Early Algebraic Variety, Coordinate Ring

Early Algebraic Variety, Coordinate Ring

10:18:00   Algebraic,

I wrote this up, because i don't want to forget it, I made a pdf files about variety, but hasn't finished it yet... It is hard to keep things alive in your mind, if you don't get used to it a lot, after I manage to bear algebraic geometry in my faculty through a student skripsi while ago I managed to write some stuffs about variety in an undergraduate level (of course for those who have familiar with commutative algebra).. Now it's going to fade again, maybe because they are are not used with "many definitions" math (that is modern math :D)

Let's recall an important thing I wrote up in the previous post. For a closed set $X$ on the affine space $\mathbb{A}^n$, define the ideal

\[\mathfrak{A}_X :=\{f\in k[T_1,\cdots,T_n] | f(X)=0\}\]

The above is indeed an ideal, we can see it by construction of the map $\tau: k[T] \rightarrow k[X]$ where $k[X]$ is the ring of regular function.

Theorem

Let $X$ be a closed set of affine space $\mathbb{A}^n$, then the following are equivalent:
i)   $X$ be an irreducible closed set
ii)  $\mathfrak{A}_X$ is prime ideal
iii)  $k[X]$ is integral domain.

Recall that for the ring $R$ and Ideal $I$, $R/I$ is integral domain iff $I$ is prime ideal (it's standard exercise in undergraduate algebra). By the isomorphism applied on $\tau:k[T]\rightarrow k[X]$, we have $k[X]\cong k[T]/\mathfrak{A}_X$, so we have the equivalence of ii) and iii).
Now we want to prove the equivalence of iii) and i) by negating the statement first and obtain $X$ is reducible if and only if $k[X]$ is not integral domain, or equivalently $k[X]$ has zero divisors.

Suppose that $X$ is defined by polynomials $F_i$.  Let $r$ and $s$ be a zero divisor of $k[X]$, the set $A=\{y\in X | r(y)=0\}$ and $B=\{y\in X | s(y)=0\}$ define closed sets (be cautious that $r$ and $s$ are not necessary polynomials, but still $A$ and $B$ are closed sets), which are propers subset of $X$, hence $A\cup B \subset X$, furthermore for any $x\in X$ we have $s(x)r(x)=0$ therefore $x\in A$ or $x\in B$, that is $x\in A\cup B$, and we also have $X\subset A\cup B$. Therefore $X=A\cup B$, and $X$ is reducible.

Suppose that $X$ is reducible, then we can find the closed set $A$ and $B$ such that $X=A\cup B$,  consider $\mathfrak{A}_A$ and $\mathfrak{A}_B$, since $A\subset  X$ and $B \subset X$ we have by Theorem on previous post  $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_A$ and $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_B$. Since the subset is proper, we can take $F\in \mathfrak{A}_A$ and $G\in \mathfrak{A}_B$ such that $F,G\not\in \mathfrak{A}_X$, by this condition the regular function $f$ and $g$ in $k[X]$ whose representation is  $F$ and $G$ respectively are both nonzero elements of $k[X]$ (if it is zero then $F,G\in \mathfrak{A}_X$ contradicting our choice of $F$ and $G$).  Therefore $F(x)G(x)=0$ for all $x\in X$, thus $FG\in \mathfrak{A}_X$ and we conclude that  in $k[X]$ the regular function $fg$ associate to a zero function, and since $f$ and $g$ are both nonzero in $k[X]$ with $fg=0$  in $k[X]$, thus $f$ and $g$ are zero divisor.

Continue Reading

The Zariski Topology and The ring of Regular Function

The Zariski Topology and The ring of Regular Function

19:44:00   Algebraic Geometry,

We know generalized the notation of Algebraic Curve defined in [ALGE I]. Here $k$ is an algebraic closed field.


We say a subset of $\mathbb{A}^n$ is closed set if  the elements of $X$ are the common roots of some (system) of polynomial equations in algebraic closed field $k$. That is $X$ is a common solutions of $F_1=F_2=\cdots=F_k=0$. We say $F_i$ is a defining equations of $X$.

Suppose that we are given $\{X_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathbb{I}}$, the collection of closed sets, where for each $X_{alpha}$ is defined by system of equations $F_{\alpha_i} = 0$, then

\[\bigcap_{\alpha \in J} X_\alpha\]

is also a closed set, since it is defined by the whole systems (putting all together) $F_{\alpha_i}=0$ for all $\alpha \in I$ and for all $i$.

Also, for any two closed set $X_1$ dan $X_2$, with system $F_i=0$ for $X_1$ and system $G_i=0$ for $X_2$,  the set $X_1 \cup X_2$ is defined by the system $F_i G_j=0$ for all $i,j$.

And finally, the empty set and $\mathbb{A}^n$ are closed set, each defined by equation $1=0$ dan $0=0$, respectively.

Therefore Closed Set $X$ form a topology, we called this topology Zariski Topology.


Example:
Consider the Zariski Topology in the affine line $A^1$, any closed set $X$ in this topology is defined by a polynomial of one variable $F(x)=0$. Indeed, for any closed set $X$, we can associate and ideal $\mathfrak{A}_X=\{f \in k[x]\, | f(x)=0 \, \forall x \in X\}$ of $k[x]$, thus in particular $F \in \mathfrak{A}_X$. Furthermore, since $k[x]$ is a PID, we should have $\mathfrak{A}_X =(F)$, for some polynomial $F$, and thus any closed set $X$ is defined by equation $F(x)=0$, and since $k$ is algebraic closed we have $F(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k)$ so that $X=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$, that is a closed set of this topology are those set with finitely many elements. Conversely for any finite set $X=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$ we can form a polynomial $F(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_k)$ as the equation defining $X$, and so $X$ is a closed set. We conclude that all closed set of the Zariski Topology in $A^1$ are those finite set of $k$.



The ideal $\mathfrak{A}_X$ introduced in the above example, is important on characterizing the closed set. Another way to look at it, is as follow:

Let $k[T_1,T_2,\cdots,T_n]$ be the ring of polynomial of several variables, for convenience we will denote it further as $k[T]$. For any closed set $X$, consider all function $f: X \rightarrow k$ such that there exists $F\in k[T]$ satisfy $F(x)=f(x)$ for all $x \in X$. Such a function $f$ is called regular function.
We can form the ring $k[X]$, consisting all regular function on $X$. Furthermore any $f \in k[T]$ we include $f|_X \in k[X]$ (the restriction function of $f$ in X). We can check that $k[X]$ form a ring with usual addition and multiplication of functions.

Consider the homomorphism $\psi : k[T] \rightarrow k[X]$, which send any $f \in k[T]$ to $f|X \in k[X]$, $\psi$ is easily checked to be a homomorphism and since $k[X]$ is regular $\psi$ is also onto. The kernel of $\psi$ is
\[\{F \in k[T] |\,F(P)=0 ,\forall \, P \in X \}\]
which is exactly $\mathfrak{A}_X$. Moreover by isomorphism theorem we have $k[T]/\mathfrak{A}_X \cong k[X]$.
This proves that $k[X]$ is determined by the ideal $\mathfrak{A}_X$.

Remark:By Hilbert Basis Theorem, every ideal in $R[T]$ where $R$ is a nonetherian ring is finitely generated. Here $R=k$ is a field (which has $(0)$ or $k$ only has ideals) therefore clearly nonetherian ring, thus $k[T]$ is finitely generated. Being the homomorphic image of $k[T]$, $k[X]$ must also finitely generated

More interesting from the remark is  that $\mathfrak{A}_X$ being an ideal is also finitely generated, therefore any closed set $X$, can be described as the common roots of finitely many polynomial equations!
This could be noted more, that whenever $F_i$ are the defining equations of $X$, it is not always the case that $\mathfrak{A}_X=(F_1,\cdots,F_k)$. Clearly by definition $F_i \in \mathfrak{A}_X$. Since $\mathfrak{A}_X$ is finitely generated say by $G_i$ (which can be obtained as Grobner Bases), we can take $G_1=G_2=\cdots=G_l=0$ as the defining equation of $X$.

Furthermore, suppose that $f\in k[X]$ is vanish at all points for which  $g_1,\cdots,g_k \in k[X]$ are also vanish, we can associate $F\in k[T]$ as an inverse image of $f$ under homomorphism $\psi$, and similarly $G_i\in k[T]$ for each $g_i$ mentioned above. By Hilbert Nullstellensatz, since $F$ vanish at the same the points as $G_i$, and also in $F_i$ (the defining equations of $X$) therefore we have $F^r \in (G_1,G_2,\cdots,G_k, F_1,F_2,\cdots,F_l)$,  and we have $f^r \in (g_1,\cdots,g_k)$ (since all $F_i$ is associate to zero polynomials in $k[X]$ by $\psi$.)

Theorem
Let $X$ and $Y$ be closed sets. Then $Y \subset X$ if and only if $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$

proof:

Suppose that $Y \subset X$, take $f\in \mathfrak{A}_X$, then $F(P)=0$ for all $P \in X$, since $Y \subset X$, therefore for every $Q\in Y$ we should have $F(Q)=0$, thus $f\in \mathfrak{A}_Y$.
Now suppose that $\mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$ and $Y \not \subset X$, that is there exists $Q \in Y$ such that $Q \not \in X$. Suppose that $\mathfrak{A}_X=(G_1,G_2,\cdots,G_k)$ , then $G_i \in \mathfrak{A}_X \subset \mathfrak{A}_Y$, therefore we have $G_i(Q)=0$, and hence $F(Q)=0$ for all $F \in \mathfrak{A}_X$, thus in particular $Q$ is a common root of the defining equations of $X$, and hence $Q\in X$, a contradiction. Continue Reading

Bacot-Bacot tentang definisi limit

Bacot-Bacot tentang definisi limit

00:28:00  

Salah satu tantangan bagi seorang pengajar Kalkulus adalah bagaimana memberikan penjelsan pada konsep limit yang menggambarkan hubungan yang jelas antara intuisi dan definisi.


Kebanyakan orang yang berlatar math, jika ditanya "limit itu apa?" maka bagi yang tau definisi akan langsung menjawab menggunakan epsilon-delta, lalu apabila ditanya lebih lanjut, "mengapa demikian?" , maka dapat menjawab "karena itu definisi".

Sekarang jika misalkan kita diberikan definisi limit seperti ini:

$\exists\, \delta>0 \forall \epsilon>0 \, \ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

atau

$\exists\,\epsilon>0\forall\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

atau

$\exists\,\delta>0 \,\ni \forall \, x\in\text{dom}(f)\, (0<|x-c|<\delta\Rightarrow \forall\,\epsilon>0\, |f(x)-L|<\epsilon)$atau (saya memperoleh ini ketika saya pertama kali mencoba mencari definisi tentang limit)

\[\begin{align*}\exists \, &s:\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{R^{+}}\cup\{0\}\,\text{monoton naik dan $s(0)=0$}\\ \ni \, &\forall \delta>0 \,\forall x \, (|x-c|<\delta \Rightarrow \, |f(x)-L|<s(\delta))\end{align*}\]

Mau percaya begitu aja??

Yang pertama menyatakan bahwa terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sedemikian sehingga pada batas tersebut, jarak antara $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat sekecil mungkin. Hal ini salah karena pada saat kita menentukan suatu batas jarak dari $x$ dan $c$, jarak antara $f(x)$ dan $L$ secara otomatis akan tertentu, sehingga pernyataan diatas terlalu naif untuk benar (dapat benar jika $f(x)$ konstan)

Yang kedua lebih jauh dari makna limit, yaitu menyatakan ketika $x$ dan $c$ dapat sedekat mungkin, maka jarak $f(x)$ dan $L$ tidak akan melebihi suatu kuantitas, sangat bertentangan dengan menyatakan $L$ adalah limit dari $f$.

Yang ketiga menyatakan terdapat suatu batas jarak antara $x$ dan $c$ sehingga pada nilai-nilai $x$ di bawah batas jarak tersebut, $f(x)$ dan $L$ menjadi lebih dekat dari apapun. Kesalahannya terletak pada kenyataan bahwa, $f(x)$ menjadi lebih dekat dari apapun, berarti $f(x)=L$ pada saat $|x-c|<\delta$, sedangkan hal ini tidak mesti benar.

Yang keempat terlalu ribet dan rekursif, karena berarti mencari fungsi $s$ yang memenuhi $\lim_{t \rightarrow 0} s(t)=0$. meskipun ini benar dengan teorema apit.

Memang dalam matematika, definisi adalah hak bebas bagi seorang matematikawan untuk menciptakan nya, tapi tentunya juga menurut etika yang ada dalam cabang ilmu tersebut, definisi itu harus konsisten dan pas dengan yang dituju, dan pada perkembangannya, matematikawan akan memilih definisi yang paling umum dan konsisten.

Sebelum pengetahuan kita tentang definisi yang sebenarnya "mengganggu motivasi murni" kita, anggap kita adalah orang yang tidak tahu apa-apa tentang definisi limit dalam $\epsilon-\delta$. Misalkan anda hidup dijaman sebelum Bolzano, Cauchy dan Weierstrass memberikan definisi yang formal $\epsilon-\delta$ tentang limit atau misalkan anda sebagai teman dekat dari Sir Isaac Newton, diminta oleh Newton sendiri untuk membantunya memformalkan konsep limit dalam bahasa matematika. cukup menghayalnya :D mari kita mulai dengan pertanyaan:

Apakah itu limit dari sebuah fungsi?

Untuk membantu intuisi kita, mari lihat grafik dari $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Jika ditanya $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ maka jawabannya adalah 1, yakin? kenapa 1? karena dari gambar grafik $f(x)$ menuju nilai $1$. Hal ini juga disokong oleh fakta numerik berikut

\[\begin{array}{lcr} x & \frac{\sin x}{x} \\ 0.5 & 0.9588 \\ 0.1 & 0.9983 \\ 0.095 & 0.9984 \\ 0.05 & 0.9999\end{array}.\]

tapi tetap saja, hal ini tidak cukup memuaskan secara matematika. Yang dapat kita maknai disini adalah dalam menyatakan suatu limit, kita sebelumnya sudah mempunyai sebuah angka yang "sepertinya" merupakan limit dari $f(x)$, yaitu $L$.

Berawal dari hal ini, definisi yang kita punya nanti harus dapat memberikan garansi penuh bahwa $L$ yang kita punya adalah limit tersebut. Dengan kata lain, definisi memberikan jawaban dari tantangan :

"Apabila anda berani mengatakan bahwa $\large L$ adalah limit dari $\large f(x)$ ketika $\large x$ menuju $\large c$, tunjukkan pada saya"

Dengan demikian kita memilih satu buah $L$ dari tak-hingga dan tak-terhitung kemungkinan bilangan real, dan kita cek apakah $L$ memenuhi definisi kita. We'll see it later :D..

Notasi Limit adalah

\[\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L\]

dapat menyatakan:

"Apabila $x$ bergerak menuju $c$ maka $f(x)$ bergerak menuju $Lquot;.

Dalam bahasa lain, "apabila $x$ dan $c$ semakin dekat maka $f(x)$ semakin dekat dengan $Lquot;. Pernyataan ini kita ambil sebagai definisi intuitif. Adalah hal yang ingin kita abstrakkan, tentunya dengan beberapa tambahan sebagai berikut:

Nilai $L$ harus unik.
Nilai $f(c)$ tidak harus terdefinisi dan kalaupun terdefinisi tidak harus sama dengan $L$.

Sangat kritis apabila ditanyakan ulang: Mengapa kita yakin ini benar? Bagaimana jika kita tidak mendapatkan cara pikir seperti diatas? Bagaimana jika dengan cara berpikir yang beragam definisi yang diperoleh jadi beda?

Kita bisa saja mendapatkan definisi yang beda, tapi apakah hal tersebut sesuai dengan kesepakatan?

Apabila dari awal kita sudah menentukan tujuan dan maksud dari menyatakan limit, maka hampir dapat dipastikan bahwa hanya ada satu definisi yang mungkin, terlepas dari ekuivalen antar definisi.

Pada hal ini, untuk maksud apa kita mendekatkan $x$ dengan $c$? karena harapannya agar $f(x)$ dekat dengan suatu nilai $L$, setelah sebelumnya menemukan nilai $L$ sedemikian sehingga jika $x$ semakin dekat dengan $c$ maka $f(x)$ semakin dekat dengan $L$.

Dengan kata lain nilai $L$ disebut suatu limit dari $f(x)$ berarti $L$ adalah nilai terakhir (ultimate) yang paling dekat dengan $f(x)$ ketika $x$ menuju $c$, lebih tegasnya tidak ada bilangan lain yang sedekat $L$ dengan $f(x)$ pada saat $x$ dekat dengan $c$. Dapat diringkas:

3. Berkaitan dengan tambahan (1), nilai $L$ adalah nilai yang ultimate, tidak ada nilai lain yang merupakan approksimasi atau pendekatan yang lebih baik dari $f(x)$ selain dari $L$, ketika $x$ dekat $c$.

Yang menjadi fokus kita adalah seberapa dekat $f(x)$ dan $L$, dan hal yang dapat kita kontrol kita adalah variabel $x$ yang dapat kita geser-geser mendekat ke $c$. Seperti halnya jika anda ditanya "Mengapa Limit dari $f(x)$ adalah $L$ ketika $x$ menuju $c$?" tentunya jawabannya secara ringkas akan fokus pada "karena $f(x)$ dan $L$ itu blablabla , ketika $x$ menuju $c$ atau dalam bentuk "karena ketika $x$ menuju $c$ $f(x)$ dan $L$ itu blablabla", dua jawaban tersebut fokus ke $f(x)$ dan $L$, sedangkan frasa "$x$ menuju $c$ hanyalah perulangan dari pertanyaan, begitu kan?

Mari kita telaah lagi kata "dekat" , untuk membahasakan ini, dibutuhkan notasi dari "dekat", dan hal ini tentunya berhubungan dengan "jarak". Yup dua objek dapat disebut dekat berdasarkan jaraknya. Khususnya pada dimensi satu, jarak antara titik $c$ dan $x$ adalah $|x-c|$ dan jarak antara $f(x)$ dan $L$ adalah $|f(x)-L|$:

"$L$ adalah bilangan sedemikian sehingga $|f(x)-L|$ kecil apabila $|x-c|$ kecil."

namun kekurangannya disini terletak pada persisi kata "kecil". Seperti pada tabel diatas, jarak $|x-0|$ dan $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|$ berubah-ubah hampir tak terduga jika tanpa perhitungan, dan jika dilihat dari gambar, sebenarnya perubahan antara keduanya berhubungan.

Masalahnya $|x-c|$ dan $|f(x)-L|$ mempunyai perubahan jarak yang berbeda, contoh nya $\left|\frac{\sin 0.5}{0.5}-1\right|=0.0412$ sedangkan $|0.5-0|=0.5$, terlebih lagi pada fungsi yang berbeda, perubahan jarak $|f(x)-L|$ juga akan berbeda. Jadi tujuannya adalah membuat $|f(x)-L|$ kecil dengan cara membuat $|x-c|$ kecil.

Karena perbedaan dalam perubahan mereka, mari kita nyatakan $|x-c|=\delta$ dan $|f(x)-L|=\epsilon$, karena $\delta$ dan $\epsilon$ tertentu maka nilai $x$ yang memenuhi dua persamaan tersebut akan berhingga (jadi seperti sistem persamaan dalam $x$). Kemudian menyatakan "kecil" berarti membatasi dengan standar kuantitas yg relatif, jadi tentunya lebih benar jika kita menyatakan $\delta>0$ sebagai bilangan sehingga $|x-c|<\delta$ dan $\epsilon>0$ adalah bilangan sehingga $|f(x)-L|<\epsilon$. Hal ini dapat mengantisipasi kata "kecil" yang kita peroleh sebelumnya, karena seperti yang telah dikatakan sebelumnya, kecil saja "tidak persisi" jadi penggunaan $ < \epsilon$ lebih flexibel.


Karena nilai dari fungsi $f(x)$ bergantung dengan $x$, maka definisi kita akan memuat bentuk proposisi $|x-c|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.

Kontrol kita disini terletak pada variable $x$, karena $x$ adalah variabel yang digerakkan/berubah (oleh kita) menuju $c$, sedangkan $f(x)$ menuju $L$ adalah hasil implikasi nya. Sekarang informasi yang diperoleh adalah

"jarak $f(x)$ dan $L$ dapat menjadi sangat kecil seiring dengan mengecilnya jarak $x$ dan $c$, ketika $x$ berubah."

yang menganggu adalah "kecil", hal relatif ini susah dibahasakan dalam bahasa formal, contohnya $10^{-10}$ itu tidak kecil jika dibandingkan dengan $10^{-10^{10}}$. Tetapi "semakin kecil" lebih mudah dibahasakan. Maka dari itu, akan lebih baik apabila kita sebagai 'pemain' yang menentukan jarak-jarak tersebut, diberikan kontrol(untuk menentukan) pada nilai-nilai yang dapat semakin kecil. Kata kecil lebih aman dihilangkan pada $|x-c|$, karena kontrol kita pada variabel $x$ lebih baik, sedangkan untuk $|f(x)-L|$ bergantung dengan jenis fungsinya, yang pada kasus ini sebarang. Oleh karena itu diperoleh

"Dengan cara membatasi jarak $|x-c|$ menurut nilai $x$ yang berubah maka jarak $|f(x)-L|$ pada nilai $x$ tersebut akan ikut terbatasi"

Bagaimana menyatakan "Dengan cara" dalam notasi matematika, tentunya secara logika, apabila kita menyebut "dengan cara" maka hal tersebut berarti kita mempunyai suatu tujuan, dan untuk mencapai tujuan tersebut maka "dengan cara" blablabla.

Pada kasus ini tujuan nya adalah membatasi nilai $|f(x)-L|$. Oleh karena itu tentunya Logisn, jika kita tentukan terlebih dahulu tujuan kita, baru kemudian menuliskan bagaimana cara nya mencapai tujuan tersebut. Perhatikan juga bahwa nilai $x$ yang dimaksud harus berada dalam lingkup domain $f$, agar $f(x)$ terdefinisi. Diperoleh

"Untuk membatasi $|f(x)-L|$ berdasarkan variabel bebas $x$ yang berada pada domain dari fungsi $f$, dapat dilakukan dengan cara membatasi $|x-c|$ pada nilai $x$ tersebut"

Selanjutnya adalah memperjelas tujuan tersebut.

Seberapa banyak kita ingin membatasi $|f(x)-L|$?

Tentu saja sekecil mungkin.

Mengapa?

Karena untuk menjawab tantangan yang diberikan definisi, yaitu berani menyatakan bahwa $f(x)$ menuju $L$ atau berani menyatakan $L$ adalah limit dari $f(x)$, maka berarti berani menyatakan $|f(x)-L|$ sangat kecil, yang berarti jarak $f(x)$ dan $L$ sangat dekat, bahkan untuk lebih menjawab tantangan tersebut kita mungkin bisa mengatakan $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat apapun yang kita mau. wahh, really? Iya, dengan demikian secara tak langsung kita telah menyatakan bahwa $L$ adalah bilangan yang paling dekat dengan $f(x)$, hal ini sesuai dengan sifat "ultimate" dari $L$.

Jika benar demikian maka definisi nya akan menjadi

"Kita dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi nilai dari $|x-c|$ menurut variabel bebas $x$

dalam jarak ini berarti

"Kita dapat membuat jarak $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang kita mau dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$

Terlihat menjanjikan dan kuat untuk menjawab tantangan? Bisa dibilang jika pernyataan diatas benar - benar terpenuhi maka tantangan akan lebih dari terjawab, dengan kata lain, sesumbar yang menyatakan "dapat membuat $|f(x)-L|$ sekecil mungkin" bahkan terlalu memuaskan untuk mendefinisikan kata "dekat".

Mari kita mulai membentuk definisi diatas dengan notasi matematika (jika bisa), jika masih belum bisa, kita akan mengubah lagi kata-kata nya sampai penerjemahannya kedalam notasi matematika menjadi mungkin.

Apabila kita ingin membuat/menentukan jarak $f(x)$ dan $L$, maka kita tentukan suatu bilangan misalkan $\epsilon$ yang merupakan bilangan positif (karena jarak tidak negatif dan jika samadengan nol, berarti mereka berhimpit).
Menyatakan "sekecil mungkin", itu berarti kita dapat menerima $\epsilon$ yang berapapun asalkan positif.

jadi apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka jarak $f(x)$ dan $L$ dapat dibuat lebih kecil dari $\epsilon$ tersebut, dengan kata lain $|f(x)-L|<\epsilon$

Dengan cara membatasi jarak $x$ dan $c$, berarti menentukan suatu $\delta$ sedemikian sehingga membuat ketaksamaan diatas benar ketika $|x-c|<\delta$.

Ringkasnya

Apabila diberikan suatu $\epsilon>0$ maka dapat ditemukan suatu $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk semua $x$ pada domain $f$ pernyataan ($ \ni |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$ benar

Oops kita melupakan aturan (2), yaitu $f(x)$ tidak mesti terdefinisi pada $x=c$, jadi syarat $|x-c|<\delta$ dapat direnggangkan menjadi $|x-c|<\delta$ dan $x\neq c$, dalam notasi dapat diringkas $0<|x-c|<\delta$. Sehingga, dalam notasi quantifer diperoleh

$\forall \epsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \ni \forall \, x \in \text{dom}(f) \, (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

oh well, welcome $\epsilon$! $\delta$ is here :D

Nah sekarang jika ditantang:

"Mengapa anda yakin $\lim_{x\rightarrow c} f(x) =L$ ?"

tinggal jawab:

"Karena saya yakin saya bisa membuat jarak dari $f(x)$ dan $L$ sekecil mungkin yang anda/saya mau dengan cara membuat jarak $x$ dan $c$ cukup dekat."

jika penantang masih tidak percaya, dan bekata : "ah masa?"

tinggal bilang:

"coba, anda mau nya $f(x)$ dan $L$ sedekat apa? nanti saya cari jarak $x$ dan $c$ yang sesuai agar $f(x)$ dan $L$ dapat sedekat yang anda mau tadi"

apabila kita sudah menghitung $\epsilon-\delta$ dari awal, maka untuk semua nilai $\epsilon$ yang diberikan penantang akan dapat kita berikan nilai $\delta$.. hal ini akan terus berlanjut sampai yang nantangin capek :D

Continue Reading

[Part II] The first attempt in the difference of pi(x) and Li(x)

[Part II] The first attempt in the difference of pi(x) and Li(x)

23:43:00   Analytic Number Theory,

Following the post from Part I , where we have

\[T_1(s)=\zeta(s) - 1 - \frac{1}{s-1}\]

\[T_2(s)=\ln(s-1)+\ln \zeta(s),\]

\[T_3(s)=\sum_{p \text{ is prime}}\frac{1}{p^s}-\ln\zeta(s).\]

and $T_i(s)$ has derivative of order $n$ for $s\rightarrow 1^+$. 

Now consider 

\[-\frac{d^n T_3(s)}{d s^n} - \frac{d^n T_2(s)}{ds^n} - \frac{d^{n-1} T_1(s)}{ds^n}\]

by our previous result, the above derivative exist. So the result is finite.  Looking at canceled terms from $-T_1^{(n)}(s)$ and $-T_2^{(n-1)}(s)$ those are $\ln (s-1)$ and $\frac{1}{s-1}$, and the canceled term for $-T_3^{(n)}(s)$ and $-T_2^{(n)}(s)$ is $\ln \zeta(s)$. We have the derivative equals

\[\pm \left(\sum_{p\text{ prime}}\frac{\ln^n p}{p^{s}}-\sum_{k=2}\frac{\ln^{n-1} k}{k^{s}}\right)\]

which is finite.  Now we consider the real valued value of $s$, let say $t=\Re \, s$. Therefore

\[\pm\left(\sum_{p\text{ prime}}\frac{\ln^n p}{p^{t}}-\sum_{k=2}\frac{\ln^{n-1} k}{k^{t}}\right)\]

is finite for $t>1$, or precisely for $t \rightarrow 1^+$.

Taking the positive difference we have

\[S=\left(\sum_{p\text{ prime}}\frac{\ln^n p}{p^{t}}-\sum_{k=2}\frac{\ln^{n-1} k}{k^{t}}\right)\]

Now consider $\pi(x+1)-\pi(x)$ where $\pi(x)$ is the number of prime not exceeding $x$. We see that when $x$ is prime then $\pi(x+1)-\pi(x)$ equals to $1$, while when $x$ is not prime then $\pi(x+1)-\pi(x)$ equals $0$. Thus

\[\sum_{p\text{ prime}}\frac{\ln^n p}{p^{t}}=\sum_{k=2}^{\infty}(\pi(k+1)-\pi(k))\frac{\ln^n k}{k^{t}}\]

Ann expression $S$ can be written as

\[S=\sum_{k=2}^{\infty}\left[(\pi(k+1)-\pi(k))\frac{\ln^n k}{k^{t}}-\frac{\ln^{n-1} k}{k^{t}}\right]\]
\[=\sum_{k=2}^{\infty}\left[\pi(k+1)-\pi(k)-\frac{1}{\ln k}\right]\frac{\ln^n k}{k^{t}}\]

Now consider

\[\frac{1}{\ln x} - \int_x^{x+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\]

By the mean value theorem for integral, there exists $c_x \in (x,x+1)$ such that $\int_x^{x+1}\frac{1}{\ln x}\,dx=\frac{1}{\ln c_x}$. Thus $\frac{1}{\ln x}-\int_x^{x+1} \frac{1}{\ln x}\,dx=\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{\ln c_x}$ for some $c_x \in (x,x+1)$.
Since $c_x \rightarrow \infty$ whenever $x \rightarrow \infty$, we have

\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{\ln x}-\int_x^{x+1} \frac{1}{\ln x}\,dx}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x}{\ln x}-\frac{x}{\ln c_x}\right)=0\]

Thus there exists $K$ such that for $x>K$ we have $\left|\frac{1}{\ln x}-\int_x^{x+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right|<\frac{1}{x}$. We conclude that

\[T=T^{\prime}+\left|\sum_{k=K}^{\infty}\left(\frac{1}{\ln k}-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right)\frac{\ln^{n}k}{k^t}\right| < T^{\prime}+\sum_{k=K}^{\infty}\frac{\ln^{n}k}{k^{t}}\]

which converges to a finite value. Therefore

\[S+T = \sum_{k=1}^{\infty}\left(\pi(k+1)-\pi(k)-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right)\frac{\ln^{n}k}{k^{t}}\]

converges to a finite value.

Define the offset Logarithmic Integral Function by $\text{Li}(x)=\int_2^{x}\frac{1}{\ln x}\, dx$. Therefore

\[\pi(k+1)-\pi(k)-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx=[\pi(k+1)-\text{Li}(k+1)]- [\pi(k)-\text{Li}(k)]\qquad (1)\]

Now for the theorem itself:

[Theorem] 
For $x\geq 2$, the inequality $|\pi(x)-\text{Li}(x)| < \frac{\alpha x}{\ln^n x}$ is true for infinitely many $x$, where $\alpha$ is a positive constant, and for a sufficiently large number $n$.


To prove this, suppose for the contrary, that is we can find positive constant $\alpha$, and bound a  number $n$ such that there are only finite value of $x$ such that the inequality is true. Suppose $a$ is the the largest integer value of $x$, such that the inequality is true, and also satisfies $a>e^n$, thus for $x>a$, the inequality is not true and we have

\[|\text{Li}(x)-\pi(x)|\geq \frac{\alpha x}{\ln^n x}\qquad \qquad \ln x>n\]

Now let $U>a$ and consider the sum

\[R=C+\sum_{k=a+1}^{U}\left(\pi(k+1)-\pi(k)-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right)\frac{\ln^{n}k}{k^{t}}\]

where

\[C=\sum_{k=2}^{a}\left(\pi(k+1)-\pi(k)-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right)\frac{\ln^{n}k}{k^{t}}\]

by equation (1) and then Abel Summation by part we have

\[\begin{align*}&\sum_{k=a+1}^{U}\left(\pi(k+1)-\pi(k)-\int_k^{k+1} \frac{1}{\ln x}\,dx\right)\frac{\ln^{n}k}{k^{t}}\\ &=\sum_{k=a+1}^{t}\left([\pi(k+1)-\text{Li}(k+1)]- [\pi(k)-\text{Li}(k)]\right)\frac{\ln^{n}k}{k^{t+1}}\\ &=(\pi(U+1)-\text{Li}(U))\frac{\ln^n U}{U^{t}}-(\pi(a+1)-\text{Li}(a))\frac{\ln^n a}{a^t}\\ & \qquad\qquad-\sum_{k=a+1}^U [\pi(k)-\text{Li}(k)]\left[\frac{\ln^n (k)}{k^t}-\frac{\ln^n (k-1)}{(k-1)^t}\right]\end{align*}\]


By our hypothesis $(\pi(U+1)-\text{Li}(U))\frac{\ln^n U}{U^{s}}>\left(\frac{\alpha U}{\ln^n U}\right)\frac{\ln^n U}{U^{t}}=\frac{\alpha}{U^{s-1}}>0$.
Moreover by the mean value theorem, there exists $\xi\in[k-1,k]$ such that

\[\left[\frac{\ln^n (k)}{k^t}-\frac{\ln^n (k-1)}{(k-1)^s}\right]=\left(\frac{n}{\ln \xi}-t \right)\frac{\ln^{n}\xi}{\xi^{t+1}}\]

Thus

\[R>C-(\pi(a+1)-\text{Li}(a))\frac{\ln^n a}{a^t}+\sum_{k=a+1}^U[\pi(k)-\text{Li}(k)]\left(t-\frac{n}{\ln \xi}\right)\frac{\ln^{n}\xi}{\xi^{t+1}}\]

Consider $f(x)=\frac{\alpha x}{\ln^n x}$, then $f^{\prime}(x)=\alpha \left(1-\frac{n}{\ln x}\right)\frac{1}{\ln x}>0$ since $\ln x>n$ and $\alpha>0$, thus the function is increasing.

Since for $k\geq a+1$ and $k>\xi$ we have

\[[\pi(k)-\text{Li}(k)]\geq\frac{\alpha k}{\ln^n k}\geq\frac{\alpha \xi}{\ln^n \xi}\]

Writing $D=C-(\pi(a+1)-\text{Li}(a))\frac{\ln^n a}{a^t}$ we have

\[R>D+\sum_{k=a+1}^U\left(\frac{\alpha \xi}{\ln^n \xi}\right)\left(s-\frac{n}{\ln \xi}\right)\frac{\ln^{n}\xi}{\xi^{t+1}}=D+\alpha\sum_{k=a+1}^U\left(t-\frac{n}{\ln \xi}\right)\frac{1}{\xi^t}\]

Also note that $t>1$ and so $t-\frac{n}{\ln \xi} >1-\frac{n}{\ln\xi}$ thus we have

$R>D+\left(1-\frac{n}{\ln\xi}\right)\sum_{k=a+1}^U \frac{1}{\xi^t}$.

Letting $U \rightarrow \infty$ and then $t\rightarrow 1^+$, we have the right hand side is approaching $\infty$, while we already established that $\lim_{t\rightarrow 1^+} R$ is finite. Contradiction.

Continue Reading

[Part I] How does the prime connect to Zeta Function?

[Part I] How does the prime connect to Zeta Function?

20:38:00   Analytic Number Theory,

I looked back to my previous post about Riemann Hypothesis, Defining The Zeta Function.. Well, even It was said there that the theorem plays an important role in Number Theory,  but all of the things I put there are likely a complex analysis rather than a Number Theory (of course Complex Number is also a number :D ). Now Let's connect it to the primes.

The connection was established  before Riemann consider $\zeta(s)$ in his memoirs. It was Euler who first suggested the following relation between Dirichlet Series and Prime numbers

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\text{ is prime}} \left(1+\frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots + \frac{1}{p^{ks}} + \cdots\right)\qquad (1)\]

Where the product is understood to range over all prime numbers. The above identity holds for $\Re(s)>1$. Therefore, $\zeta(s)$ would never equals zero for $\Re(s)>1$.

Equation (1) can be thought as the analytic version of Fundamental Theorem of Arithmetic. The intuition is clear here, since whenever we multiply all the product from the Right-Hand Side, ranging over all prime numbers, it would produce any combination of the reciprocal  $\frac{1}{p^{2\alpha_1s}p^{2\alpha_2 s}\cdots\,p^{2\alpha_n s}}$, which is some representation of a natural number by fundamental theorem of arithmetic and hence summing to the Left-Hand side. To guarantee the convergence of the series and product, we need the condition $\Re (s) >1$.

I want to reprise Tchebychev exposure in his paper Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, using the modernize notation. 
My purpose is to verified some missing details in the paper. The paper can be downloaded here,  which is in french.


Tchebychev use (1) to bound the prime counting function $\pi(x)$ (the cardinality of the set of all prime numbers less than $x$). His argument is quite elementary and classical,  he considered three expressions

\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{1+\rho}}-\frac{1}{\sigma}\qquad (2)\]

\[\ln \rho-\sum_{p \text{ is prime}}\ln\left(1-\frac{1}{p^{1+\sigma}}\right)\qquad (3)\]

\[\sum_{p \text{ is prime}}\ln\left(1-\frac{1}{p^{1+\sigma}}\right)+\sum_{p \text{ is prime}} \frac{1}{p^{1+\sigma}}\qquad (4)\]

Let $s=\sigma+1$, the above are valid for $\Re(\sigma)>0$, or $\Re(s)>1$.
The first expresssion (2) is equal to
\[T_1(s)=\zeta(s) - 1 - \frac{1}{s-1}\]
 and  by (1) the second (3) is equal to
\[T_2(s)=\ln(s-1)+\ln \zeta(s),\]
while the third (4) is
\[T_3(s)=\sum_{p \text{ is prime}}\frac{1}{p^s}-\ln\zeta(s).\]

Notice that for
\[\begin{align*}\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{e^x-1} x^{s-1} \, dx &=\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right) e^{-x} x^{s-1} \, dx \\ &= \int_0^{\infty} \left(\sum_{k=1}^{\infty}e^{-kx}\right)e^{-x} x^{s-1} \, dx\\&=\sum_{k=1}^{\infty} \int_0^{\infty}e^{-(k+1)x}x^{s-1}\, dx\end{align*}\]

Substitute $x=\frac{u}{k+1}$, we have $\int_0^{\infty}e^{-(k+1)x}x^{s-1}\, dx = \int_0^{\infty} e^{-u} \frac{u^{s-1}}{(k+1)^s} \, du = \Gamma(s) \frac{1}{(k+1)^s}$. So denoting integral Gamma, $\Gamma(s)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^{s-1} \,dx$ we have
\[\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{e^x-1} x^{s-1}\, dx=\sum_{k=1}^{\infty}\Gamma(s)\frac{1}{(k+1)^s}=\Gamma(s)\left(\zeta(s)-1\right)\]

Since $\frac{1}{s-1}=\frac{\Gamma(s-1)}{\Gamma(s)}$, therefore (2) is equal to
\[T_1(s)=\zeta(s) - 1 - \frac{1}{s-1} = \frac{\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{e^x-1} x^{s-1}\, dx - \Gamma(s-1)}{\Gamma(s)} = \frac{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}\right)x^{s-1}\, dx}{\Gamma(s)}\]

Taking limit $s \rightarrow 1^+$, since $\lim_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2}$ then $\int_0^{\infty}\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}\, dx$ converges and also $\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx=1$. Thus
\[\lim_{s\rightarrow 1^+}T_1(s)=\lim_{s\rightarrow 1^+}\frac{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}\right)x^{s-1}\, dx}{\Gamma(s)}\] exists.

If we differentiate $\frac{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}\right)x^{s-1}\, dx}{\Gamma(s)}$ with respect to $s$ multiple times, we would have some combination of $\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}\right)x^{s-1} \ln^k x \, dx$ and $\Gamma^{(k)}(s)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^{s-1}\ln^k x\,dx$, where for all $k$ these integrals are finite and these integrals also converges when $s \rightarrow 1^+$. So the function $T_1(s)$ along with its $n$-th derivative are defined at $s=1$.

Consider expression (3),  which is by (1) equal to $T_2(s)=\ln(s-1)+\ln \zeta(s)$, by our previous result $T_1(s)$ has finite limit for $s \rightarrow 1^+$, thus

\[(s-1)T_1(s)\]

approach zero for $s \rightarrow 1^+$. Notice that

\[(s-1)T_1(s)+s=(s-1)\left(\zeta(s)-1- \frac{1}{s-1}\right) + s = (s-1)\zeta(s)\]

Therefore $\ln((s-1)T_1(s)+s)=T_2(s)$  since $\lim_{s \rightarrow 1^+} (s-1)\zeta(s)=1$ we have $\lim_{s \rightarrow 1^+} T_2 =1$.
Next we prove that $T_2$ has derivative of order $n$, for any $n$. We conclude this from the fact that $(s-1)T_1(s)+s$ would never zero, also since we have proved that $T_1(s)$ has $n$-th derivative, the relation $T_2(s)=\ln ((s-1)T_1(s)+s)$ would implies that $T_2$ also assumes $n$-th derivative.

Now we consider expression (4), which is $T_3(s)$. By the mean value theorem for $x>2$ there exists $c \in [x-1,x]$ such that $\ln(x)-\ln(x-1) = \frac{1}{c} > \frac{1}{x}$, so that

\[\ln(x-1)-\ln x +\frac{1}{x}<0 \qquad \text{for all } x>2\]

Now consider the series

\[\sum_{k=2}^{\infty}\ln(k-1)-\ln k + \frac{1}{k}=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln n-1=\gamma -1 \]

where $\gamma$ is Euler-Mascheroni Constant therefore the series converges, and since the terms are always negative

\[\sum_{k=2}^{\infty}\left|\ln(k-1)-\ln k+\frac{1}{k}\right|=-\sum_{k=2}^{\infty}\ln(k-1)-\ln k+ \frac{1}{k}=1-\gamma\]

so the series is absolutely converges therefore some subseries of it let say for those $k$ is prime also converges, we have

\[\sum_{p \text{ is prime} }\ln(p-1)-\ln p + \frac{1}{p}=\sum_{p \text{ is prime}}\ln \left(1-\frac{1}{p}\right) + \frac{1}{p}= T_3(1)\]
converges.

Also note that

\[T_3^{(n)}(s) =\sum_{p \text{ is prime} } \frac{1}{p^{2s}} \left(\frac{\ln^i p }{1-\frac{1}{p^s}}\right) \frac{1}{p^j \left(1-\frac{1}{p^s}\right)^k}\]

where $i,j,k \geq 0$. We can compare $T_3^{(n)}(s)$ with the $p$-series $\sum \frac{1}{n^p}$ where $\Re(p)>1$, thus the series is converges.

we will use $T_1(s)$, $T_2(s)$, and $T_3(s)$ to approximate $|\pi(x) - Li(x)|$ where $Li(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x}\, dx$.  We will do this in the next post. Continue Reading

Mendefinisikan fungsi Zeta Riemann, dan Riemann Hypothesis.

Mendefinisikan fungsi Zeta Riemann, dan Riemann Hypothesis.

04:27:00   Analytic Number Theory,

Walaupun cabang ini berada pada area Teori Bilangan, namun post yang saya buat ini, lebih pekat ke analisa kompleks, pada kenyataannya, pada post ini kita tidak membicarakan hubungan zeta function dengan bilangan prima.


Definisi awal (bukan definisi yang sebenarnya) dari Fungsi Zeta Riemann diperoleh dari Deret Dirichlet

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\qquad\Re(s)>1\]

Fungsi ini bukan fungsi yang secara umum dimaksud pada Riemann Hypothesis. Fungsi Zeta Riemann yang sebenarnya akan didefinisikan melalui fungsi ini, dan akan dijelaskan pada post ini.

Fungsi ini analytic di $\Re(s)>1$ (Fungsi nya sendiri diperoleh dari proses analitik pada complex; limit, infinite series; tapi deret diatas bukan power series dari $\zeta(s)$ yang memberikan evidensi bahwa $\zeta(s)$ analytic)
Pernyataan dari Riemann Hypothesis adalah (Mungkin bukan formulasi yang paling sederhana, menurut opini saya, formulasi dengan Liouville's Lambda Function lebih sederhana )

[Riemann Hypothesis] Semua akar tak-trivial dari fungsi $\zeta(s)$ berada pada garis kritis $\Re(s)=\frac{1}{2}$.

Sebuah pertanyaan yang muncul disini adalah:

Bukannya deret tersebut divergen untuk $\Re(s) \leq 1$? Lalu mengapa disebutkan $\Re(s)=\frac{1}{2}$? Lalu akar tak-trivial itu apa?

Pertama-tama kita jawab pertanyaan yang pertama dengan mendefinisikan fungsi zeta yang sebenarnya,kita akan menggunakan argumen yang digunakan Riemann.

Karena fungsi diatas hanya terdefinisi ketika $\Re(s)>1$. Bagaimana caranya kita mencapai (baca:define) di $\Re(s)\leq 1$, yaitu mendefinisikannya untuk seluruh bidang kompleks? Lebih lanjut lagi, karena fungsi awal tersebut sudah analitik di $\Re(s) >1$, kita ingin mendefinisikan fungsi ini sedemikian sehingga fungsi nya juga analitik di $\Re(s) \leq 1$.


Salah satu alat yang bisa kita pakai disini adalah analytic continuation, dimana kita dapat mengisi nilai-nilai dari suatu fungsi analitik diluar natural domain nya sehingga menghasilkan fungsi analitik lain dengan domain yang lebih besar. Yakni, dengan menemukan fungsi lain katakanlah $F(z)$ sedemikian sehingga hasil restriksi dari $F(s)$ di $Re(s)>1$ adalah $\zeta(s)$. Sayangnya tidak ada harapan untuk $s=1$, akan kita liat hal ini nanti, sekarang kita fokus untuk menemukan $F$ sedemikian sehingga $F(s)=\zeta(s)$, untuk $\Re(s)>1$, dan fungsi ini harus analitik di sebuah domain yang lebih besar dari $\Re(s)>1$.

Untuk menemukan fungsi ini kita mulai dengan satu-satunya definisi yang kita punya, yaitu untuk $\Re(s)>1$ diperoleh
\[\begin{align*}\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^s}+1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^{s-1}} - \frac{1}{(n+1)^{s-1}}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)^s}-\frac{n+1}{(n+1)^s}+\frac{n}{n^{s}}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1)^s}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} n s\int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx\end{align*}\]

Karena $\lfloor x \rfloor = n$ ketika $x \in [n,n+1)$, kita peroleh $\int_{n}^{n+1}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx=n\int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx$. Kita peroleh

\[\begin{align*}\zeta(s)&=s\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{n}^{n+1} x^{-s-1}\,dx\\ &=s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx\\ &=s\int_1^{\infty}\lfloor x \rfloor x^{-s-1}\,dx\end{align*}\]

Tulis $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ dimana $\{x\}$ adalah bagian pecahan dari $x$. Jadi

\[\begin{align*}\zeta(s)&=s \int_1^{\infty} x^{-s-1}\lfloor x \rfloor \,dx\\ &=s \int_1^{\infty}(x-\{x\})x^{-s-1}\,dx\\ &=s \int_1^{\infty} x^{-s}\, dx - s\int_1^{\infty} x^{-s-1}\{x\}\, dx\end{align*}\]

Karena $s \int_1^{\infty} x^{-s} \,dx = s \frac{-x^{-s+1}}{-s+1}\mid_1^{\infty}=\frac{s}{s-1}$, kita dapatkan

\[\zeta(s)=\frac{s}{s-1} - \int_1^{\infty}\{x\}x^{-s-1}\,dx\]

Dengan representasi dari $\zeta(s)$ yang ini, dapat dilihat bahwa $\zeta(s)$ mempunyai simple pole di $s=1$, dan juga karena $\{x\} \in [0,1)$ integral $\int_1^{\infty}\{x\}x^{-s-1}\,dx$ konvergen untuk $\Re(s)>0$, berdasarkan uji banding dengan $\int_1^{\infty} x^{-\Re(s)-1} \, dx$. Jadi, dengan menggunakan representasi ini , $\zeta(s)$ terdefinisi untuk $\Re(s)>0$. Kita telah memperbesar domain dari $\zeta(s)$ (dengan menggunakan analytic continuation) dari $\Re(s)>1$ ke $\Re(s)>0$, dan memperoleh informasi tentang simple pole di $s=1$ dengan residue 1 (koefisien dari $(s-1)^{-1}$). Tetapi pekerjaan untuk mendefinsikan $\zeta(s)$ untuk (hampir) setiap bidang kompleks belum selesai.


Untuk melanjutkan, kita pinjam sebuah fungsi dari kuliah Kalkulus Tingkat Lanjut (di Universitas Indonesia kami menyebutnya Matematika Dasar IV), yaitu Fungsi Gamma (Gamma Function).
Fungsi Gamma, awalnya didefinisikan sebagai $\Gamma(s)=\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt$ untuk $s$ bilangan real positif, karena integral tersebut juga konvergen untuk $s$ bilangan kompleks dengan $\Re(s)>0$, maka fungsi Gamma juga terdinisi pada bilangan kompleks , fungsi gamma analitik juga untuk $\Re(s)>0$ (beberapa kali kita memakai fakta bahwa fungsi yang menggunakan integral atau deret dalam representasinya itu analitik). Bagaimanapun juga hanya dengan menggunakan hal ini, kita tidak bisa lanjut lebih jauh melebihi $\Re(s)>0$, tapi untungnya, dengan menggunakan analytic continuation, Fungsi Gamma juga bisa diperluas menjadi fungsi analitik di seluruh bidang kompleks kecuali untuk $s=0, -1,-2, \cdots, -n, \cdots$ (liat link, atau baca lagi buku Kalkulus Tingkat Lanjut)

Menggunakan hal diatas fungsi $\Gamma(s)$ dapat didefinsikan di $\mathbb{C}/\{0,-1,-2,\cdots\}$, dan terlebih lagi analitik disana. Hubungan antara $\zeta$ dan $\Gamma$ dapat diperoleh sebagai berikut
\[\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)=\int_0^{\infty}t^{s/2-1}e^{-t}\, dt\]

Substitusikan $t=n^2\pi u$ kita dapatkan

\[\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)=\int_0^{\infty}\pi^{\frac{s-2}{2}} n^{s-2} u^{\frac{s-2}{2}} e^{-n^2 \pi u} (n^2 \pi)\,du=n^s \pi^{\frac{s}{/2}}\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} e^{-n^2 \pi u} \, du\]

Setara dengan

\[\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\left(\frac{1}{n^s}\right)=\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} e^{-n^2 \pi u} \, du\]

Jumlahkan dari $n=1$ ke $\infty$ dan karena integral di sisi kiri konvergen uniform, kita bisa menukar integral dan sumasi dan menghasilkan

\[\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s) = \int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} \left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi u}\right) \, du\]

Kita pinjam lagi fungsi dari kalkulus tingkat lanjut yaitu, Jacobi-Theta Function, yang didefinisikan sebagai $\theta(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}$. Oleh karena itu $\theta(it)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}$. Karena "$\sum_{n=-\infty}^{0} e^{-n^2 \pi t} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n^2\pi t}$", jadi

\[\theta(it)=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}+ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi t}=2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2 \pi t}+1.\]

sehingga $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2 \pi t} = \frac{\theta(it)-1}{2}$. Sehingga fungsi zeta dapat dinyatakan sebagai

\[\zeta(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\int_0^{\infty} u^{\frac{s}{2}-1} \left(\frac{\theta(ui)-1}{2}\right)\, du\]

Dari sini kita akan menggunakan persamaan fungsi dari $\theta$, yaitu $(-ix)^{\frac{1}{2}}\theta(x)=\theta\left(-\frac{1}{x}\right)$, yang buktinya cukup susah (liat di buku tentang Special Function), pesamaan ini dapat diperoleh melalui transformasi modular dari jacobi function, biasanya juga disebut Identitas Jacobi (Liat link diatas, tapi tidak ada buktinya). Substitusikan $x \mapsto ix$ ke persamaan fungsi diatas diperoleh $x^{\frac{1}{2}} \theta(ix)=\theta\left(\frac{-1}{ix}\right)=\theta\left(\frac{i}{x}\right)$.

\[\begin{align*}&\int_0^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx=\\ &\int_0^{1}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx+\int_1^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\end{align*}\]

Dengan substitusi $x \mapsto \frac{1}{x}$ ke Integral pertama diperoleh

\[\begin{align*}\int_0^1x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\, dx&= \int_{\infty}^{1}x^{-s/2+1}\left(\frac{\theta\left(\frac{i}{x}\right)-1}{2}\right)\left(\frac{-1}{x^2}\right)\, dx \\ &= \int_1^{\infty} x^{-s/2-1}\left(\frac{x^{1/2}\theta(ix)-1}{2}\right)\\ &= \int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}\theta(ix)-x^{-s/2-1/2}}{2}\\ &+ \int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}-x^{-s/2-1}}{2} \, dx\\ &=\int_1^{\infty} \frac{x^{-s/2-1/2}\theta(ix)-x^{-s/2-1/2}}{2}+\frac{1}{s(s-1)}\end{align*}\]

Jadi

\[\int_0^{\infty}x^{s/2-1}\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\]
\[=\frac{1}{s(s-1)}+\int_1^{\infty}(x^{-s/2-1/2}+x^{s/2-1})\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\]

Dan Fungsi Zeta Riemann terdefinisi sebagai
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\left(\frac{1}{s(s-1)}+\int_1^{\infty}(x^{-s/2-1/2}+x^{s/2-1})\left(\frac{\theta(xi)-1}{2}\right)\,dx\right)\]

Perhatikan bahwa fungsi Gamma mempunyai simple pole di $s=0$, jadi $\frac{1}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}$ saling menghilangkan simple pole yang juga di $s=0$ yang diperoleh dari $\frac{1}{s(s-1)}$.
Karena $\theta(xi)$ tumbuh secara eksponensial (baca buku Persamaan Differensial, Pengantar transformasi Laplace), integrak diatas konvergen untuk $s\in \mathbb{C}$, jadi ekspresi yang berada di kanan merupakan fungsi analitik di $s \in \mathbb{C}$ kecuali untuk for $s=1$ (dimana penyebutnya nol) dan $s=-2,-4,-6, \cdots$ (dimana $\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)$ tidak analitik, yaitu mempunyai pole) jadi kita telah memperluas fungsi zeta menjadi fungsi analitik pada domain $\mathbb{C}/\{1,-2,-4,\cdots,-2k,\cdots\}$. Pertanyaan pertama selesai.

Untuk pertanyaan kedua, apa itu akar tak-trivial dari $\zeta(s)$, singkatnya, kita sebut $s$ sebagai akar trivial jika dan hanya jika $s$ merupakan pole dari $\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)$ yang tidak ter-cancel ($s\neq 0$), yaitu $s=-2,-4,\cdots$. Akar lain yang diketahui berada pada $0\leq \Re(z) \leq 1$, disebut akar tak-trivial. Yup, Riemann Hypothesis menanyakan apakah akar ini selalu berada pada garis $\Re(s)=\frac{1}{2}$, atau berbentuk $s=\frac{1}{2} + bi$

Telah diketahui bahwa beberapa milyar akar pertama dari akar tak-trivial dari $\zeta(s)$ memenuhi prediksi Riemann Hypothesis. Jadi pernyataan nya mungkin benar. Tapi pembuktiannya sangatlah susah, dan diketahui, teknik yang dipakai pada area ini sangat beragam, dan belum ada yang berani mengklaim teknik mana yang akan membawa ke bukti yang diinginkan (silahkan liat di arXiv.org)

Post selanjutnya (sedang di draft) membicarakan tentang hubungan nya dengan bilangan prima, dan Li function.

Continue Reading