Mendefinisikan fungsi Zeta Riemann, dan Riemann Hypothesis.
Walaupun cabang ini berada pada area Teori Bilangan, namun post yang saya buat ini, lebih pekat ke analisa kompleks, pada kenyataannya, pada post ini kita tidak membicarakan hubungan zeta function dengan bilangan prima.
Definisi awal (bukan definisi yang sebenarnya) dari Fungsi Zeta Riemann diperoleh dari Deret Dirichlet
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\qquad\Re(s)>1\]
Fungsi ini bukan fungsi yang secara umum dimaksud pada Riemann Hypothesis. Fungsi Zeta Riemann yang sebenarnya akan didefinisikan melalui fungsi ini, dan akan dijelaskan pada post ini.
Fungsi ini analytic di $\Re(s)>1$ (Fungsi nya sendiri diperoleh dari proses analitik pada complex; limit, infinite series; tapi deret diatas bukan power series dari $\zeta(s)$ yang memberikan evidensi bahwa $\zeta(s)$ analytic)
Pernyataan dari Riemann Hypothesis adalah (Mungkin bukan formulasi yang paling sederhana, menurut opini saya, formulasi dengan Liouville's Lambda Function lebih sederhana )
[Riemann Hypothesis] Semua akar tak-trivial dari fungsi $\zeta(s)$ berada pada garis kritis $\Re(s)=\frac{1}{2}$.
Sebuah pertanyaan yang muncul disini adalah:
Bukannya deret tersebut divergen untuk $\Re(s) \leq 1$? Lalu mengapa disebutkan $\Re(s)=\frac{1}{2}$? Lalu akar tak-trivial itu apa?
Pertama-tama kita jawab pertanyaan yang pertama dengan mendefinisikan fungsi zeta yang sebenarnya,kita akan menggunakan argumen yang digunakan Riemann.
Karena fungsi diatas hanya terdefinisi ketika $\Re(s)>1$. Bagaimana caranya kita mencapai (baca:define) di $\Re(s)\leq 1$, yaitu mendefinisikannya untuk seluruh bidang kompleks? Lebih lanjut lagi, karena fungsi awal tersebut sudah analitik di $\Re(s) >1$, kita ingin mendefinisikan fungsi ini sedemikian sehingga fungsi nya juga analitik di $\Re(s) \leq 1$.
Salah satu alat yang bisa kita pakai disini adalah analytic continuation, dimana kita dapat mengisi nilai-nilai dari suatu fungsi analitik diluar natural domain nya sehingga menghasilkan fungsi analitik lain dengan domain yang lebih besar. Yakni, dengan menemukan fungsi lain katakanlah $F(z)$ sedemikian sehingga hasil restriksi dari $F(s)$ di $Re(s)>1$ adalah $\zeta(s)$. Sayangnya tidak ada harapan untuk $s=1$, akan kita liat hal ini nanti, sekarang kita fokus untuk menemukan $F$ sedemikian sehingga $F(s)=\zeta(s)$, untuk $\Re(s)>1$, dan fungsi ini harus analitik di sebuah domain yang lebih besar dari $\Re(s)>1$.
Untuk menemukan fungsi ini kita mulai dengan satu-satunya definisi yang kita punya, yaitu untuk $\Re(s)>1$ diperoleh
\[\begin{align*}\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^s}+1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^{s-1}} - \frac{1}{(n+1)^{s-1}}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)^s}-\frac{n+1}{(n+1)^s}+\frac{n}{n^{s}}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1)^s}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} n s\int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx\end{align*}\]
Karena $\lfloor x \rfloor = n$ ketika $x \in [n,n+1)$, kita peroleh $\int_{n}^{n+1}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx=n\int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx$. Kita peroleh
\[\begin{align*}\zeta(s)&=s\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx\\ &=s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx\\ &=s\int_1^{\infty}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx\end{align*}\]
Tulis $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ dimana $\{x\}$ adalah bagian pecahan dari $x$. Jadi
\[\begin{align*}\zeta(s)&=s \int_1^{\infty} x^{-s-1}\lfloor x \rfloor \,dx\\ &=s \int_1^{\infty}(x-\{x\})x^{-s-1}\,dx\\ &=s \int_1^{\infty} x^{-s}\, dx - s\int_1^{\infty} x^{-s-1}\{x\}\, dx\end{align*}\]
Karena $s \int_1^{\infty} x^{-s} \,dx = s \frac{-x^{-s+1}}{-s+1}\mid_1^{\infty}=\frac{s}{s-1}$, kita dapatkan
\[\zeta(s)=\frac{s}{s-1} - \int_1^{\infty}\{x\}x^{-s-1}\,dx\]
Dengan representasi dari $\zeta(s)$ yang ini, dapat dilihat bahwa $\zeta(s)$ mempunyai simple pole di $s=1$, dan juga karena $\{x\} \in [0,1)$ integral $\int_1^{\infty}\{x\}x^{-s-1}\,dx$ konvergen untuk $\Re(s)>0$, berdasarkan uji banding dengan $\int_1^{\infty} x^{-\Re(s)-1} \, dx$. Jadi, dengan menggunakan representasi ini , $\zeta(s)$ terdefinisi untuk $\Re(s)>0$. Kita telah memperbesar domain dari $\zeta(s)$ (dengan menggunakan analytic continuation) dari $\Re(s)>1$ ke $\Re(s)>0$, dan memperoleh informasi tentang simple pole di $s=1$ dengan residue 1 (koefisien dari $(s-1)^{-1}$). Tetapi pekerjaan untuk mendefinsikan $\zeta(s)$ untuk (hampir) setiap bidang kompleks belum selesai.
Untuk melanjutkan, kita pinjam sebuah fungsi dari kuliah Kalkulus Tingkat Lanjut (di Universitas Indonesia kami menyebutnya Matematika Dasar IV), yaitu Fungsi Gamma (Gamma Function).
Fungsi Gamma, awalnya didefinisikan sebagai $\Gamma(s)=\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt$ untuk $s$ bilangan real positif, karena integral tersebut juga konvergen untuk $s$ bilangan kompleks dengan $\Re(s)>0$, maka fungsi Gamma juga terdinisi pada bilangan kompleks , fungsi gamma analitik juga untuk $\Re(s)>0$ (beberapa kali kita memakai fakta bahwa fungsi yang menggunakan integral atau deret dalam representasinya itu analitik). Bagaimanapun juga hanya dengan menggunakan hal ini, kita tidak bisa lanjut lebih jauh melebihi $\Re(s)>0$, tapi untungnya, dengan menggunakan analytic continuation, Fungsi Gamma juga bisa diperluas menjadi fungsi analitik di seluruh bidang kompleks kecuali untuk $s=0, -1,-2, \cdots, -n, \cdots$ (liat link, atau baca lagi buku Kalkulus Tingkat Lanjut)
Menggunakan hal diatas fungsi $\Gamma(s)$ dapat didefinsikan di $\mathbb{C}/\{0,-1,-2,\cdots\}$, dan terlebih lagi analitik disana. Hubungan antara $\zeta$ dan $\Gamma$ dapat diperoleh sebagai berikut
\[\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)=\int_0^{\infty}t^{s/2-1}e^{-t}\, dt\]
Substitusikan $t=n^2\pi u$ kita dapatkan
\[\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)=\int_0^{\infty}\pi^{\frac{s-2}{2}} n^{s-2} u^{\frac{s-2}{2}} e^{-n^2 \pi u} (n^2 \pi)\,du=n^s \pi^{\frac{s}{/2}}\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} e^{-n^2 \pi u} \, du\]
Setara dengan
\[\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\left(\frac{1}{n^s}\right)=\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} e^{-n^2 \pi u} \, du\]
Jumlahkan dari $n=1$ ke $\infty$ dan karena integral di sisi kiri konvergen uniform, kita bisa menukar integral dan sumasi dan menghasilkan
\[\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s) = \int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} \left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi u}\right) \, du\]
Kita pinjam lagi fungsi dari kalkulus tingkat lanjut yaitu, Jacobi-Theta Function, yang didefinisikan sebagai $\theta(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}$. Oleh karena itu $\theta(it)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}$. Karena "$\sum_{n=-\infty}^{0} e^{-n^2 \pi t} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n^2\pi t}$", jadi
\[\theta(it)=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}+ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi t}=2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}+1.\]
sehingga $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi t} = \frac{\theta(it)-1}{2}$. Sehingga fungsi zeta dapat dinyatakan sebagai
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} \left(\frac{\theta(ui)-1}{2}\right)\, du\]
Dari sini kita akan menggunakan persamaan fungsi dari $\theta$, yaitu $(-ix)^{\frac{1}{2}}\theta(x)=\theta\left(-\frac{1}{x}\right)$, yang buktinya cukup susah (liat di buku tentang Special Function), pesamaan ini dapat diperoleh melalui transformasi modular dari jacobi function, biasanya juga disebut Identitas Jacobi (Liat link diatas, tapi tidak ada buktinya). Substitusikan $x \mapsto ix$ ke persamaan fungsi diatas diperoleh $x^{\frac{1}{2}} \theta(ix)=\theta\left(\frac{-1}{ix}\right)=\theta\left(\frac{i}{x}\right)$.
\[\begin{align*}&\int_0^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx=\\ &\int_0^{1}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx+\int_1^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\end{align*}\]
Dengan substitusi $x \mapsto \frac{1}{x}$ ke Integral pertama diperoleh
\[\begin{align*}\int_0^1x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\, dx&= \int_{\infty}^{1}x^{-s/2+1}\left(\frac{\theta\left(\frac{i}{x}\right)-1}{2}\right)\left(\frac{-1}{x^2}\right)\, dx \\ &= \int_1^{\infty} x^{-s/2-1}\left(\frac{x^{1/2}\theta(ix)-1}{2}\right)\\ &= \int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}\theta(ix)-x^{-s/2-1/2}}{2}\\ &+ \int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}-x^{-s/2-1}}{2} \, dx\\ &=\int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}\theta(ix)-x^{-s/2-1/2}}{2}+\frac{1}{s(s-1)}\end{align*}\]
Jadi
\[\int_0^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\]
\[=\frac{1}{s(s-1)}+\int_1^{\infty}(x^{-s/2-1/2}+x^{s/2-1})\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\]
Dan Fungsi Zeta Riemann terdefinisi sebagai
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\left(\frac{1}{s(s-1)}+\int_1^{\infty}(x^{-s/2-1/2}+x^{s/2-1})\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\right)\]
Perhatikan bahwa fungsi Gamma mempunyai simple pole di $s=0$, jadi $\frac{1}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}$ saling menghilangkan simple pole yang juga di $s=0$ yang diperoleh dari $\frac{1}{s(s-1)}$.
Karena $\theta(xi)$ tumbuh secara eksponensial (baca buku Persamaan Differensial, Pengantar transformasi Laplace), integrak diatas konvergen untuk $s\in \mathbb{C}$, jadi ekspresi yang berada di kanan merupakan fungsi analitik di $s \in \mathbb{C}$ kecuali untuk for $s=1$ (dimana penyebutnya nol) dan $s=-2,-4,-6, \cdots$ (dimana $\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)$ tidak analitik, yaitu mempunyai pole) jadi kita telah memperluas fungsi zeta menjadi fungsi analitik pada domain $\mathbb{C}/\{1,-2,-4,\cdots,-2k,\cdots\}$. Pertanyaan pertama selesai.
Untuk pertanyaan kedua, apa itu akar tak-trivial dari $\zeta(s)$, singkatnya, kita sebut $s$ sebagai akar trivial jika dan hanya jika $s$ merupakan pole dari $\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)$ yang tidak ter-cancel ($s\neq 0$), yaitu $s=-2,-4,\cdots$. Akar lain yang diketahui berada pada $0\leq \Re(z) \leq 1$, disebut akar tak-trivial. Yup, Riemann Hypothesis menanyakan apakah akar ini selalu berada pada garis $\Re(s)=\frac{1}{2}$, atau berbentuk $s=\frac{1}{2} + bi$
Telah diketahui bahwa beberapa milyar akar pertama dari akar tak-trivial dari $\zeta(s)$ memenuhi prediksi Riemann Hypothesis. Jadi pernyataan nya mungkin benar. Tapi pembuktiannya sangatlah susah, dan diketahui, teknik yang dipakai pada area ini sangat beragam, dan belum ada yang berani mengklaim teknik mana yang akan membawa ke bukti yang diinginkan (silahkan liat di arXiv.org)
Post selanjutnya (sedang di draft) membicarakan tentang hubungan nya dengan bilangan prima, dan Li function.
Post a Comment: