujung-ujung nya, karena sepertinya soalnya kesusahan, saya melakukan beberapa modifikasi agar soalnya bisa dikerjakan secara "manusiawi" dengan cara "kuli" , yang saya sebut soal iseng.
Berikut soal awal nya :
Soal 1
Misalkan X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.
(AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Soal 1 (Iseng version)
Misalkan X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.
(AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
Edited: kedua soal tidak mempunyai solusi (buktinya akan ditulis nanti)
Tujuan saya mengubah soalnya menjadi bentuk iseng adalah agar mahasiwa tidak melakukan banyak perhitungan apabila mereka ingin menggunakan cara-cara kuli seperti sebagai berikut:
Yaitu menyatakan B=AX+XA dan kemudian menyatakan
B = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ &a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ &a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ &a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix}
Tapi ini berarti akan diperoleh persamaan linear 16 variabel dengan 12 buah persamaan (13 buah jika berhasil mengobservasi bahwa trace(B)=0). Lebih lagi setelah matriks B ditemukan, untuk menemukan A, masih ada beberapa persamaan yang akan diselesaikan dari AX+XA=B (Tentu saja cara ini tidak praktis).
Beberapa dari nya melakukan menganalisa lebih lanjut sebagai berikut:
Perhatikan bahwa X adalah matriks skew-simetrik yaitu memenuhi X^T = -X. Jadi jika A adalah matriks simetrik (i.e A^T = A) maka
(AX+XA)^T = (AX)^T +(XA)^T = X^T A^T +A^TX^T = -XA + (-AX) = - (AX+XA)
diperoleh AX+XA adalah matriks skew-simetrik. Sehingga semua entri pada diagonal utama matriks B adalah nol. Sehingga diperoleh
B = \begin{pmatrix} &0 &x &y &z \\ &-x &0 &p &q \\ &-y &-p &0 &r \\ &-z &-q &-r &0 \end{pmatrix}
Dengan begini, soal tereduksi menjadi 12 persamaan dengan 6 variabel. (Ya, ada mahasiswa yang menyelesaikan versi iseng dengan cara ini.)
Seperti yang saya bilang sebelumnya, soal versi iseng sebenarnya mereduksi banyak perhitungan, dan tidak perlu sampai 12 persamaan. Cukup dilihat hasil persamaan dari baris pertama kita peroleh sistem persamaan
-x-y+z=-1 \qquad x+y+z=1 \qquad -z=2
yang berakibat persamaan tidak konsisten x+y=3 dan x+y=-1. Jadi tidak ada matriks B yang memenuhi dan tidak matriks A yang memenuhi.
(Iseng-nya sebenarnya pengen lihat apakah ada mahasiswa yang beneran mengerjakan semua 12 persamaan dan kemudian ujung-ujungnya mendapatkan bahwa jawabannya ternyata tidak ada :D )
Kembali lagi ke soal awal, tidak bisa dibuat kontradiksi seperti diatas, dan apabila ada yang mengerjakan sistem persamaan 6 variabel 12 persamaan, maka solusi nya unik dan diperoleh bentuk B yang komponen nya pecahan-pecahan (dengan diagonal entri nya semua nol), selanjutnya menyelesaikan persamaan AX+XA=B.
Solusi-nya akan saya post nanti (Besok adalah deadline untuk soal awal diatas, semoga dikerjain) bersamaan dengan soal versi lebih kejam (mirip soal yang diberi teman saya, dia kasi yang 3 \times 3, yang ini 4 \times 4) :
Tentukan semua matriks real singular simetrik 4 \times 4 , katakanlah A yang memenuhi:
A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
mengapa ini lebih kejam? karena tidak seperti soal awal dan soal iseng, yang semua kondisi nya adalah persamaan linear. Soal ini punya kondisi det(A) =0, yang melibatkan penjumlahan dari perkalian plus-minus. Still, ada cara bagus nya sebenarnya.
Post a Comment: