Soal ujian dan PR matriks.
Beberapa hari yang lalu, saya membuat soal ujian tentang matriks. Tujuan nya adalah memberikan "beberapa materi" yang terangkum pada satu soal.
Tapi ujung-ujung nya, karena sepertinya soalnya kesusahan, saya melakukan beberapa modifikasi agar soalnya bisa dikerjakan secara "manusiawi" dengan cara "kuli" , yang saya sebut soal iseng.
Berikut soal awal nya :
Soal 1
Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.
Tentukan semua matriks real simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:
\[ (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Soal 1 (Iseng version)
Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.
Tentukan semua matriks real simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:
\[ (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Edited: kedua soal tidak mempunyai solusi (buktinya akan ditulis nanti)
Tujuan saya mengubah soalnya menjadi bentuk iseng adalah agar mahasiwa tidak melakukan banyak perhitungan apabila mereka ingin menggunakan cara-cara kuli seperti sebagai berikut:
Yaitu menyatakan $B=AX+XA$ dan kemudian menyatakan
\[B = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ &a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ &a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ &a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix} \]
Tapi ini berarti akan diperoleh persamaan linear 16 variabel dengan 12 buah persamaan (13 buah jika berhasil mengobservasi bahwa $trace(B)=0$). Lebih lagi setelah matriks $B$ ditemukan, untuk menemukan $A$, masih ada beberapa persamaan yang akan diselesaikan dari $AX+XA=B$ (Tentu saja cara ini tidak praktis).
Beberapa dari nya melakukan menganalisa lebih lanjut sebagai berikut:
Perhatikan bahwa $X$ adalah matriks skew-simetrik yaitu memenuhi $X^T = -X$. Jadi jika $A$ adalah matriks simetrik (i.e $A^T = A$) maka
\[(AX+XA)^T = (AX)^T +(XA)^T = X^T A^T +A^TX^T = -XA + (-AX) = - (AX+XA) \]
diperoleh $AX+XA$ adalah matriks skew-simetrik. Sehingga semua entri pada diagonal utama matriks $B$ adalah nol. Sehingga diperoleh
\[B = \begin{pmatrix} &0 &x &y &z \\ &-x &0 &p &q \\ &-y &-p &0 &r \\ &-z &-q &-r &0 \end{pmatrix}\]
Dengan begini, soal tereduksi menjadi $12$ persamaan dengan $6$ variabel. (Ya, ada mahasiswa yang menyelesaikan versi iseng dengan cara ini.)
Seperti yang saya bilang sebelumnya, soal versi iseng sebenarnya mereduksi banyak perhitungan, dan tidak perlu sampai $12$ persamaan. Cukup dilihat hasil persamaan dari baris pertama kita peroleh sistem persamaan
\[-x-y+z=-1 \qquad x+y+z=1 \qquad -z=2\]
yang berakibat persamaan tidak konsisten $x+y=3$ dan $x+y=-1$. Jadi tidak ada matriks $B$ yang memenuhi dan tidak matriks $A$ yang memenuhi.
(Iseng-nya sebenarnya pengen lihat apakah ada mahasiswa yang beneran mengerjakan semua 12 persamaan dan kemudian ujung-ujungnya mendapatkan bahwa jawabannya ternyata tidak ada :D )
Kembali lagi ke soal awal, tidak bisa dibuat kontradiksi seperti diatas, dan apabila ada yang mengerjakan sistem persamaan $6$ variabel $12$ persamaan, maka solusi nya unik dan diperoleh bentuk $B$ yang komponen nya pecahan-pecahan (dengan diagonal entri nya semua nol), selanjutnya menyelesaikan persamaan $AX+XA=B$.
Solusi-nya akan saya post nanti (Besok adalah deadline untuk soal awal diatas, semoga dikerjain) bersamaan dengan soal versi lebih kejam (mirip soal yang diberi teman saya, dia kasi yang $3 \times 3$, yang ini $4 \times 4$) :
Tentukan semua matriks real singular simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:
\[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
mengapa ini lebih kejam? karena tidak seperti soal awal dan soal iseng, yang semua kondisi nya adalah persamaan linear. Soal ini punya kondisi $det(A) =0$, yang melibatkan penjumlahan dari perkalian plus-minus. Still, ada cara bagus nya sebenarnya.
Tapi ujung-ujung nya, karena sepertinya soalnya kesusahan, saya melakukan beberapa modifikasi agar soalnya bisa dikerjakan secara "manusiawi" dengan cara "kuli" , yang saya sebut soal iseng.
Berikut soal awal nya :
Soal 1
Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.
\[ (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX-XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Soal 1 (Iseng version)
Misalkan $X= \begin{pmatrix} &0 &1 &1 &1 \\ &-1 &0 &1 &1 \\ &-1 &-1 &0 &1 \\ &-1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$.
\[ (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (AX+XA) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Edited: kedua soal tidak mempunyai solusi (buktinya akan ditulis nanti)
Tujuan saya mengubah soalnya menjadi bentuk iseng adalah agar mahasiwa tidak melakukan banyak perhitungan apabila mereka ingin menggunakan cara-cara kuli seperti sebagai berikut:
Yaitu menyatakan $B=AX+XA$ dan kemudian menyatakan
\[B = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ &a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ &a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ &a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix} \]
Tapi ini berarti akan diperoleh persamaan linear 16 variabel dengan 12 buah persamaan (13 buah jika berhasil mengobservasi bahwa $trace(B)=0$). Lebih lagi setelah matriks $B$ ditemukan, untuk menemukan $A$, masih ada beberapa persamaan yang akan diselesaikan dari $AX+XA=B$ (Tentu saja cara ini tidak praktis).
Beberapa dari nya melakukan menganalisa lebih lanjut sebagai berikut:
Perhatikan bahwa $X$ adalah matriks skew-simetrik yaitu memenuhi $X^T = -X$. Jadi jika $A$ adalah matriks simetrik (i.e $A^T = A$) maka
\[(AX+XA)^T = (AX)^T +(XA)^T = X^T A^T +A^TX^T = -XA + (-AX) = - (AX+XA) \]
diperoleh $AX+XA$ adalah matriks skew-simetrik. Sehingga semua entri pada diagonal utama matriks $B$ adalah nol. Sehingga diperoleh
\[B = \begin{pmatrix} &0 &x &y &z \\ &-x &0 &p &q \\ &-y &-p &0 &r \\ &-z &-q &-r &0 \end{pmatrix}\]
Dengan begini, soal tereduksi menjadi $12$ persamaan dengan $6$ variabel. (Ya, ada mahasiswa yang menyelesaikan versi iseng dengan cara ini.)
Seperti yang saya bilang sebelumnya, soal versi iseng sebenarnya mereduksi banyak perhitungan, dan tidak perlu sampai $12$ persamaan. Cukup dilihat hasil persamaan dari baris pertama kita peroleh sistem persamaan
\[-x-y+z=-1 \qquad x+y+z=1 \qquad -z=2\]
yang berakibat persamaan tidak konsisten $x+y=3$ dan $x+y=-1$. Jadi tidak ada matriks $B$ yang memenuhi dan tidak matriks $A$ yang memenuhi.
(Iseng-nya sebenarnya pengen lihat apakah ada mahasiswa yang beneran mengerjakan semua 12 persamaan dan kemudian ujung-ujungnya mendapatkan bahwa jawabannya ternyata tidak ada :D )
Kembali lagi ke soal awal, tidak bisa dibuat kontradiksi seperti diatas, dan apabila ada yang mengerjakan sistem persamaan $6$ variabel $12$ persamaan, maka solusi nya unik dan diperoleh bentuk $B$ yang komponen nya pecahan-pecahan (dengan diagonal entri nya semua nol), selanjutnya menyelesaikan persamaan $AX+XA=B$.
Solusi-nya akan saya post nanti (Besok adalah deadline untuk soal awal diatas, semoga dikerjain) bersamaan dengan soal versi lebih kejam (mirip soal yang diberi teman saya, dia kasi yang $3 \times 3$, yang ini $4 \times 4$) :
Tentukan semua matriks real singular simetrik $4 \times 4$ , katakanlah $A$ yang memenuhi:
\[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]
mengapa ini lebih kejam? karena tidak seperti soal awal dan soal iseng, yang semua kondisi nya adalah persamaan linear. Soal ini punya kondisi $det(A) =0$, yang melibatkan penjumlahan dari perkalian plus-minus. Still, ada cara bagus nya sebenarnya.
Post a Comment: