soal simulasi

10:20:00   soal-soal

Problem

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan positif yang memenuhi $a+b=1$, Buktikan

\[ \left(\frac{a}{a+x} \right)^{a+x} \left(\frac{b}{b-x}\right)^{b-x} < e^{-2x^2} \]

untuk setiap $x\in (0,b)$

Donald E. Knuth

Solution:

Tetapkan $a$ and $b$ dengan $a+b=1$. Misalkan

\[f(x)=e^{2x^2} \left(\frac{a}{a+x} \right)^{a+x} \left(\frac{b}{b-x}\right)^{b-x} \]

yang didefinisikan untuk $x\in[0,b)$. Akan ditunjukkan bahwa $f(x) < 1$ untuk $x > 0$, misalkan

\[g(x):= \log f(x) = 2x^2+ (a+x) \log \left(\frac{a}{a+x} \right) + (b-x) \log \left(\frac{b}{b-x} \right). \]

Maka

\[g^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 4x+\log \frac{a(b-x)}{a(b+x)}\]

Perhatikan bahwa $g^{\prime}(0)=0$ dan

\[g^{\prime \prime}(x)=4-\left(\frac{1}{a+x} + \frac{1}{b-x} \right) = 4 - \frac{1}{(a+x)(b-x)} .\]

Berdasarkan ketaksamaan arithmatik-geometrik mean , $(a+x)(b-x)\leq1/4$, jadi $g^{\prime \prime}(x)\leq 0$. dengan tanda sama dengan ketika $a+x=b-x$. Jadi $g^{\prime} (x)\leq g^{\prime}(0) =0$ untuk $x \geq 0$ yang menyebabkam $g(x) \leq g(0) =0$ untuk $x \geq 0$. Dengan demikian $f(x) < 1$ untuk $x > 0$.