New Tag [Unofficial Skripsi Advisor]

Following the new semester, I have some of my junior working on their undergraduate thesis (so called skripsi) with me, since I cannot come to campus quite often, I'm planning to direct them on their skripsi via this blog (LaTex would help).  

The tag is [Unofficial Skripsi Advisor] and will be indicated on its title post by  abbreviation [UnSA]. 

The proofs that will be presented might also being found on the books. But, it will be described in detail. Also, some proofs might be also a new proof based on recent Journal (if it is more elementary than the already known proof).      

IMO Problem-Linear Code-Probabilistic Method

Yesterday on some studying session, we solved the following Combinatorics Problem which is an IMO 1998 problem 2 day 1.


IMO 1998/2

In a contest, there are $m$ candidates and \(n\) judges, where \(n\geq 3\) is an odd integer. Each candidate is evaluated by each judge as either pass or fail. Suppose that each pair of judges agrees on at most \(k\) candidates. Prove that

\[\frac{k}{m} \geq \frac{n-1}{2n}\]


On my way home from the session, I tried to transform the problem into following statement which might be related to Coding Theory


Given $v_1,v_2,\cdots,v_n$ are all vectors in $\mathbb{F}_2^m$ where $n\geq 3$ is an odd integer. If $k$ is an integer such that

\[k \leq \left\lfloor \frac{(n-1)m}{2n} \right\rfloor\]

then there exist vectors $v_i$ and $v_j$ with $1\leq i < j \leq n$, such that $d_H(v_i,v_j) \leq n-k-1$, where $d_H$ denotes the Hamming Distance on $\mathbb{F}_2^m$
Recall that Hamming Distance gives us the number of different components on two vectors.

To see how the second form is derived, we create an $m \times n$ matrix $A$ where the rows represent the candidates and the columns represent the judges. We assign to this matrix, the $ij$-component as follows:

\[[A]_{ij}= \begin{cases} 1 &\text{If candidate $i$ is accepted by judge $j$} \\\ 0 &\text{If candidate $i$ is rejected by judge $i$}\end{cases}\]

Now denote the $i$-th column vectors of $A$ by $v_i$ which is clearly in $\mathbb{F}_2^m$. The Hamming Distance $d_H(v_j,v_i)$ represents the number of different result obtained by judge $i$ compared to judge $j$. Since $v_i \in \mathbb{F}_2^n$, the number of the same results obtained by the pair of judges $i$ and judges $j$ is $n-d_H(v_j,v_i)$

By IMO 1998 problem, if the above quantity is known to be at most $k$ for every pairs $(v_i,v_j)$ then the inequality $\frac{k}{m} \geq \frac{n-1}{2n}$ holds. The contraposition of this statement asserts that:

If the inequality $\frac{k}{m} \geq \frac{n-1}{2n}$ failed to hold then there exist at least one pairs $(v_i,v_j)$ such that $n-d_H(v_j,v_i)$ is greater than $k$. Which is simplified to

If $k \leq \left\lfloor \frac{(n-1)m}{2n} \right\rfloor$ then $d_H(v_j,v_i) \leq n-k-1$.

Next we will use the standard notation of Linear Code in Coding Theory which is $(n,k,d)$ and immediately deduce the following Corollary

Corollary

For any odd integers $k\geq 3$ and integers $n$, there is no linear code $(n,k,d)$ whenever $d > \frac{2k^2-kn+n}{2k}$.

Proof : If such a code exists, then $d > \frac{2k^2-kn+n}{2k}$ implies $k-d < \frac{-n+kn-2k^2 + 2k^2}{2k} = \frac{n(k-1)}{2k}$ thus there exists two vectors $v_j$ and $v_i$ on $\mathbb{F}_2^n$ with $ d_H (v_i , v_j )< k-( k- d) = d$. Contradiction, since $d$ is the minimum distance.

The Official Solution can be found on IMO Compendium Book.

We can also prove this by Probabilistic Method which is a powerful method for proving existence (see The Probabilistic Method by Noga Alon & Joel H. Spencer)

Solution:

Take two judges randomly and uniformly, let $X$ be a random variable which count the number of times the random pairs of judges agree. We wish to prove the contraposition, that is whenever $\frac{k}{m} < \frac{n-1}{2n}$ then $X$ is greater than $k$, with positive probability (i.e $\text{Prob}(X > k) > 0$).

For, $i=1,2,\cdots,m$, let $X_i$ be the $\{0,1\}$-valued random variable which represent wether or not the candidates $i$ being agreed by the pair of judges. Here $X_i=1$ if the pair of judges agree and $0$ otherwise. Thus we have
\[X=X_1+\cdots+X_m\]
taking the Expected Value of the both sides and using the linearity of Expected Value, we have
\[E[X]=E[X_1]+\cdots+E[X_m]\]

Next, we calculate $E[X_i]=\sum_{X_i \in \{0,1\} } X_i \cdot \text{Prob}(X_i)$, since $X_i$ only has value $0$ or $1$, we have $E[X_i]=\text{Prob}(X_i=1)$. Let's calculate $\text{Prob}(X_i=1)$, which is the probability that the candidate $i$ being agreed by the pairs of judges. There are ${n \choose 2}$ possible pairs. Suppose that $t_i$ is the number of judges who accept candidate $i$, then $n-t_i$ is the number of judges who reject candidate $i$. The number of pairs of judges who accept $i$ is ${t_i \choose 2}$, and the number of pairs of judges who reject $i$ is ${n-t_i \choose 2}$. The total number of pairs of judges who agree on $i$ is ${t_i \choose 2}+{n-t_i \choose 2}$. And so

$E[X_i]=\text{Prob}(X_i=1) = \frac{{t_i \choose 2}+{n-t_i \choose 2}}{{n\choose 2}}$

Thus

\[E[X]=\sum_{i=1}^m \frac{{t_i \choose 2}+{n-t_i \choose 2}}{{n\choose 2}}\]

We prove that for odd $n$, the inequality ${t_i\choose 2}+{n-t_i \choose 2} \geq \frac{(n-1)^2}{4}$. Indeed, the inequality is equivalent to

\[(n-2t_i)^2 \geq 1 \Rightarrow t_i \leq \frac{n-1}{2} \mbox{ or } t_i \geq \frac{n+1}{2}\]

which is true, since the candidate is either being failed/accepted by at most $\frac{n-1}{2}$ judges or being failed/accepted by at least $\frac{n+1}{2}$.

Using this inequality we have

\[E[X]\geq m \frac{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{m(n-1)}{2n}\]

by hypothesis $\frac{m(n-1)}{2n} > k$, so we have $E[X]>k$, thus $\text{Prob}(X>k) >0$, and hence we are done.

The essence of proof is actually no different with the official proof, which is shorter. But what all I want to rephrase here is the probabilistic method :D

Early Algebraic Variety, Coordinate Ring

I wrote this up, because i don't want to forget it, I made a pdf files about variety, but hasn't finished it yet... It is hard to keep things alive in your mind, if you don't get used to it a lot, after I manage to bear algebraic geometry in my faculty through a student skripsi while ago I managed to write some stuffs about variety in an undergraduate level (of course for those who have familiar with commutative algebra).. Now it's going to fade again, maybe because some are not use with "many definitions" math (that is modern math :D)

Let's recall an important thing I wrote up in the previous post. For a closed set $X$ on the affine space $\mathbb{A}^n$, define the ideal

\[\mathfrak{A}_X :=\{f\in k[T_1,\cdots,T_n] | f(X)=0\}\]

The above is indeed an ideal, we can see it by construction of the map $\tau: k[T] \rightarrow k[X]$ where $k[X]$ is the ring of regular function.

Theorem

Let $X$ be a closed set of affine space $\mathbb{A}^n$, then the following are equivalent:
i)   $X$ be an irreducible closed set
ii)  $\mathfrak{A}_X$ is prime ideal
iii)  $k[X]$ is integral domain.

Recall that for the ring $R$ and Ideal $I$, $R/I$ is integral domain iff $I$ is prime ideal (it's standard exercise in undergraduate algebra). By the isomorphism applied on $\tau:k[T]\rightarrow k[X]$, we have $k[X]\cong k[T]/\mathfrak{A}_X$, so we have the equivalence of ii) and iii).
Now we want to prove the equivalence of iii) and i) by negating the statement first and obtain $X$ is reducible if and only if $k[X]$ is not integral domain, or equivalently $k[X]$ has zero divisors.

Suppose that $X$ is defined by polynomials $F_i$.  Let $r$ and $s$ be a zero divisor of $k[X]$, the set $A=\{y\in X | r(y)=0\}$ and $B=\{y\in X | s(y)=0\}$ define closed sets (be cautious that $r$ and $s$ are not necessary polynomials, but still $A$ and $B$ are closed sets), which are propers subset of $X$, hence $A\cup B \subset X$, furthermore for any $x\in X$ we have $s(x)r(x)=0$ therefore $x\in A$ or $x\in B$, that is $x\in A\cup B$, and we also have $X\subset A\cup B$. Therefore $X=A\cup B$, and $X$ is reducible.

Suppose that $X$ is reducible, then we can find the closed set $A$ and $B$ such that $X=A\cup B$,  consider $\mathfrak{A}_A$ and $\mathfrak{A}_B$, since $A\subset  X$ and $B \subset X$ we have by Theorem on previous post  $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_A$ and $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_B$. Since the subset is proper, we can take $F\in \mathfrak{A}_A$ and $G\in \mathfrak{A}_B$ such that $F,G\not\in \mathfrak{A}_X$, by this condition the regular function $f$ and $g$ in $k[X]$ whose representation is  $F$ and $G$ respectively are both nonzero elements of $k[X]$ (if it is zero then $F,G\in \mathfrak{A}_X$ contradicting our choice of $F$ and $G$).  Therefore $F(x)G(x)=0$ for all $x\in X$, thus $FG\in \mathfrak{A}_X$ and we conclude that  in $k[X]$ the regular function $fg$ associate to a zero function, and since $f$ and $g$ are both nonzero in $k[X]$ with $fg=0$  in $k[X]$, thus $f$ and $g$ are zero divisor.

The Zariski Topology and The ring of Regular Function

We know generalized the notation of Algebraic Curve defined in [ALGE I]. Here $k$ is an algebraic closed field.


We say a subset of $\mathbb{A}^n$ is closed set if  the elements of $X$ are the common roots of some (system) of polynomial equations in algebraic closed field $k$. That is $X$ is a common solutions of $F_1=F_2=\cdots=F_k=0$. We say $F_i$ is a defining equations of $X$.

Suppose that we are given $\{X_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathbb{I}}$, the collection of closed sets, where for each $X_{alpha}$ is defined by system of equations $F_{\alpha_i} = 0$, then

\[\bigcap_{\alpha \in J} X_\alpha\]

is also a closed set, since it is defined by the whole systems (putting all together) $F_{\alpha_i}=0$ for all $\alpha \in I$ and for all $i$.

Also, for any two closed set $X_1$ dan $X_2$, with system $F_i=0$ for $X_1$ and system $G_i=0$ for $X_2$,  the set $X_1 \cup X_2$ is defined by the system $F_i G_j=0$ for all $i,j$.

And finally, the empty set and $\mathbb{A}^n$ are closed set, each defined by equation $1=0$ dan $0=0$, respectively.

Therefore Closed Set $X$ form a topology, we called this topology Zariski Topology.


Example:
Consider the Zariski Topology in the affine line $A^1$, any closed set $X$ in this topology is defined by a polynomial of one variable $F(x)=0$. Indeed, for any closed set $X$, we can associate and ideal $\mathfrak{A}_X=\{f \in k[x]\, | f(x)=0 \, \forall x \in X\}$ of $k[x]$, thus in particular $F \in \mathfrak{A}_X$. Furthermore, since $k[x]$ is a PID, we should have $\mathfrak{A}_X =(F)$, for some polynomial $F$, and thus any closed set $X$ is defined by equation $F(x)=0$, and since $k$ is algebraic closed we have $F(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k)$ so that $X=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$, that is a closed set of this topology are those set with finitely many elements. Conversely for any finite set $X=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$ we can form a polynomial $F(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_k)$ as the equation defining $X$, and so $X$ is a closed set. We conclude that all closed set of the Zariski Topology in $A^1$ are those finite set of $k$.



The ideal $\mathfrak{A}_X$ introduced in the above example, is important on characterizing the closed set. Another way to look at it, is as follow:

Let $k[T_1,T_2,\cdots,T_n]$ be the ring of polynomial of several variables, for convenience we will denote it further as $k[T]$. For any closed set $X$, consider all function $f: X \rightarrow k$ such that there exists $F\in k[T]$ satisfy $F(x)=f(x)$ for all $x \in X$. Such a function $f$ is called regular function.
We can form the ring $k[X]$, consisting all regular function on $X$. Furthermore any $f \in k[T]$ we include $f|_X \in k[X]$ (the restriction function of $f$ in X). We can check that $k[X]$ form a ring with usual addition and multiplication of functions.

Consider the homomorphism $\psi : k[T] \rightarrow k[X]$, which send any $f \in k[T]$ to $f|X \in k[X]$, $\psi$ is easily checked to be a homomorphism and since $k[X]$ is regular $\psi$ is also onto. The kernel of $\psi$ is
\[\{F \in k[T] |\,F(P)=0 ,\forall \, P \in X \}\]
which is exactly $\mathfrak{A}_X$. Moreover by isomorphism theorem we have $k[T]/\mathfrak{A}_X \cong k[X]$.
This proves that $k[X]$ is determined by the ideal $\mathfrak{A}_X$.

Remark:By Hilbert Basis Theorem, every ideal in $R[T]$ where $R$ is a nonetherian ring is finitely generated. Here $R=k$ is a field (which has $(0)$ or $k$ only has ideals) therefore clearly nonetherian ring, thus $k[T]$ is finitely generated. Being the homomorphic image of $k[T]$, $k[X]$ must also finitely generated

More interesting from the remark is  that $\mathfrak{A}_X$ being an ideal is also finitely generated, therefore any closed set $X$, can be described as the common roots of finitely many polynomial equations!
This could be noted more, that whenever $F_i$ are the defining equations of $X$, it is not always the case that $\mathfrak{A}_X=(F_1,\cdots,F_k)$. Clearly by definition $F_i \in \mathfrak{A}_X$. Since $\mathfrak{A}_X$ is finitely generated say by $G_i$ (which can be obtained as Grobner Bases), we can take $G_1=G_2=\cdots=G_l=0$ as the defining equation of $X$.

Furthermore, suppose that $f\in k[X]$ is vanish at all points for which  $g_1,\cdots,g_k \in k[X]$ are also vanish, we can associate $F\in k[T]$ as an inverse image of $f$ under homomorphism $\psi$, and similarly $G_i\in k[T]$ for each $g_i$ mentioned above. By Hilbert Nullstellensatz, since $F$ vanish at the same the points as $G_i$, and also in $F_i$ (the defining equations of $X$) therefore we have $F^r \in (G_1,G_2,\cdots,G_k, F_1,F_2,\cdots,F_l)$,  and we have $f^r \in (g_1,\cdots,g_k)$ (since all $F_i$ is associate to zero polynomials in $k[X]$ by $\psi$.)

Theorem
Let $X$ and $Y$ be closed sets. Then $Y \subset X$ if and only if $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$

proof:

Suppose that $Y \subset X$, take $f\in \mathfrak{A}_X$, then $F(P)=0$ for all $P \in X$, since $Y \subset X$, therefore for every $Q\in Y$ we should have $F(Q)=0$, thus $f\in \mathfrak{A}_Y$.
Now suppose that $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$ and $Y \not \subset X$, that is there exists $Q \in Y$ such that $Q \not \in X$. Suppose that $\mathfrak{A}_X=(G_1,G_2,\cdots,G_k)$ , then $G_i \in \mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$, therefore we have $G_i(Q)=0$, and hence $F(Q)=0$ for all $F \in \mathfrak{A}_X$, thus in particular $Q$ is a common root of the defining equations of $X$, and hence $Q\in X$, a contradiction.

Bacot-Bacot tentang definisi limit

Salah satu tantangan bagi seorang pengajar Kalkulus adalah bagaimana memberikan penjelsan pada konsep limit yang menggambarkan hubungan yang jelas antara intuisi dan definisi.


Kebanyakan orang yang berlatar math, jika ditanya "limit itu apa?" maka bagi yang tau definisi akan langsung menjawab menggunakan epsilon-delta, lalu apabila ditanya lebih lanjut, "mengapa demikian?" , maka dapat menjawab "karena itu definisi".

Sekarang jika misalkan kita diberikan definisi limit seperti ini:

$\exists\, \delta>0 \forall \epsilon>0 \, \ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

atau

$\exists\,\epsilon>0\forall\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

atau

$\exists\,\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow \forall\,\epsilon>0\, |f(x)-L|<\epsilon)$atau (saya memperoleh ini ketika saya pertama kali mencoba mencari definisi tentang limit)

\[\begin{align*}\exists \, &s:\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\,\text{monoton naik dan $s(0)=0$}\\ \ni \, &\forall \delta>0 \,\forall x \, (|x-c|<\delta \Rightarrow \, |f(x)-L|<s(\delta))\end{align*}\]

Mau percaya begitu aja??

Yang pertama menyatakan bahwa terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sedemikian sehingga pada batas tersebut, jarak antara $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat sekecil mungkin. Hal ini salah karena pada saat kita menentukan suatu batas jarak dari $x$ dan $c$, jarak antara $f(x)$ dan $L$ secara otomatis akan tertentu, sehingga pernyataan diatas terlalu naif untuk benar (dapat benar jika $f(x)$ konstan)

Yang kedua lebih jauh dari makna limit, yaitu menyatakan ketika $x$ dan $c$ dapat sedekat mungkin, maka jarak $f(x)$ dan $L$ tidak akan melebihi suatu kuantitas, sangat bertentangan dengan menyatakan $L$ adalah limit dari $f$.

Yang ketiga menyatakan terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sehingga pada nilai-nilai $x$ di bawah batas jarak tersebut, $f(x)$ dan $L$ menjadi lebih dekat dari apapun. Kesalahannya terletak pada kenyataan bahwa, $f(x)$ menjadi lebih dekat dari apapun, berarti $f(x)=L$ pada saat $|x-c|<\delta$, sedangkan hal ini tidak mesti benar.

Yang keempat terlalu ribet dan rekursif, karena berarti mencari fungsi $s$ yang memenuhi $\lim_{t \rightarrow 0} s(t)=0$. meskipun ini benar dengan teorema apit.

Memang dalam matematika, definisi adalah hak bebas bagi seorang matematikawan untuk menciptakan nya, tapi tentunya juga menurut etika yang ada dalam cabang ilmu tersebut, definisi itu harus konsisten dan pas dengan yang dituju, dan pada perkembangannya, matematikawan akan memilih definisi yang paling umum dan konsisten.

Sebelum pengetahuan kita tentang definisi yang sebenarnya "mengganggu motivasi murni" kita, anggap kita adalah orang yang tidak tahu apa-apa tentang definisi limit dalam $\epsilon-\delta$. Misalkan anda hidup dijaman sebelum Bolzano, Cauchy dan Weierstrass memberikan definisi yang formal $\epsilon-\delta$ tentang limit atau misalkan anda sebagai teman dekat dari Sir Isaac Newton, diminta oleh Newton sendiri untuk membantunya memformalkan konsep limit dalam bahasa matematika. cukup menghayalnya :D mari kita mulai dengan pertanyaan:

Apakah itu limit dari sebuah fungsi?

Untuk membantu intuisi kita, mari lihat grafik dari $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Jika ditanya $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ maka jawabannya adalah 1, yakin? kenapa 1? karena dari gambar grafik $f(x)$ menuju nilai $1$. Hal ini juga disokong oleh fakta numerik berikut

\[\begin{array}{lcr} x & \frac{\sin x}{x} \\ 0.5 & 0.9588 \\ 0.1 & 0.9983 \\ 0.095 & 0.9984 \\ 0.05 & 0.9999\end{array}.\]

tapi tetap saja, hal ini tidak cukup memuaskan secara matematika. Yang dapat kita maknai disini adalah dalam menyatakan suatu limit, kita sebelumnya sudah mempunyai sebuah angka yang "sepertinya" merupakan limit dari $f(x)$, yaitu $L$.

Berawal dari hal ini, definisi yang kita punya nanti harus dapat memberikan garansi penuh bahwa $L$ yang kita punya adalah limit tersebut. Dengan kata lain, definisi memberikan jawaban dari tantangan :

"Apabila anda berani mengatakan bahwa $\large L$ adalah limit dari $\large f(x)$ ketika $\large x$ menuju $\large c$, tunjukkan pada saya"

Dengan demikian kita memilih satu buah $L$ dari tak-hingga dan tak-terhitung kemungkinan bilangan real, dan kita cek apakah $L$ memenuhi definisi kita. We'll see it later :D..

Notasi Limit adalah

\[\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L\]

dapat menyatakan:

"Apabila $x$ bergerak menuju $c$ maka $f(x)$ bergerak menuju $Lquot;.

Dalam bahasa lain, "apabila $x$ dan $c$ semakin dekat maka $f(x)$ semakin dekat dengan $Lquot;. Pernyataan ini kita ambil sebagai definisi intuitif. Adalah hal yang ingin kita abstrakkan, tentunya dengan beberapa tambahan sebagai berikut:

Nilai $L$ harus unik.
Nilai $f(c)$ tidak harus terdefinisi dan kalaupun terdefinisi tidak harus sama dengan $L$.

Sangat kritis apabila ditanyakan ulang: Mengapa kita yakin ini benar? Bagaimana jika kita tidak mendapatkan cara pikir seperti diatas? Bagaimana jika dengan cara berpikir yang beragam definisi yang diperoleh jadi beda?

Kita bisa saja mendapatkan definisi yang beda, tapi apakah hal tersebut sesuai dengan kesepakatan?

Apabila dari awal kita sudah menentukan tujuan dan maksud dari menyatakan limit, maka hampir dapat dipastikan bahwa hanya ada satu definisi yang mungkin, terlepas dari ekuivalen antar definisi.

Pada hal ini, untuk maksud apa kita mendekatkan $x$ dengan $c$? karena harapannya agar $f(x)$ dekat dengan suatu nilai $L$, setelah sebelumnya menemukan nilai $L$ sedemikian sehingga jika $x$ semakin dekat dengan $c$ maka $f(x)$ semakin dekat dengan $L$.

Dengan kata lain nilai $L$ disebut suatu limit dari $f(x)$ berarti $L$ adalah nilai terakhir (ultimate) yang paling dekat dengan $f(x)$ ketika $x$ menuju $c$, lebih tegasnya tidak ada bilangan lain yang sedekat $L$ dengan $f(x)$ pada saat $x$ dekat dengan $c$. Dapat diringkas:

3. Berkaitan dengan tambahan (1), nilai $L$ adalah nilai yang ultimate, tidak ada nilai lain yang merupakan approksimasi atau pendekatan yang lebih baik dari $f(x)$ selain dari $L$, ketika $x$ dekat $c$.

Yang menjadi fokus kita adalah seberapa dekat $f(x)$ dan $L$, dan hal yang dapat kita kontrol kita adalah variabel $x$ yang dapat kita geser-geser mendekat ke $c$. Seperti halnya jika anda ditanya "Mengapa Limit dari $f(x)$ adalah $L$ ketika $x$ menuju $c$?" tentunya jawabannya secara ringkas akan fokus pada "karena $f(x)$ dan $L$ itu blablabla , ketika $x$ menuju $c$ atau dalam bentuk "karena ketika $x$ menuju $c$ $f(x)$ dan $L$ itu blablabla", dua jawaban tersebut fokus ke $f(x)$ dan $L$, sedangkan frasa "$x$ menuju $c$ hanyalah perulangan dari pertanyaan, begitu kan?

Mari kita telaah lagi kata "dekat" , untuk membahasakan ini, dibutuhkan notasi dari "dekat", dan hal ini tentunya berhubungan dengan "jarak". Yup dua objek dapat disebut dekat berdasarkan jaraknya. Khususnya pada dimensi satu, jarak antara titik $c$ dan $x$ adalah $|x-c|$ dan jarak antara $f(x)$ dan $L$ adalah $|f(x)-L|$:

"$L$ adalah bilangan sedemikian sehingga $|f(x)-L|$ kecil apabila $|x-c|$ kecil."

namun kekurangannya disini terletak pada persisi kata "kecil". Seperti pada tabel diatas, jarak $|x-0|$ dan $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|$ berubah-ubah hampir tak terduga jika tanpa perhitungan, dan jika dilihat dari gambar, sebenarnya perubahan antara keduanya berhubungan.

Masalahnya $|x-c|$ dan $|f(x)-L|$ mempunyai perubahan jarak yang berbeda, contoh nya $\left|\frac{\sin 0.5}{0.5}-1\right|=0.0412$ sedangkan $|0.5-0|=0.5$, terlebih lagi pada fungsi yang berbeda, perubahan jarak $|f(x)-L|$ juga akan berbeda. Jadi tujuannya adalah membuat $|f(x)-L|$ kecil dengan cara membuat $|x-c|$ kecil.

Karena perbedaan dalam perubahan mereka, mari kita nyatakan $|x-c|=\delta$ dan $|f(x)-L|=\epsilon$, karena $\delta$ dan $\epsilon$ tertentu maka nilai $x$ yang memenuhi dua persamaan tersebut akan berhingga (jadi seperti sistem persamaan dalam $x$). Kemudian menyatakan "kecil" berarti membatasi dengan standar kuantitas yg relatif, jadi tentunya lebih benar jika kita menyatakan $\delta>0$ sebagai bilangan sehingga $|x-c|<\delta$ dan $\epsilon>0$ adalah bilangan sehingga $|f(x)-L|<\epsilon$. Hal ini dapat mengantisipasi kata "kecil" yang kita peroleh sebelumnya, karena seperti yang telah dikatakan sebelumnya, kecil saja "tidak persisi" jadi penggunaan $ < \epsilon$ lebih flexibel.


Karena nilai dari fungsi $f(x)$ bergantung dengan $x$, maka definisi kita akan memuat bentuk proposisi $|x-c|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.

Kontrol kita disini terletak pada variable $x$, karena $x$ adalah variabel yang digerakkan/berubah (oleh kita) menuju $c$, sedangkan $f(x)$ menuju $L$ adalah hasil implikasi nya. Sekarang informasi yang diperoleh adalah

"jarak $f(x)$ dan $L$ dapat menjadi sangat kecil seiring dengan mengecilnya jarak $x$ dan $c$, ketika $x$ berubah."

yang menganggu adalah "kecil", hal relatif ini susah dibahasakan dalam bahasa formal, contohnya $10^{-10}$ itu tidak kecil jika dibandingkan dengan $10^{-10^{10}}$. Tetapi "semakin kecil" lebih mudah dibahasakan. Maka dari itu, akan lebih baik apabila kita sebagai 'pemain' yang menentukan jarak-jarak tersebut, diberikan kontrol(untuk menentukan) pada nilai-nilai yang dapat semakin kecil. Kata kecil lebih aman dihilangkan pada $|x-c|$, karena kontrol kita pada variabel $x$ lebih baik, sedangkan untuk $|f(x)-L|$ bergantung dengan jenis fungsinya, yang pada kasus ini sebarang. Oleh karena itu diperoleh

"Dengan cara membatasi jarak $|x-c|$ menurut nilai $x$ yang berubah maka jarak $|f(x)-L|$ pada nilai $x$ tersebut akan ikut terbatasi"

Bagaimana menyatakan "Dengan cara" dalam notasi matematika, tentunya secara logika, apabila kita menyebut "dengan cara" maka hal tersebut berarti kita mempunyai suatu tujuan, dan untuk mencapai tujuan tersebut maka "dengan cara" blablabla.

Pada kasus ini tujuan nya adalah membatasi nilai $|f(x)-L|$. Oleh karena itu tentunya Logisn, jika kita tentukan terlebih dahulu tujuan kita, baru kemudian menuliskan bagaimana cara nya mencapai tujuan tersebut. Perhatikan juga bahwa nilai $x$ yang dimaksud harus berada dalam lingkup domain $f$, agar $f(x)$ terdefinisi. Diperoleh

"Untuk membatasi $|f(x)-L|$ berdasarkan variabel bebas $x$ yang berada pada domain dari fungsi $f$, dapat dilakukan dengan cara membatasi $|x-c|$ pada nilai $x$ tersebut"

Selanjutnya adalah memperjelas tujuan tersebut.

Seberapa banyak kita ingin membatasi $|f(x)-L|$?

Tentu saja sekecil mungkin.

Mengapa?

Karena untuk menjawab tantangan yang diberikan definisi, yaitu berani menyatakan bahwa $f(x)$ menuju $L$ atau berani menyatakan $L$ adalah limit dari $f(x)$, maka berarti berani menyatakan $|f(x)-L|$ sangat kecil, yang berarti jarak $f(x)$ dan $L$ sangat dekat, bahkan untuk lebih menjawab tantangan tersebut kita mungkin bisa mengatakan $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat apapun yang kita mau. wahh, really? Iya, dengan demikian secara tak langsung kita telah menyatakan bahwa $L$ adalah bilangan yang paling dekat dengan $f(x)$, hal ini sesuai dengan sifat "ultimate" dari $L$.

Jika benar demikian maka definisi nya akan menjadi

"Kita dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi nilai dari $|x-c|$ menurut variabel bebas $x$

dalam jarak ini berarti

"Kita dapat membuat jarak $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$

Terlihat menjanjikan dan kuat untuk menjawab tantangan? Bisa dibilang jika pernyataan diatas benar - benar terpenuhi maka tantangan akan lebih dari terjawab, dengan kata lain, sesumbar yang menyatakan "dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin" bahkan terlalu memuaskan untuk mendefinisikan kata "dekat".

Mari kita mulai membentuk definisi diatas dengan notasi matematika (jika bisa), jika masih belum bisa, kita akan mengubah lagi kata-kata nya sampai penerjemahannya kedalam notasi matematika menjadi mungkin.

Apabila kita ingin membuat/menentukan jarak $f(x)$ dan $L$, maka kita tentukan suatu bilangan misalkan $\epsilon$ yang merupakan bilangan positif (karena jarak tidak negatif dan jika samadengan nol, berarti mereka berhimpit).
Menyatakan "sekecil mungkin", itu berarti kita dapat menerima $\epsilon$ yang berapapun asalkan positif.

jadi apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka jarak $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat lebih kecil dari $\epsilon$ tersebut, dengan kata lain $|f(x)-L|<\epsilon$

Dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$, berarti menentukan suatu $\delta$ sedemikian sehingga membuat ketaksamaan diatas benar ketika $|x-c|<\delta$.

Ringkasnya

Apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka dapat ditemukan suatu $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk semua $x$ pada domain $f$ pernyataan ($ \ni |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$ benar

Oops kita melupakan aturan (2), yaitu $f(x)$ tidak mesti terdefinisi pada $x=c$, jadi syarat $|x-c|<\delta$ dapat direnggangkan menjadi $|x-c|<\delta$ dan $x\neq c$, dalam notasi dapat diringkas $0<|x-c|<\delta$. Sehingga, dalam notasi quantifer diperoleh

$\forall \epsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \ni \forall \, x \in \text{dom}(f) \, (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

oh well, welcome $\epsilon$! $\delta$ is here :D

Nah sekarang jika ditantang:

"Mengapa anda yakin $\lim_{x\rightarrow c} f(x) =L$ ?"

tinggal jawab:

"Karena saya yakin saya bisa membuat jarak dari $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang anda/saya mau dengan cara membuat jarak $x$ dan $c$ cukup dekat."

jika penantang masih tidak percaya, dan bekata : "ah masa?"

tinggal bilang:

"coba, anda mau nya $f(x)$ dan $L$ sedekat apa? nanti saya cari jarak $x$ dan $c$ yang sesuai agar $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat yang anda mau tadi"

apabila kita sudah menghitung $\epsilon-\delta$ dari awal, maka untuk semua nilai $\epsilon$ yang diberikan penantang akan dapat kita berikan nilai $\delta$.. hal ini akan terus berlanjut sampai yang nantangin capek :D